有限鏈環上的常循環碼

鄭喜英, 孔波

(1.黃河科技學院信息工程學院,河南 鄭州 450063;2.河南教育學院數學與統計學院,河南 鄭州 450046)

有限鏈環上的常循環碼

鄭喜英1, 孔波2

(1.黃河科技學院信息工程學院,河南 鄭州 450063;2.河南教育學院數學與統計學院,河南 鄭州 450046)

研究了有限鏈環R上常循環碼的等價性,根據等價性給出了R上一些常循環碼及其對偶碼的結構.確定了該環上長度為ps的所有常循環碼及其對偶碼的結構.

常循環碼;循環碼;對偶碼

1 引言

近年,有限環上的常循環碼成了很多學者研究的熱點問題.文獻[1]研究了有限環(Fp+ uFp+vFp+uvFp)上的(1+λu)-常循環碼的結構,并構造了參數較好的p元線性碼.文獻[2]研究了有限環(對任意的整數k≥1)上的循環碼,定義了一個Gray映射,證明了Rk上循環碼的Gray像是指數為2k的二元準循環碼.文獻[3]對有限域上的常循環碼的等價性進行了研究,并對其常循環碼的生成元進行了刻畫.文獻[4]研究了有限環

(對任意的整數k≥1)

上的線性碼,并定義了兩個等價的Gray映射.文獻[5]研究了有限環上的常循環自對偶碼的生成多項式.文獻[6]研究了有限環(F2+uF2+vF2+uvF2)上的常循環碼及其Gray像的結構.文獻[7]研究了環上的一類常循環碼及其對偶碼的結構.文獻[8]給出了有限鏈環上循環碼和負循環碼的生成元.文獻[9]研究了環(Fpm+uFpm)上常循環碼的等價性,并根據等價性對該類環上的常循環碼進行了分類.文獻[10]研究了有限鏈環上的重根循環碼的生成多項式.文獻[11]研究了環(Fpm+uFpm)上常循環碼的結構.本文在文獻[9-11]的基礎上研究了有限鏈環上的單根及重根常循環碼及其對偶碼的結構對前面的結果進行了推廣.

2 基礎知識

定義 2.1設R為一個含單位元1的有限交換環,若1/=0,并且環R中的全部理想能按照包含關系構成一條鏈,則稱環R為有限鏈環.

設R是一個有限鏈環,R的極大理想為I=〈γ〉=γR,其中γ是冪零指數為e的冪零元, R的所有理想滿足鏈R=γ0R?γ1R?···?γeR.

令F=R/I=R/〈γ〉,則F是特征為素數p的域,已知存在整數m使得|F|=pm.令ξ是F的一個本原元,那么F={0,1,ξ,···,ξpm?2}.

由文獻[8]可知R中的每一個元素r都可以唯一的表示為:

環R上所有的單位元為:

環R上長為n的線性碼是Rn的一個R-子模.設v表示Rn上的一個λ-常循環移位,即若對任意的 (c0,c1,···,cn?1)∈Rn,均有 v(c0,c1,···,cn?1)=(λcn?1,c0,···,cn?2).設C為R上長為n的線性碼,若對任意的(c0,c1,···,cn?1)∈C,均有

稱C為環R上長為n的λ-常循環碼.對任意的x=(x1,x2,···,xn),y=(y1,y2,···,yn)∈Rn, x,y的內積定義為設C為有限鏈環R上長為n的線性碼,C的對偶碼定義為:

若C?C⊥稱C為自正交碼,若C=C⊥稱C為自對偶碼.

設λ為有限鏈環R上的可逆元,如果f(x)整除xn?λ(即xn?λ=f(x)g(x)),記

3 有限鏈環上的任意長度的常循環碼

引理3.1對于任意的i,j∈Zpm?1,若存在λ∈Zpm?1,使得i?j≡nλ(mod(pm?1))成立,則環R上的長為n的常循環碼與常循環碼置換等價,其中c1,c2,···,ce?1∈Fpm.

