向量優化中集合的一些相對代數性質和相對拓撲性質

張萬里,林安

向量優化中集合的一些相對代數性質和相對拓撲性質

張萬里,林安

(重慶師范大學數學學院,重慶401331)

基于Flores-Baz′an等人的思想,提出了假設B1和假設B2,證明了集合和的相對代數內部等于相對代數內部的和;集合代數閉包與相對代數內部的和等于和的相對代數內部;集合和的相對拓撲內部等于相對拓撲內部的和;集合拓撲閉包與相對拓撲內部的和等于和的相對拓撲內部,建立了集合代數閉包相等與代數內部相等,拓撲閉包相等與拓撲內部相等之間的一些等價關系.

向量優化;假設B;相對代數性質;相對拓撲性質

1 引言

凸集的相對代數性質和相對拓撲性質在向量優化理論研究中具有十分重要的作用[1-2].然而,在實際問題中存在大量的非凸集.因此,如何在適當假設條件下獲得非凸集的一些相對代數性質和相對拓撲性質是非常有意義的研究主題.1959年,Debreu[3]引入了free disposal集的概念,并提出了假設A:設P?Y為內部非空的真凸錐,SY滿足0∈?S且S+int P=int S(或S+int P?S,或cl S+int P?S).此后,在經濟理論和優化問題中與該假設有關的條件被廣泛應用.2007年,Bonnisseau[4]等人在P是閉凸錐的情況下提出了free disposal假設P:S+P=S.2010年,Tammer[5]等人又提出了強free-disposal假設PS:S+(P{0})=int S或cl S+int P?S.2011年,Flores-Baz′an[6]等人指出假設A,假設P,假設PS具有如下關系:當0∈?S,int S/=?且int P/=?時,(PS)?(P)?(A),并提出了假設B:0/=q∈Y,SY滿足0∈?S且cl S+R++q?int S,其中R++(0,+∞).此外,Flores-Baz′an等人還在假設B下獲得了集合的一些拓撲性質.假設B目前已成為研究向量優化問題的重要工具[7-9].

受文獻[6,10]中研究工作的啟發,本文分別在實線性空間和實拓撲線性空間中提出了假設B1和假設B2,并在相應條件下證明了集合的一些相對代數性質和相對拓撲性質.

2 假設B1下集合的一些相對代數性質

假定Y是實線性空間,S為Y的非空子集,Sc,Sri分別表示S的代數閉包和相對代數內部,Rn表示n維歐氏空間.基于Flores-Baz′an等人的思想,本文提出假設B1:0/=q∈Y, Sc+R++q?Sri.

注2.1若S滿足假設B1,則Sri非空.

注2.2若S滿足假設B,則S滿足假設B1,反之不一定成立.

例2.1令Y=R3,S={(x1,x2,0)|1≥x1≥0,x2≥1}∪{(x1,x2,0)|x1≥1,x2≥0}, q=(1,1,0).顯然,S關于q滿足假設B1,但S不滿足假設B.

注2.3上面的例2.1也表明滿足假設B1的集合S不必是凸集,也不必是錐.

定義2.1[1]S的代數閉包Sc={y∈Y|?h∈Y,?ε>0,?t∈[0,ε],s+th∈S}.

定義2.2[1]S的相對代數內部Sri={s∈S|?h∈af fS?s,?ε>0,?t∈[0,ε],s+th∈S}.

引理2.1[11]設S,F?Y為兩個非空集,則Sc+Fc?(S+F)c.

引理2.2設非空集S關于0/=q∈Y滿足假設B1,則S+R++q=Sc+R++q=Sri.

證明任取s∈S,顯然有0∈af fS?s.因此?q∈af fS?(s+q).由s∈Sc和S滿足假設B1得s+q∈Sc+R++q?Sri.于是af fS?(s+q)?af fS?Sri?af fS?S.

任取x∈Sri,由定義2.2可知,對于q∈Y,存在ε0>0,使得x∈S+ε0q?S+R++q.故

再由S滿足假設B1可得S+R++q?Sc+R++q?Sri.結論得證.

定理2.1設S,P?Y為兩個非空集,且S,S+P關于0/=q∈Y滿足假設B1,則

證明任取x∈(S+P)ri?S+P,則存在s∈S,p∈P,使得x=s+p.因為

根據定義2.2可知,對于q∈Y,存在ε0>0,使得x∈S+ε0q+P?Sri+P.于是(S+P)ri?Sri+P.

任取y∈Sri+P,則存在s∈Sri,p∈P,使得y?p=s∈Sri.由相對代數內部的定義可知:

因而y∈(S+p)ri.根據引理2.2得S+R++q=Sri,(S+P)+R++q=(S+P)ri.故

則有Sri+P?(S+P)ri.結論得證.

注2.4從定理2.1的證明可知:若S關于0/=q∈Y滿足假設B1,則(S+P)ri?Sri+P.

注2.5定理2.1中條件“S+P關于0/=q∈Y滿足假設B1”不能去掉,否則結論可能不成立.

