向量優化中改進集的一些拓撲性質

夏遠梅,林安,趙克全

向量優化中改進集的一些拓撲性質

夏遠梅,林安,趙克全

(重慶師范大學數學學院,重慶401331)

主要研究改進集的一些拓撲運算性質.首先在改進集條件下給出了拓撲向量空間中兩個非空集之和的拓撲內部的一些運算性質.進一步,利用改進集獲得了Flores-Baz′an和Hern′andez提出的假定B的一個加強形式.此外,給出了一些例子對主要結果進行了解釋.

改進集;假定B;拓撲性質;向量優化

1 引言

文獻[1-3]利用凸性假設給出了兩個非空集合之和的拓撲內部的一些性質.這些性質在最優化理論及應用研究中是非?；竞椭匾?因此,如何在其它一些假設條件下獲得這些結果將是非常有意義的研究主題.為了處理數學經濟問題,文獻[4]引入了一類新的工具—free disposal集.基于comprehensive集的思想,文獻[5]提出了改進集的概念并研究了它的一些性質.進而利用改進集定義了向量優化問題的一類統一的解—E-有效解,并建立了這類解的存在性定理.進一步,文獻[6]將改進集的概念推廣到了一般的實局部凸Hausdorf f拓撲向量空間.改進集與free disposal集之間具有密切的聯系,它們在向量優化問題研究中扮演十分重要的角色[7-10].

受文獻[1,3,6,8,11]中研究工作的啟發,本文首先在改進集條件下獲得了兩個非空集之和的拓撲內部的一些運算性質.這些運算性質是對經典的凸性條件下相應結果的改進與推廣.進一步,在改進集條件下獲得了由Flores-Baz′an和Hern′andez提出的假定B的一個加強形式,給出了改進集的一個充分性條件.此外,提出了一些具體例子對主要結果進行了解釋.

本文設Y是拓撲向量空間,K是Y中具有非空拓撲內部的凸錐,Rn是n維歐幾里得空間,和分別表示非負象限錐和正象限錐.A是Y中的非空集合,cl A,int A和YA分別表示A的拓撲閉包,拓撲內部和補集.稱A是關于K的free disposal集,若A+K=A[4].

下面,首先給出一些基本概念和引理.

引理1.1[1]設A和B是Y中的兩個非空集合.如果int A/=?,則int A+B?int(A+B).

定義1.1[5-6]設E是Y中的非空集合.如果0/∈E且E+K=E,則稱E是關于K的改進集.

引理1.2[6]設E是Y中的非空集合.如果E是關于K的改進集,則int(cl E)=int E.

引理1.3[8]設E是Y中的非空集合.如果E是關于K的改進集,則int E=E+int K.

2 改進集之和的拓撲性質

基于Tanaka和Kuroiwa在文獻[1,3]中的結果,給出改進集的一些拓撲內部性質.Tanaka和Kuroiwa在文獻[1]中獲得了下面的結果:

定理2.1設E1和E2是Y中具有非空拓撲內部的子集.如果E1和E2是凸集,則

注2.1如果E1和E2不是凸集,(1)式也可能成立.

例2.1令

顯然,E1和E2不是凸集.然而,int(E1+E2)=int E1+int E2=E1.即可以驗證E1和E2是關于K=R2+的改進集.

下面利用改進集給出(1)式成立的一個新的充分條件.

定理2.2設K1和K2是Y中具有非空拓撲內部的閉凸錐,E1和E2是Y中的非空集合.如果E1和E2分別是關于K1和K2的改進集,則

(i)int(E1+E2)=int E1+int E2;(ii)int(E1+E2)=int E1+E2;

(iii)int(E1+E2)=int E1+cl E2.

