一類推廣的Virasoro-like李代數

余德民

(湖南理工學院數學學院,湖南 岳陽414000)

一類推廣的Virasoro-like李代數

余德民

(湖南理工學院數學學院,湖南 岳陽414000)

構造了一類無限維李代數,它是Virasoro-like李代數的推廣.研究了這類李代數的兩類自同構,這兩類自同構均關于映射的合成構成自同構群,一類同構于對稱群S3,另一類同構于Klein交換群.得到了這類李代數一些特殊的自同態(tài)、中心.證明了這類李代數不是半單李代數.

理想;自同構;同態(tài)

1 引言

Virasoro-like李代數是上世紀八十年代作為擬多項式環(huán)的一階微分算子代數被引入的,九十年代在理論物理的廣義對稱性研究中產生了同樣的代數結構.設C為復數域,Z為整數加群,文獻[1]定義了一類Virasoro-like李代數g4,并研究了Virasoro-like李代數g4的單性,設g4是由L(a1,a2)(?a1,a2∈Z)張成的復數域C上的線性空間,李運算定義如下:

此運算在基向量上線性擴張,并滿足反對稱性和Jacobi不等式,稱g4為Virasoro-like李代數.文獻[2]研究了Virasoro-like李代數g4的導子代數和導子代數的自同構群.文獻[3]研究了帶參數α,β的Virasoro-like的導子代數.文獻[4]研究了廣義Virasoro-like李代數.作者[5-9]曾研究了Virasoro-like李代數及其推廣的Virasoro-like李代數.本文推廣了Virasoro-like李代數g4,構造了李代數g,并發(fā)現李代數g是一類特殊的李代數,有一些良好的性質.g為C上線性空間,其基向量為:

L(b1,b2,b3,b4,b5,b6,b7,b8)(?bi∈Z,i∈{1,2,3,4,5,6,7,8}),g=⊕CL(b1,b2,b3,b4,b5,b6,b7,b8).

在g上定義李運算為:

然后,在基上雙線性擴張.可驗證運算滿足反對稱性和Jacobi恒等式,從而g為無限維李代數.本文所研究的李代數g實質也是推廣的Virasoro李代數.Virasoro李代數及推廣的Virasoro李代數的結構和表示一直是李理論研究的熱點問題之一.Virasoro李代數及推廣的Virasoro李代數的結構和表示與理論物理,量子場論及統(tǒng)計力學等學科有著深刻的內在聯系.

本文主要研究了李代數g的理想、自同構、同態(tài).

1 主要結果

構造g中自同構如下:

f,f1,f2在 g的基向量 L(a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8)上線性擴張.

定理 2.1f,f1,f2是g的自同構.

證明從構造知f為g上的線性映射,且既是單射又是滿射.可驗證

從而(?x,y∈g)f([x,y])=[f(x),f(y)],同理可證f1,f2是g的自同構.

設g的恒等自同構為e,構造g中自同構如下:

f3,f4分別在 g的基向量 L(a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8)上線性擴張.

在映射集H={e,f,f1,f2,f3,f4}中引入映射的普通乘法,即映射的合成“?”.

?fi,fj∈H,L(a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8)∈g,

定理 2.2設映射集H={e,f,f1,f2,f3,f4}在上述的乘法運算下,同構于對稱群S3.

證明S3的元素分別為(12),(13),(23),(123),(132)和單位元ε,構造映射

經驗證H和對稱群S3同構.

構造g中自同構如下:

定理2.3關于映射的合成運算構成群.

證明從構造知可為(45),于是→(45),f→(12),f1→(13),f2→(132),f3→(23), f4→(123),→(45),→(12)(45),→(13)(45),→(132)(45),→(23)(45),→(123)(45),則H2構成的群是對稱群S5的子群.

(46785)(4)=6,(46785)(6)=7,(46785)(7)=8,(46785)(8)=5,(46785)(5)=4,

構造g上的自同態(tài)映射如下:

f5在g的基向量L(a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8)上線性擴張.

定理2.4f5是g的單自同態(tài).

證明從構造知f5為g上的線性映射,且是單射.?x,y∈g,f5([x,y])=[f5(x),f5(y)].

