Loeb乘積空間及Keisler′s Fubini定理

史艷維

（西安培華學(xué)院 基礎(chǔ)部，陜西 西安710125）

1 引言與預(yù)備知識

自20世紀(jì)60年代，A.Robinson［1］創(chuàng)立非標(biāo)準(zhǔn)分析理論以來，非標(biāo)準(zhǔn)測度就一直是研究的熱點之一.1975年，Loeb在文獻［2］中，基于Caratheodory擴張定理［3－4］，將一個在內(nèi)代數(shù)上的內(nèi)有限可加測度擴張到由這個內(nèi)代數(shù)生成的σ－代數(shù)上，成為一個標(biāo)準(zhǔn)測度，稱之為Loeb測度.之后，Loeb測度被廣泛地應(yīng)用于測度論、概率論、隨機分析、控制論、數(shù)理經(jīng)濟等方面的研究中.本文在非標(biāo)準(zhǔn)多飽和模型下，研究Loeb乘積空間及 Keisler′s Fubini定理.對于內(nèi)有限可加測度空間（Y1，A1，ν1）和（Y2，A2，ν2），分別構(gòu)造Loeb乘積空間L（Y1×Y2）和乘積Loeb空間L（Y1）×L（Y2），并給出兩者之間的聯(lián)系.討論L（A1×A2）－可測集截口的可測性.在Loeb乘積空間上證明了Keisler′s Fubini定理.

本文的討論假設(shè)在非標(biāo)準(zhǔn)多飽和模型下進行，詳細的內(nèi)容可以參見文獻［5－9］.

定義1 設(shè)Y是非空內(nèi)集，A?2Y是Y上的內(nèi)代數(shù)，稱（Y，A）為內(nèi)可測空間.如果內(nèi)映射ν：A→＊R＋∪｛0｝滿足可加性（即 ?A，B∈A，若A∩B＝?，則ν（A∪B）＝ν（A）＋ν（B）），那么稱（Y，A，ν）是內(nèi)有限可加測度空間.

若（Y，A，ν）是內(nèi)有限可加測度空間且ν（Y）有限，定義映射為，?B∈2Y，

引理1［2］L（A）是σ－代數(shù)，νL是L（A）上完備的σ－可加測度.

定義2 設(shè)（Y，A，ν）是內(nèi)有限可加測度空間且ν（Y）有限，稱標(biāo)準(zhǔn)測度空間（Y，L（A），νL）為關(guān)于（Y，A，ν）的Loeb空間，簡稱為Loeb空間.

引理2［3］設(shè)ν是代數(shù)A上的一個有限可加測度，如果對于A中任意的互不相交的可數(shù)集列｛An｝n∈N，當(dāng)時，都有，那么ν有一個σ－可加擴張.若ν是有限的，則擴張是唯一的.

定義3 設(shè)X與Y 是兩個集合，E?X×Y，令Ex＝ ｛y∈Y：（x，y）∈E｝，Ey＝ ｛x∈X：（x，y）∈E｝，稱Ex及Ey分別為E在x及y處的截口.設(shè)f（x，y）為X×Y上的函數(shù)，為方便起見，記fx（y）＝f（x，y）＝fy（x）.

引理3［2］設(shè)（Y1，A1，ν1）和（Y2，A2，ν2）是兩個內(nèi)測度空間，（Y1×Y2，A1×A2，ν1×ν2）是乘積內(nèi)空間，F(xiàn)為A1×A2－可測的S有界的內(nèi)函數(shù)，則

（1）對于?y1∈Y1，F(xiàn)在y1處的截口Fy1是A2－可測的內(nèi)函數(shù)；

（2）對于?y2∈Y2，F(xiàn)在y2處的截口Fy2是A1－可測的內(nèi)函數(shù)；

2 主要結(jié)果

設(shè)（Y1，A1，ν1）和（Y2，A2，ν2）是兩個內(nèi)有限可加測度空間，且ν1（Y1）和ν2（Y2）有限，可以構(gòu)造相應(yīng)的Loeb空間的乘積：L（Y1）×L（Y2）＝ （Y1×Y2，L（A1）×L（A2），（ν1）L×（ν2）L），其中L（A1）×L（A2）＝ ｛A1×A2｜A1∈L（A1），A2∈L（A2）｝，任取A1×A2∈L（A1）×L（A2），（ν1）L×（ν2）L（A1×A2）＝ （ν1）L（A1）×（ν2）L（A2）.由Caratheodory擴張定理，可以得到σ（L（A1）×L（A2））上的乘積測度，仍記為（ν1）L×（ν2）L，令是σ（L（A1）×L（A2））關(guān)于乘積測度（ν1）L×（ν2）L的完備化.