證明只需證明(i)和(iii).因為E1和E2分別是關于K1和K2的改進集,所以

因此,E1+E2=E1+E2+K1+K2,即E1+E2是關于K1+K2的free disposal集.此外,由定理2.1可得int(K1+K2)=int K1+int K2.又由引理1.3,可知

又int E1+int E2?int E1+cl E2.由引理1.1可得,int E1+cl E2?int(E1+cl E2).再由文獻[6]中的命題1.4(a)可得,cl E2是關于K2的free disposal集.因此,由(i)可得,

從而由引理1.2有int E1+int(cl E2)=int E1+int E2,即int E1+cl E2?int E1+int E2.

因此,int E1+int E2=int E1+cl E2.由(i)可得(iii)成立.

推論2.1設K1和K2是Y中具有非空拓撲內部的閉凸錐,E1和E2是Y中的非空集合.如果E1和E2分別是關于K1和K2的改進集,則

(i)int(E1+E2)=E1+int E2;(ii)int(E1+E2)=cl E1+int E2.

證明由定理2.2的證明過程可知結論成立.

Tanaka和Kuroiwa在文獻[3]中獲得了下面的結果:

定理2.3設E1和E2是Y中的子集.如果E1是具有非空拓撲內部的凸集,E2是開集,則int(E1+E2)=int E1+int E2.

注2.2如果E1是具有非空拓撲內部的凸集,E2不是開集,則定理2.3也可能成立.

例2.2令

顯然,E1是具有非空拓撲內部的凸集,E2是閉集.然而,

下面,利用改進集提出(1)式成立的另一個充分條件.

定理2.4設E1和E2是Y中的兩個非空集合.如果E1是具有非空拓撲內部的凸集,E2是關于K的改進集,則

(i)int(E1+E2)=int E1+int E2;(ii)int(E1+E2)=int E1+E2;

(iii)int(E1+E2)=int E1+cl E2.

證明僅需證明(i)和(iii).因為E2是關于K的改進集,所以E1+E2=E1+(E2+K),即E1+E2是關于K的free disposal集.從而由引理1.3可得,

因此,

下面,證明(iii)成立.顯然,int E1+int E2?int E1+cl E2.此外,由文獻[6]中的命題1.4(a),cl E2是關于K的free disposal集.從而由(i),引理1.1和引理1.2可得,

因此,int E1+int E2=int E1+cl E2.則由(i)可知(iii)成立.

定理2.5設E1和E2是Y中的非空集合.如果E1是開集,E2是關于K的改進集,則

(i)int(E1+E2)=int E1+int E2;(ii)int(E1+E2)=int E1+E2;

(iii)int(E1+E2)=int E1+cl E2.

證明僅需證明(i)和(iii).因為E2是關于K的改進集,由定理2.4的證明過程可知E1+E2是關于K的free disposal集.此外,由E1是開集和引理1.3可得,

下證(iii).顯然,int E1+int E2?int E1+cl E2.由文獻[6]中的命題1.4(a),(i)以及引理1.2可得,

從而由引理1.1可得,

因此,int E1+int E2=int E1+cl E2.從而由(i)可知(iii)成立.

注2.3如果E1不是關于K1的改進集,則定理2.2不一定成立;如果E1不是凸集,則定理2.4不一定成立;如果E1不是開集,則定理2.5不一定成立.下面的例子可以解釋這一點.

例2.3令

顯然,E1是非凸的拓撲閉集且不是關于K1的改進集,E2是關于K2的改進集.此外,

因此,

注2.4由前面的證明過程可知,關于K是改進集這一假設條件可以放松到關于K是free disposal集.

3 假定B的加強形式

Flores-Baz′an和Hern′andez在文獻[11]中提出了假定B如下:

定理3.1設E是Y中的非空集合.如果E是關于K的改進集,則

證明僅需證明

可以驗證int(Y(?int E))/=?,即Y(?cl E)/=?.若不然,Y(?cl E)=?,則cl E=Y.利用引理1.2可得,int E=int(cl E)=int Y=Y.因此,E=Y,這與0/∈E矛盾.

