MLinex損失函數下Gamma分布的尺度參數的Bayes估計

金秀巖

(廣東松山職業技術學院基礎部,廣東 韶關 512126)

MLinex損失函數下Gamma分布的尺度參數的Bayes估計

金秀巖

(廣東松山職業技術學院基礎部,廣東 韶關 512126)

在MLinex損失函數下,利用Bayes估計方法研究了Gamma分布的尺度參數的Bayes估計,并證明了其容許性.結果是:在Mlinex損失函數下得到了Gamma分布尺度參數唯一的Bayes估計的一般表達式及其精確表達式,并證明是可容許的.最后通過數值分析實例,說明了所用的參數估計方法是合理可行的.

MLinex損失;Bayes估計;尺度參數;可容許性;Gamma分布

1 引言

在統計決策理論中,參數估計的優劣很大程度上依賴于損失函數形式的選擇,文獻[1-3]在諸如熵損失函數、Linex損失函數、復合Linex損失函數等損失函數下研究參數估計問題,在不同損失函數下研究Gamma分布的參數估計問題也很有必要.

文獻[4]提出了MLinex損失函數,并研究了二次損失函數和MLinex損失函數下Pareto分布的Minimax估計;文獻[5]研究了加權平方損失函數和MLinex損失函數下一類分布族參數的Minimax估計;文獻[6]研究了MLinex損失下BurrⅫ部件可靠性指標的經驗貝葉斯估計;文獻[7]研究了對數誤差平方損失函數和MLinex損失函數下一類分布族參數的Minimax估計.

關于Gamma分布的參數估計,文獻[8]研究了q-對稱熵損失函數下Gamma分布的尺度參數的估計,文獻[9]研究了廣義Gamma分布及Beta分布次序統計量的隨機比較,文獻[10]研究了含區間數據Gamma分布的參數估計,文獻[11]研究了截尾Gamma分布無失效數據的貝葉斯可靠性分析等等.但MLinex損失函數下Gamma分布的尺度參數的Bayes估計尚無研究結果,故本文研究MLinex損失函數下Gamma分布的尺度參數的Bayes估計問題,并證明了Bayes估計δB的容許性.最后通過數值分析實例,說明本文的參數估計方法是合理可行的.

MLinex損失函數形式為:

本文僅考慮MLinex損失中c>0的情形,對于c<0情形可類似討論.

2 尺度參數θ的 Bayes估計

設X1,···,Xn為來自Gamma分布總體X的獨立樣本,X的密度函數為:

則來自母體的樣本X1,···,Xn的聯合密度為:

定理 2.1在損失函數 (1.1)和模型 (2.1)下,若在判別空間中存在參數 θ的估計量 δ,其Bayes風險r(δ)<+∞,則對于θ的任何先驗分布π(θ),θ的唯一Bayes估計的一般形式為:

證明在損失函數(1.1)下,δ對應的Bayes風險為:

欲使r(θ,δ)達到最小,只需

幾乎處處達到最小.

由于

設

令f(δ)關于δ求導等于零,可解得:

由于f(δ)是凸函數,所以δ是f(δ)的唯一最小值點,故θ的唯一Bayes估計的一般形式為:

定理2.2設x1,···,xn為來自Gamma分布Γ(θ,α)的一個樣本觀察值,尺度參數θ(形狀參數α已知)的先驗分布π(θ)取Gamma分布Γ(λ,β),則在損失函數(1.1)下,模型(2.1)的尺度參數θ的Bayes估計的精確表達式為:

證明因為尺度參數θ的先驗分布π(θ)服從Gamma分布Γ(λ,β),則θ的密度函數為:

樣本似然函數為:

于是,θ的后驗分布密度為:

故θ的后驗分布密度π(θ|X)服從以λ+T(X)為尺度參數、以nα+β為形狀參數的Gamma分布.

由定理2.1以及θ的后驗分布密度,有

3 Bayes估計的容許性

定理3.1在給定先驗分布π(θ)和損失函數(1.1)下,參數θ的Bayes估計?δB是可容許的.

證明由于Bayes估計的Bayes風險不大于任何估計的Bayes風險,只須證明存在θ的一個估計δ,其Bayes風險r(δ)<∞,于是可得從而是可容許的.

