度量李代數(shù)的擴張

賈培佩，馬成，張?zhí)?/p>

（1.河北金融學院 基礎部，河北 保定 071051；2.河北軟件職業(yè)技術學院 實驗實訓中心，河北 保定 071002）

1 基本概念與基本結論

1985年，F(xiàn)ilippov提出了n－Lie代數(shù)（Filippov代數(shù)）的概念［1］.而n＝3的情形首先出現(xiàn)在文獻［2］中，Nambu利用三元運算描述了3 個變元的類似于古典力學系統(tǒng)的Nambu 力學系統(tǒng)，得到了廣義的三元Hamiltoni恒等式.Takhtajan對Nambu力學系統(tǒng)進行了研究，建立了Nambu力學系統(tǒng)與Filippov代數(shù)之間的聯(lián)系［3］.

因為3－李代數(shù)與幾何學、力學系統(tǒng)及玄論等的密切關系，3－李代數(shù)的研究越來越受到人們的關注.例如，Bagger和Lambert利用度量3－李代數(shù)建立了多元M2－Branes的場論模型，并且利用其在物理上的應用構造了3－李代數(shù).關于n－李代數(shù)（n≥3）結構的更多研究與應用可參見文獻［4－9］.

3－李代數(shù)是李代數(shù)的推廣，是具有3－元運算的非結合代數(shù)系統(tǒng).因為其多元運算，3－李代數(shù)的結構與李代數(shù)有著很大的差異，特別是3－李代數(shù)的實現(xiàn)問題，一直是人們關注的焦點.在文獻［8］中，利用李代數(shù)及線性函數(shù)實現(xiàn)了3－李代數(shù)，而本文研究利用度量李代數(shù)實現(xiàn)3－李代數(shù)的方法.

首先介紹本文用到的幾個基本概念與基本結論.

設（V，［，］）是李代數(shù)，Bv：V?V→F 是非退化的對稱雙線性型，如果Bv滿足ad－不變性，即

則稱（V，［，］，Bv）是度量李代數(shù).

稱是域F 上的向量空間L 是3－李代數(shù)［1］，如果L 上的斜對稱3－元線性運算［，，］：L?L?L→L，滿足下列等式（稱為廣義的Jacobi等式）

其中σ是對稱群S3中的任意元素，τ（σ）等于0或1基于σ是奇置換還是偶置換.

設（L，［，，］）是3－李代數(shù)，所有元素［x，y，z］，?x，y，z∈L 張成的線性空間記為L1＝［L，L，L］，稱為L的導代數(shù).

對任意非退化的對稱雙線性型B：L?L→F，如果B 滿足ad－不變性，即

則稱（L，［，，］，B）是度量3－李代數(shù)，B 稱為此3－李代數(shù)的度量.

對于L 的子空間W，稱W⊥＝｛x∈L｜B（x，y）＝0，?y∈W｝為W 的正交補空間.由式（3）可知，如果W是L 的理想（即［W，L，L］?W），則W⊥也是理想.如果子空間W ?W⊥，則稱W 是迷向的子空間.子空間Z（L）＝｛x∈L｜［x，L，L］＝0｝稱為3－李代數(shù)L 的中心.顯然，Z（L）是L 的理想.

引理1［8］設（V，［，］）是李代數(shù)，V＊是V 的對偶空間.設f∈V＊滿足f（［x，y］）＝0，?x，y∈V，則V 按下列3－元運算［，，］f構成3－李代數(shù)：

2 度量李代數(shù)的擴張

設（V，［，］，Bv）是m－維非Abel的度量李代數(shù)，f∈V＊滿足f≠0，f（［x，y］）＝0對任意x，y∈V.由引理1可知，V 按運算［，，］f構成3－李代數(shù)，但Bv不是3－李代數(shù)（V，［，，］f）的度量.

事實上，如果Bv滿足

對任意x，y，z，u∈V 成立，那么對?x，y，z，u∈V，有

因為f≠0，存在V 的一組基｛x1，…，xm｝使得f（x1）＝1，f（xi）＝0，2≤i≤m，所以對于k≥2，有

由式（1），B（［xi，xj］，x1）＝B（xi，［xj，x1］）＝0，所以Bv（V1，V）＝0.由Bv的非退化性可知，V1＝0，即（V，［，］，Bv）是Abel的度量李代數(shù)，與已知矛盾，因此得到下列結論.