下面,證明Y(?int E)是關于K的free disposal集.顯然,Y(?int E)?Y(?int E)+K.因此只需證明:

若存在x∈Y(?int E)+K,x/∈Y(?int E).因為x∈Y(?int E)+K,則存在y∈Y(?int E)和z∈K,使得x=y+z.則y∈Y且?y/∈int E.由x/∈Y(?int E)可得x∈Y且?x∈int E.從而由文獻[6]中的命題1.4(b),?y=?x+z∈int E+K=int E,矛盾.因此由引理1.3可得,

注3.1改進集蘊含假定B.事實上,只要固定q∈int K,由K是凸錐可知, Y(?int E)+R++q?Y(?int E)+int K=int(Y(?E)).

注3.2定理3.1的逆定理不一定成立.下面的例子可以解釋這一點.

例3.1令

可以驗證,

然而,

即E不是關于K的改進集.

定理3.2設E是Y中的非空集合.如果cl(Y(?E))+K=int Y(?E)且0/∈E,則E是關于K的改進集.

證明假設E不是改進集,則存在x∈E+K使得x/∈E.由x∈E+K可知,存在y∈E,即?y∈?E且z∈K,使得x=y+z.因為x/∈E,所以?x/∈?E.從而?x∈Y(?E)?cl(Y(?E)).因此,

這與?y∈?E矛盾.

[1]Tanaka T,Kuroiwa D.The convexity of A and B assures int A+B=int(A+B)[J].Applied Mathematics Letters,1993,6(1):83-86.

[2]Tanaka T,Kuroiwa D.Some general conditions assuring int A+B=int(A+B)[J].Applied Mathematics Letters,1993,6(3):51-53.

[3]Tanaka T,Kuroiwa D.Another observation on conditions assuring int A+B=int(A+B)[J].Applied Mathematics Letters,1994,7(1):19-22.

[4]Debreu G.Theory of Value[M].New York:John Wiley,1959.

[5]Chicco M,Mignanego F,Pusillo L,et al.Vector optimization problem via improvement sets[J].Journal of Optimization Theory and Applications,2011,150(3):516-529.

[6]Guti′errez C,Jim′enez B,Novo V.Improvement sets and vector optimization[J].European Journal of Operational Research,2012,223(2):304-311.

[7]Zhao Kequan,Yang Xinmin.A unif i ed stability result with perturbations in vector optimization[J].Optimization Letters,2013,7(8):1913-1919

[8]Zhao Kequan,Yang Xinmin.E-Benson proper efficiency in vector optimization[J].Optimization,2013,doi: 10.1080/02331934.2013.798321.

[9]Zhao Kequan,Yang Xinmin,Peng Jianwen.Weak E-optimal solution in vector optimization[J].Taiwanese Journal of Mathematics,2013,17(4):1287-1302.

[10]Zhao Kequan,Yang Xinmin.E-proper saddle points and E-proper duality in vector optimization with set-valued maps[J].Taiwanese Journal of Mathematics,2014,18(2):483-495.

[11]Flores-Baz′an F,Hern′andez E.A unif i ed vector optimization problem:complete scalarizations and applications[J].Optimization,2011,60(12):1399-1419.

Some topological properties of improvement sets in vector optimization

Xia Yuanmei,Lin An,Zhao Kequan
(College of Mathematics Science,Chongqing Normal University,Chongqing401331,China)

In this paper,topological operational properties of improvement sets are studied.Some operational characterizations of topological interior of sum for two nonempty sets are presented by using improvement sets in topological vector space.Furthermore,a strong version of Assumption B proposed by Flores-Baz′an and Hern′andez is obtained by improvement sets.Moreover,some examples are given to illustrate our main results.

improvement sets,assumption B,topological properties,vector optimization

O221.6

A

1008-5513(2014)06-0604-06

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.06.009

2014-05-03.

國家自然科學基金(11301574,11271391,11171363).

夏遠梅(1990-),碩士生,研究方向：最優化理論及應用.

2010 MSC:90C26,90C29,90C30