在定理(4)中,單自同態(tài)f5有如下特殊情形:

當n1=1,n2=1時,f5為恒等同構,記為e;當n1=1,n2=?1時,f5為同構,記為f6;

當n1=?1,n2=1時,f5為同構,記為f7;當n1=?1,n2=?1時,f5為同構,記為f8.

在映射集{e,f6,f7,f8}中引入映射的普通乘法,即映射間的合成.

定理2.5映射集{e,f6,f7,f8}在上述的乘法運算中,構成Klein四元交換群.

證明由于e為單位元,可驗證

從而定理成立.

定理2.6設g5是所有

張成的無線微線性空間，即

則g5是g的非零真理想,g也不為單李代數.

證明先證g5為理想.因為?L(a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8)∈g,

顯然g5是真理想.從而定理成立.

定理2.7L(?2,1,1,?1,1,0,0,0)張成的一維子空間是g的一維交換理想,于是g也不為半單李代數.

證明因為?L(a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8)∈g,有[L(?2,1,1,?1,1,0,0,0),L(a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8)]=0,從而L(?2,1,1,?1,1,0,0,0)張成的一維子空間是g的一維交換理想,于是g也不為半單李代數.

顯然,李代數g的中心C(g)為基向量

張成的無限維李

子代數.

定理2.8設整數矩陣的秩r(M)<2,則由基向量L(a11,a12,a13,a14,a15,a16,a17,a18),···,L(an1,an2,an3,an4,an5,an6,an7,an8)張成的子空間是g的交換子代數.

證明由于秩r(M)<2,所以r(M)=0或r(M)=1.

當r(M)=0時,矩陣M的每一個行向量都為零.對任意的i,

從而由基向量

張成的子空間是g的交換子代數.

當r(M)=1時,由r(M)=1知M的任何子矩陣的秩為1或0,即

的秩為1或0,無論哪一種情況都有

從而定理成立.

在g的基向量中引入字典序,即對

(1)如果k1?q1,則L(k1,k2,k3,k4,k5,k6,k7,k8)?L(q1,q2,q3,q4,q5q6,q7,q8),

(2)如果ki=qi,而ki+1?qi+1,?i∈{1,2,3,4,5,6,7},則

則稱x已按字典序排列,L(a11,a12,a13,a14,a15,a16,a17,a18)稱為x的極小項,而k1稱為x極小項的系數.

設g+是由基向量L(a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8)(ai∈Z+(正整數集),?i∈{1,2,3,4,5,6,7,8})張成的g的線性子空間,顯然g+為李子代數.

定理2.9g+中不存在二維非交換子代數.

證明假設g+中存在二維非交換子代數,則g+必存在基x,y使得[x,y]=x.設kiL(ai1,ai2,ai3,ai4,ai5,ai6,ai7,ai8)(?ki/=0),qjL(bj1,bj2,bj3,bj4,bj5,bj6,bj7,bj8)(?qj/=0),且x與y已按字典序排列.因為

而[x,y]中極小項為L(a11+b11,a12+b12,a13+b13,a14+b14,a15+b15,a16+b16,a17+b17,a18+b18),而x的極小項為L(a11,a12,a13,a14,a15,a16,a17,a18),系數為k1,因為a11,a12,a13,a14,a15,,a16,a17,a18,b11,b12,b13,b14,b15,b16,b17,b18∈Z+,

于是等式x=[x,y]中左邊x極小項的系數k1=0,這與k1/=0矛盾.

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A generalized Virasoro-like Lie algebra

Yu Demin
(Department of Mathematics,Hunan Institute of Science and Technology,Yueyang414000,China)

In this paper an in fi nite dimensional Lie algebra is constructed and the in fi nite dimensional Lie algebra is popularized Virasoro-like Lie algebra.Two classes of automorphisms are studied.They are automorphism groups with the compostition of mapping.One is isomorphic to symmetry group S3.The other is isomorphic to Abelian group Klein.We get the center and some special homomorphisms of the in fi nite dimensional Lie algebra.We prove that it is not semi-simple Lie algebra.

ideal,automorphisms,homomorphisms

O152.5

A

1008-5513(2014)04-0341-06

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.04.002

2014-04-23.

湖南省教育廳重點項目(12A058);湖南省重點建設學科建設項目.

余德民(1975-),博士,副教授,研究方向:李代數.

2010 MSC:17B05,17B30