證明構造映射:

易證ψ1是環同態映射.下面證明該映射是一一映射.

對任意的f(x),g(x)∈R[x],

當且僅當存在h(x)∈R[x],使得

當且僅當

當且僅當

當且僅當

所以,ψ1是從

到

的一一映射.

所以ψ1是環同構映射,則環R上的長為n的常循環碼與常循環碼置換等價.

用文獻[9]定理2.1的證明方法可得下面的定理.

定理 3.1對于任意的 i,j∈Zpm?1,若存在 i?j∈{0,l,2l,···,pm?l?1},其中 l=

(n,pm?1),則環R上長為n的常循環碼與常循環碼置換等價,其中c1,c2,···,ce?1∈Fpm.

由定理3.1易得下面的推論.

推論 3.1(1)若i∈{0,l,2l,···,pm?l?1},則環R上的長為n的ξi-常循環碼與循環碼置換等價,其中l=(n,pm?1);

(2)對于任意的i,j∈Zpm?1,若i?j∈{0,l,2l,···,pm?l?1},其中l=(n,pm?1),則環R上的長為n的ξi-常循環碼與ξj-常循環碼置換等價.

由推論3.1(1)及文獻[10]中的定理4.9可得:

定理3.2若i∈{0,l,2l,···,pm?l?1},R是一個特征為pα的有限鏈環,令n=pβl這里p不整除于l,λ=min{α,pβ}.則對任意的整數k滿足1≤k≤λ,存在一個的理想C可由k個多項式生成不能由k?1個多項式生成.

4 有限鏈環上碼長與剩余域的特征互素的常循環碼

引理 4.1當(n,p)=1時,對于任意的i,j∈Zpm?1,若存在λ∈Zpm?1使得成立,則環R上的長為n的ξi-常循環碼與(ξi+clγl+cl+1γl+1+···+ce?1γe?1)-常循環碼置換等價,其中ci∈Fpm,i=l,l+1,···,e?1,

證明當(n,p)=1時,存在n′∈Zp,使得nn′=1(mod p).構造映射

易證ψ2是環同態映射.

?f(x),g(x)∈R[x],

當且僅當存在h(x)∈R[x],使得

當且僅當

當且僅當

所以ψ2是從

到

的一一映射.

所以ψ2是環同構映射,則環R[x]上的長為n的ξi-常循環碼與常循環碼置換等價.

由推論3.1(2)及引理4.1易得下面的定理.

定理 4.1當(n,p)=1時,若存在i?j∈{0,l,2l,···,pm?l?1},其中l=(n,pm?1),則有限鏈環R上的長為n的常循環碼與常循環碼置換等價,其中

由定理4.1易得下面的推論.

推論 4.1若i∈{0,l,2l,···,pm?l?1},(n,p)=1,則有限鏈環R上的長為n的循環碼與常循環碼置換等價,其中ci∈Fpm,i=l,l+1,···,e?1.

引理 4.2 [8]設C為有限鏈環R上的長為n的循環碼(R的極大理想為〈γ〉,γ的冪零指數為e,R的剩余域 ˉR的特征為p,這里(n,p)=1).則存在R[x]中兩兩互素的首一不可約多項式F0,F1,···,Fe,滿足

這里

由推論4.1及引理4.2易得下面的定理.

定理 4.2設i∈{0,l,2l,···,pm?l?1},C為有限鏈環R上的長為n的(ξi+clγl+ cl+1γl+1+···+ce?1γe?1)-常循環碼(R的極大理想為〈γ〉,γ的冪零指數為e,R的剩余域Rˉ的特征為p,這里(n,p)=1).則存在R[x]中兩兩互素的首一不可約多項式F0,F1,···,Fe滿足

使

定理 4.3[8]設 C為有限鏈環 R上的長為 n的循環碼(R的極〈大理想為〈γ〉,γ的冪〉零指數為 e,R的剩余域的特征為 p,這里 (n,p)=1).這里 F0,F1,···,Fe為 R[x]中兩兩互素的首一不可約多項式F0F1···Fe=xn?1且Fe+1=F0,則

由推論4.1及定理4.3易得下面的定理.