也可以先構(gòu)造乘積內(nèi)有限可加測度空間（Y1×Y2，A1×A2，ν1×ν2），其中A1×A2＝ ｛A1×A2｜A1∈A1，A2∈A2｝是由A1和A2生成的乘積內(nèi)代數(shù)，對于 ?A1×A2∈A1×A2，ν1×ν2（A1×A2）＝ν1（A1）×ν2（A2）.則ν1×ν2也可以擴張成σ（A1×A2）上的測度，通過這個測度的完備化，得到相應(yīng)的Loeb乘積空間：L（Y1×Y2）＝ （Y1×Y2，L（A1×A2），（ν1×ν2）L）.

定理1 設(shè)（Y1，A1，ν1）和（Y2，A2，ν2）是兩個內(nèi)有限可加測度空間，且ν1（Y1）和ν2（Y2）有限，則并且在上，（ν1×ν2）L與（ν1）L× （ν2）L是一致的.

證明首先其中是σ（A1）×σ（A2）關(guān)于（ν1）L×（ν2）L的完備化.事實上，任取A2∈A2，由于｛A1∈σ（A1）｜A1×A2∈σ（A1×A2）｝是一個σ代數(shù)且｛A1∈σ（A1）｜A1×A2∈σ（A1×A2）｝?A1，則｛A1∈σ（A1）｜A1×A2∈σ（A1×A2）｝＝σ（A1）.

同理，任取A1∈σ（A1），可得｛A2∈σ（A2）｜A1×A2∈σ（A1×A2）｝＝σ（A2），從而σ（A1）×σ（A2）?σ（A1×A2）.由 Caratheodory 擴 張 定 理 可 知，（ν1×ν2）L｜σ（A1）×σ（A2）＝ （ν1）L× （ν2）L｜σ（A1）×σ（A2）.因 此，

定理2 對于 ?A ∈L（A1×A2），如果（ν1×ν2）L（A）＝0，則對于幾乎所有的y1∈Y1，截口Ay1是L（A2）－可測的，且（ν2）L（Ay1）＝0.

證明設(shè)Y1×Y2中的遞減內(nèi)子序列｛Bn｝滿足且（ν1×ν2）L（Bn）→0.令由于Bn∈A1×A2，由引理3，對于，則對于每一個n∈N，ν2（（Bn）y1）是 A2 －可測的，所以是L（A2）－可測的.由于ν1×ν2（Bn）＝∫ν2（（Bn）y1）dν1，且由Loeb測度的定義，得出

由單調(diào)收斂定理，則

因此，對于幾乎所有的y1∈Y1，（ν2）L（By1）＝0.又因為A?B，故對于幾乎所有的y1∈Y1，Ay1是L（A2）－可測的，且（ν2）L（Ay1）＝0.

定理3 設(shè)（Y1，A1，ν1）和（Y2，A2，ν2）是兩個內(nèi)有限可加測度空間，且ν1（Y1）和ν2（Y2）有限，f：Y1×Y2→R是L（A1×A2）－可測函數(shù)，則

（1）對幾乎所有的y1∈Y1，fy1是L（A2）－可測的；

（2）若f是可積的，則

（ⅰ）對幾乎所有的y1∈Y1，fy1在Y2上是Loeb可積的；

（ⅱ）函數(shù)g（y1）＝∫Y2f（y1，y2）d（ν2）L在Y1上是Loeb可積的；

證明對函數(shù)f是有界或無界分兩種情況進行討論.

若f是有界L（A1×A2）－可測函數(shù)，則存在f的S有界提升F，令A(yù)＝ ｛（y1，y2）｜°F（y1，y2）≠f（y1，y2）｝，則A 是零測度集.由定理2，對于幾乎所有的y1∈Y1，Ay1是L（A2）－可測的，且（ν2）L（Ay1）＝0，于是對于幾乎所有的y1∈Y1， °Fy1＝fy1，即Fy1是fy1的提升.由引理3可知，F(xiàn)y1是A2－可測的，從而對幾乎所有的y1∈Y1，fy1是L（A2）－可測的.令G（y1）＝∫Y2F（y1，y2）dν2，由引理3，則G（y1）是A1 －可測的.又因為所以g（y1）是L（A1）－可測的，且

若f無界，對于每一個有限數(shù)n，f∧n是有界L（A1×A2）－可測函數(shù)，由有界情形可得，對幾乎所有的y1∈Y1，（f∧n）y1是L（A2）－可測的，令n→∞，由單調(diào)收斂定理，則fy1是L（A2）－可測的.同理可證fy1是Loeb可積的，及g（y1）＝∫Y2f（y1，y2）d（ν2）L是Loeb可積的.由單調(diào)收斂定理，

通過對Loeb乘積空間和Keisler′sFubini定理的討論，不僅為非標(biāo)準(zhǔn)測度論拓寬了研究范圍，而且為測度理論的探索提供了一種新的思路和方法.

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