定理1 設（V，［，］，Bv）是非Abel的度量李代數(shù)，f∈V＊滿足f≠0且f（［x，y］）＝0，?x，y∈V，則Bv在3－李代數(shù)（V，［，，］f）上不滿足ad－不變性，其中［，，］f如等式（1）定義，則Bv不是3－李代數(shù)（V，［，，］f）上的度量.

定理2 設（V，［，］，Bv）是非Abel的度量李代數(shù)，f∈V＊滿足f≠0且f（［x，y］）＝0，?x，y∈V，記L＝V+Fc是V 的1－維擴張，其中c∈／V，則（L，［，，］cf）是3－李代數(shù)，其中

證明 由式（1），［，，］cf是斜對稱的3－元線性運算.下面證明［，，］cf滿足式（2）.對任意x，y，z，u，v∈V，由式（6）可知，

又因為

因此，

所以（L，［，，］cf）是3－李代數(shù).

例1 設（V，［，］，Bv）是5－維度量李代數(shù)，｛x1，x2，x3，x4，x5｝是V 的一組基，其中，

對于f∈V＊滿足f（x1）＝1，f（xi）＝0，2≤i≤5.設c∈／V，L＝V+Fc，由定理2，（L，［，，］cf）是3－李代數(shù)，在基｛x1，x2，x3，x4，x5｝下的乘法為［x1，x2，x3］cf＝x5＋c.

定理3 設（V，［，］，Bv）是域F 上的m－維度量李代數(shù)，f∈V＊滿足f≠0，f（V1）＝0.若G＝V+Fc0+fc－1是線性空間的直和，其中c0，c－1∈／V，那么（G，［，，］，B）是（m＋2）－維度量3－李代數(shù)，其中對任意的x1，x2，x3∈V，有

B：G?G→G 是對稱雙線性型，滿足

其中［，，］f由式（4）定義.

證明 對?x1，x2，x3，x4，x5∈V，由式（6）可知，［x1，x2，x3］＝［x1，x2，x3］cf.又由定理2可知，

由式（7）可得，對任意x1，x2，x3，x4∈V，有

所以，

因此得到（G，［，，］）是3－李代數(shù).

由式（7）和式（8）可知，B：G?G→G 是非退化的對稱雙線性型，且對任意x1，x2，x3∈V，有

所以B 在3－李代數(shù)（G，［，，］）上滿足式（3）.再由式（8）可知B 是非退化的，因此（G，［，，］B）是度量3－李代數(shù)，且對任意x，y∈V，B（x，y）＝Bv（x，y）.

對一個具有迷向中心的度量李代數(shù)與度量3－李代數(shù)，極大迷向中心在其代數(shù)結構的物理應用中有著重要意義.定理3告訴我們，由具有迷向中心的度量李代數(shù)可以得到具有迷向中心的3－李代數(shù).

定理4 設（V，［，］，Bv）是域F 上非Abel的具有非零的迷向中心Z（V）的m－維度量李代數(shù)，f∈V＊滿足f≠0，f（V1）＝0.設（G＝V+Fc0+Fc－1，［，，］，B）是定理3中的（m＋2）－維度量3－李代數(shù)，其中c0，c－1∈／V，那么Z（G）＝Z（V）+Fc－1，且Z（G）是迷向的.

證明 因為度量李代數(shù)（V，［，］，Bv）具有迷向中心Z（V），由文獻［7］引理2.3可知，Z（V）?V1.因此f（Z（V））＝0.任取z∈Z（V），及?x，y∈V，［z，x］＝［z，y］＝0，由式（7）可得，

所以Z（V）?Z（G）.又對任意的q＝ω＋λc0＋μc－1∈Z（G），ω∈V，以及任意的x，y∈V，有

由x 的任意性，ω∈Z（V）.由［q，x，y］＝［ω＋λc0＋μc－1，x，y］＝λ［x，y］＝0及（V，［，］）是非Abel的李代數(shù)，得到λ＝0，所以q＝ω＋μc－1，即Z（G）?Z（V）+Fc－1.因此，Z（G）＝Z（V）+Fc－1.又由式（7）可知，B（Z（G），Z（G））＝0，所以Z（G）是迷向的.

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