定理 4.4設 i∈{0,l,2l,···,pm?l?1},C為有限鏈環 R上的長為 n的 (ξi+常循環碼 (R 的極大理想為 〈γ〉,γ的冪零指數為 e,R的剩余域 ˉR的特征為 p,這里 (n,p)=1).則存在 R[x]中兩兩互素的首一不可約多項

其中

5 有限鏈環上碼長ps的常循環碼

若c0,c1都是Fpm上的可逆元,則是有限鏈環R上的可逆元.則有限鏈環R上長為ps的常循環碼是環的理想.由除法原理可知,存在非負整數cq,cr,使得s=cqm+cr,0≤cr≤m?1.令則

引理5.1在環Rps上,且cx?1是該環上冪零指數為eps的冪零元.

證明對所以在環Rps上有

引理5.2[8]對有限交換環R,下面幾個條件等價

(1)R是一個局部環,極大理想M為主理想環;

(2)R是一個局部主理想環;

(3)R是一個有限鏈環.

定理5.1Rps是一個有限鏈環,其所有理想按包含關系如下:

則有限鏈環R上長為ps的常循環碼就是鏈環Rps中的理想0≤i≤eps,每一個碼〈(cx?1)i〉包含pm(eps?i)個碼字.

證明因R中的每一個元素r都可以唯一的表示為ci∈Fpm～=R/〈γ〉,i=0,1,2,···,e?1.所以R[x]中每一個次數小于n的多項式f(x)都可以唯一的表示為:

這里b0i,b1i,···,b(e?1)i∈Fpm.

所以r(x)∈Rps可以表示為:

這里r0i,r1i,···,r(e?1)i∈Fpm.

因cx?1,γ是該環上的冪零元,所以r(x)可逆當且僅當r00/=0.由引理5.1可知r(x)不可逆,則r00=0.這時r(x)∈〈cx?1〉,所以〈cx?1〉是Rps中包含所有不可逆元的理想,所以Rps是一個極大理想為〈cx?1〉的局部環,由引理5.2可知Rps是一個有限鏈環.

引理 5.3 [11]有限鏈環R上的λ-常循環的對偶碼是λ?1-常循環碼.

引理 5.4 [11]有限鏈環R上的任意長為n線性碼C,|C||C⊥|=|R|n.

定理5.2當〈pm≥e時〉,有限鏈環R上每一個長為常循環碼的對偶碼為且C⊥是環R上的常循環碼,C⊥中包含pmi個碼字,其中0≤i≤eps.

證明由因此

所以

6 結論

本文首先研究了有限鏈環上常循環碼的等價性,利用等價性給出了該環上常循環碼及其對偶碼的結構.今后,將進一步研究一般有限環上常循環碼的等價性及其上常循環碼的結構.

參考文獻

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Constacyclic codes over fi nite chain rings

Zheng Xiying1,Kong Bo2
(1.College of Information Engineering,Huanghe Science and Technology College,Zhengzhou 450063,China; 2.School of Mathematics and Statistics,Henan Institute of Education,Zhengzhou 450046,China)

Let R be a fi nite chain ring,and the characteristic of the residue fi eldˉR be a prime number p.The equivalence of constacyclic codes over fi nite chain ring R are studied,and the structure of some constacyclic codes and their duals are given.The structure of all constacyclic codes with length psand their duals over the ring R are determined.

constacyclic code,cyclic code,dual code

O157.4

A

1008-5513(2014)04-0377-09

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.04.007

2014-05-08.

河南省基礎與前沿(122300410229);河南省教育廳科學技術研究重點項目(14B110024);鄭州市科技局科技攻關項目(20141375).

鄭喜英(1981-),碩士,講師,研究方向：代數與編碼.

2010 MSC:47B35