例2.2令Y=R2,S={(x1,x2)|x1=0,x2≥0},P={(x1,x2)|x1≥1,x2≥1},q=(0,1).顯然,S關于q滿足假設B1,S+P=P關于q不滿足假設B1.進一步可驗證

推論2.1設S,P?Y為兩個非空集,且S,P,S+P關于0/=q∈Y滿足假設B1,則

證明由定理2.1可知結論顯然成立.

定理2.2設S,P?Y為兩個非空集,且S,P,S+P關于0/=q∈Y滿足假設B1,則

證明任取x∈Sc+Pri,存在s∈Sc,p∈Pri,使得x=s+p.因為

由相對代數內部定義知,對于q∈Y,存在ε0>0,使得x∈Sc+ε0q+P?Sri+P.故

另一方面,結合定理2.1易得(S+P)ri=S+Pri?Sc+Pri.結論得證.

推論2.2設S,P?Y為兩個非空集,且S,P,S+P關于0/=q∈Y滿足假設B1,則

證明根據推論2.1和定理2.2可得結論成立.

定理2.3設S,P?Y為兩個非空集,S關于0/=q∈Y滿足假設B1,則

證明由引理2.1和引理2.2得,

此外,(Sri+P)c?(S+P)c是顯然的.結論得證.

推論2.3設S,P?Y為兩個非空集,關于0/=q1,q2∈Y分別滿足假設B1,則

證明由定理2.3可知結論顯然成立.

定理2.4設S?Y為非空集且關于0/=q∈Y滿足假設B1,則(Sri)c=Sc,(Sc)ri=Sri.證明任取x∈Sc,令h=q∈Y,對任意的ε>0,t∈(0,ε]?[0,ε],均有

由代數閉包的定義得x∈(Sri)c.故Sc?(Sri)c.此外,顯然有(Sri)c?Sc.因此(Sri)c=Sc.

任取s∈Sc,因為?q∈af f(Sc)?s?q?af f(Sc)?Sc,故對任意的y∈(Sc)ri,存在ε0>0,使得y∈Sc+ε0q?Sri.于是(Sc)ri?Sri.此外,Sri?(Sc)ri.因此(Sc)ri=Sri.結論得證.

一般情況下,僅有(Sri)ri?Sri,Sc?(Sc)c.然而下面的例子表明:若S關于0/=q∈Y滿足假設B1,則(Sri)ri=Sri,Sc=(Sc)c,即Sri是相對代數開集,Sc是代數閉集.

例2.3令Y=R3,S={(x1,x2,0)|x1≥0,x2≥0},q=(1,1,0).

顯然,S關于q滿足假設B1,且可驗證:

因此,Sri是相對代數開集,Sc是代數閉集.

定理2.5設S關于0/=q∈Y滿足假設B1,則Sri=(Sri)ri,Sc=(Sc)c.

證明顯然(S+R++q)ri=(S+R+q)ri.由定理2.1和引理2.2得,

由引理2.1和定理2.4得(Sc)c+R+q?(Sc+R++q)c?(Sri)c=Sc.故(Sc)c?Sc.此外,Sc?(Sc)c是顯然的.結論得證.

定理2.6設S,P?Y為兩個非空集,對于0/=q1,q2∈Y分別滿足假設B1,則

證明首先證明Sc=Pc?Sri=Pri.

若Sc=Pc,由定理2.4得Sri=(Sc)ri=(Pc)ri=Pri.

若Sri=Pri,由定理2.4得Sc=(Sri)c=(Pri)c=Pc.

接下來證明Sc=Pc?Sri?P?Sc.同理可證Sc=Pc?Pri?S?Pc.

若Sc=Pc,則Sri=Pri.于是Sri=Pri?P?Pc=Sc.

若Sri?P?Sc,由定理2.4和定理2.5得Sc=(Sri)c?Pc?(Sc)c=Sc,故Sc=Pc.

3 假設B2下集合的一些相對拓撲性質

假定Y是實拓撲線性空間,S為Y的非空子集,cl S,ri S,af fS分別表示S的拓撲閉包,相對拓撲內部和仿射包.基于相對拓撲內部,本文提出假設B2:

注3.1若S滿足假設B2,則ri S非空.此外,S不一定是凸集也不一定是錐.

注3.2若S滿足假設B,則S滿足假設B2,反之不一定成立.

定義3.1[1]S的相對拓撲內部ri S={s∈S|存在零鄰域U使得(s+U)∩cl(af fS)?S}.

引理3.1設S關于0/=q∈Y滿足假設B2,則S+R++q=cl S+R++q=ri S.

證明任取x∈ri S,則存在零鄰域U,使得

由U的吸收性,存在r∈R++,使得

此外,由x+rq?ri S?S及彷射集的性質,有

由(3.1)-(3.3)式,得

因此x∈S+rq?S+R++q.于是

結合S滿足假設B2,得S+R++q?cl S+R++q?ri S.結論得證.

定理3.1設S,P?Y為兩個非空集,且S,S+P關于0/=q∈Y滿足假設B2,則

證明任取x∈ri(S+P)?S+P,則存在s∈S,p∈P,使得x=s+p,且存在零鄰域U滿足:

由U的吸收性知,存在r∈R++,使得

又由彷射集的性質可得,

由(3.4)-(3.6)式得,

則x∈ri S+P.故ri(S+P)?ri S+P.