在(2.2)式中不妨令δ=1,則有

其中,

對給定的樣本值存在且有界.

而

所以,r(δ)存在且有界.又因為r(?δB)

4 數值分析實例

4.1 估計量的穩健性與精確性分析

目前,國內外有關氣候分析的旱、澇級別劃分中,采用一種Gamma分布概率指標來描述降水量所遵從的分布,在這個過程中涉及到一個重要問題就是Gamma分布的參數估計問題.參數估計的好壞程度直接影響到氣候分析結果的精確程度,因此Gamma分布的參數估計問題對氣候分析顯得非常重要.本文以1951?1980年期間北京地區7月份降水量數據為例,取1951?1980年期間降水頻數作為求概率密度函數中參數的基本樣本[12].具體由表1給出.

表1 該地區6月份降水頻數分布

由表 1中數據分析計算可知,該地區 1951?1980年期間 7月份降水頻數服從尺度參數θ≈0.326、形狀參數為α≈0.978的Gamma分布.

根據這些數據,知T=30,n=10.又根據定理2.2的結果以及文獻[8]的研究,為了更具有一般性,根據實際需要選取滿足0

表2 尺度參數θ的Bayes估計

則可見其偏差很小,即精確度較高.

4.2 估計量的比較分析

對Gamma分布在復合Linex損失函數、MLinex損失函數下尺度參數θ的Bayes估計結果進行數值比較.為了討論方便,記Gamma分布在復合Linex損失函數下尺度參數θ的Bayes估計[13]為,在MLinex損失函數下尺度參數θ的Bayes估計(2.3)為,這里依然以上述例子為例,即分別取T=30,n=10的Gamma分布的樣本,取c=1.01.比較結果見表3.

表3 Gamma分布在復合Linex損失函數和MLinex損失函數下θ的Bayes估計結果比較

從表 3可以看出,只要根據實際情況合理選擇先驗分布和 c的取值,Gamma分布在MLinex損失函數下θ的Bayes估計結果相對復合Linex損失函數下的Bayes估計結果來說,效果要好一些,更接近真實值,而且比較穩健.

綜合上述分析可知,本文給出的尺度參數θ的Bayes估計是合理可行的.

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[6]王琳,師義民,袁修國.Mlinex損失下BurrⅫ部件可靠性指標的經驗貝葉斯估計[J].青島科技大學學報:自然科學版,2011,32(2):34-36.

[7] 任海平,陽連武,廖莉.對數誤差平方損失函數和Mlinex損失函數下一類分布族參數的Minimax估計[J].江西師范學學報:自然科學版,2009,33(3):326-330.

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[9] 葉楠.廣義Gamma分布及Beta分布次序統計量的隨機比較[D].上海:復旦大學,2006.

[10] 蔡全才,徐勤豐.含區間數據Gamma分布的參數估計[J].中國衛生統計,2005,22(2):71-73.

[11] 柴永霞.截尾Gamma分布無失效數據的貝葉斯可靠性分析[J].商丘師范學院學報,2011,27(6):5-7.

[12] 黃嘉佑.一種用于旱澇分析的降水概率指標—Gamma分布概率指標[J].氣象,1990,16(9):8-12.

[13] 金秀巖.復合Linex損失函數下Gamma分布的尺度參數的Bayes估計[J].山東師范大學學報:自然科學版, 2013,28(4):65-68.

Bayesian estimation on scale parameter of Gamma distribution on the basis of MLinex loss

Jin Xiuyan
(Department of Basic Courses,Guangdong Songshan Polytechnic College,Shaoguan 512126,China)

The Bayesian Estimation of Gamma distribution scale parameter has been studied and its admissibility has been proved basing on the MLinex loss function.We obtain two results.First,we get the general expression and exact expression of the Gamma distribution scale parameter under the MLinex loss function,and prove it is admissible.Second,we prove that our method to estimate the parameter are reasonable and feasible.

MLinex loss,Bayesian estimation,scale parameter,admissibility,Gamma distribution

O212.5

A

1008-5513(2014)04-0347-07

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.04.003

2014-03-17.

廣東省教育科研“十二五”規劃2012年度研究項目(2012JK124).

金秀巖(1961-),副教授,研究方向：數學課程與教學論和概率統計.

2010 MSC:62C12