任取y∈ri S+P,存在s∈ri S,p∈P,使得y?p=s∈ri S.由定義存在零鄰域V,使得

即(y+V)∩cl(af f(S+p))?S+p.根據定義得y∈ri(S+p).根據引理3.1得,

則ri(S+p)=ri S+p=S+R++q+p?S+R++q+P.故ri S+P?ri(S+P).結論得證.

注3.3從定理3.1的證明可知:若S關于0/=q∈Y滿足假設B2,則ri(S+P)?ri S+P.

注3.4定理3.1中條件“S+P關于0/=q∈Y滿足假設B2”不能去掉,否則結論可能不成立.

推論3.1設S,P?Y為兩個非空集,且S,P,S+P關于0/=q∈Y滿足假設B2,則

證明由定理3.1可知結論成立.

類似于定理3.1的證明,可以得到下面的定理3.2及其推論.

定理3.2設S,P?Y為兩個非空集,且S,P,S+P關于0/=q∈Y滿足假設B2,則

推論3.2設S,P?Y為兩個非空集,且S,P,S+P關于0/=q∈Y滿足假設B2,則

定理3.3設S,P?Y為兩個非空集,S關于0/=q∈Y滿足假設B2,則

證明根據引理3.1,類似于定理2.3的證明可得結論成立.

推論3.3設S,P?Y為兩個非空集,對于0/=q1,q2∈Y分別滿足假設B2,則

定理3.4設S關于0/=q∈Y滿足假設B2,則ri(cl S)=ri S,cl(ri S)=cl S.

證明類似于定理2.4的證明可得ri(cl S)=ri S.顯然有,

下證cl S?cl(ri S).

任取x∈cl S,對任意的零鄰域U,存在r∈R++,使得x+rq∈x+U.由x+rq∈ri S得(x+U)∩ri S非空.根據拓撲閉包的定義得x∈cl(ri S),于是clS?cl(ri S).結論得證.

定理3.5設S,P?Y為兩個非空集,關于0/=q1,q2∈Y分別滿足假設B2,則

證明類似于定理2.6的證明可得結論成立.

參考文獻

[1]史書中.凸分析[M].上海:上海科學技術出版社,1990.

[2]Jahn J.Vector Optimization:Theory,Applications and Extensions[M].New York:Springer,2011.

[3]Debreu G.Theory of Value[M].New York:John Wiley,1959.

[4]Bonnisseau J M,Crettez B.On the characterization of efficient production vectors[J].Economic Theory, 2007,31(2):213-223.

[5]Tammer C,Zˇalinescu C.Lipschitz properties of the scalarization function and applications[J].Optimization, 2010,59(2):305-319.

[6]Flores-Baz′an F,Hern′andez E.A unif i ed vector optimization problem:complete scalarizations and applications[J].Optimization,2011,60(12):1399-1419.

[7]Flores-Baz′an F,Hern′andez E.Optimality conditions for a unif i ed vector optimization problem with not necessarily preordering relations[J].Journal of Global Optimization,2013,56:299-315.

[8]Zhao K Q,Xia Y M.A kind of unif i ed proper efficiency in vector optimization[J].Abstract and Applied Analysis,Article ID 636907,2014.

[9]Flores-Baz′an F,Laengle S.Characterizing efficiency on inf i nite-dimensional commodity spaces with ordering cones having possibly empty interior[J].Journal of Optimization Theory and Applications,Doi:10.1007/s 10957-014-0558-y,2014.

[10]Tanaka T,Kuroiwa D.The convexity of A and B assures int A+B=int(A+B)[J].Applied Mathematics Letter,1993,6(1):83-86.

[11]楊玉紅.集合的凸性及其應用[D].重慶:重慶師范大學圖書館,2007.

Some relative algebraical properties and relative topological properties of sets in vector optimization

Zhang Wanli,Lin An
(College of Mathematics Science,Chongqing Normal University,Chongqing401331,China)

In this paper,the Assumption B1and B2are proposed basing on the idea of Flores-Baz′an et al. The relative algebraic interior of the sum for two sets is equal to the sum of the relative algebraic interior for these sets,the sum of the algebraic closure of a set and the relative algebraic interior of a set is equal to the sum of the relative algebraic interior for the two sets,the relative topological interior of the sum for two sets is equal to the sum of the relative topological interior for these sets,the sum of topological closure of set and the relative topological interior of set is equal to the sum of the relative topological interior for the two sets are proved.Furthermore,the equivalent relations between equality of the algebraic closure and the equality of algebraic interior are established.We also obtain the similar equivalent relations for the topological closure and the relative topological interior.

vector optimization,Assumption B,relative algebraical properties,relative topological properties

O221.6

A

1008-5513(2014)06-0642-07

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.06.014

2014-07-23.

國家自然科學基金(11301574,11171363).

張萬里(1987-),碩士生,研究方向：最優化理論及應用.

2010 MSC:90C26,90C29,90C30