分類討論的思想在高中數學解題中的應用

周劍

摘?要：分類討論的思想在高中數學的解題過程中應用非常廣泛，筆者在多年的教學過程中發現學生在遇到需要通過分類討論才能解決的問題時，往往失分較多，究其原因主要是不能根據需要科學地進行分類，不知道以什么標準來分類；分類不完整，討論重復或者有遺漏；對分類討論所得到的結果處理不當，答題不完整不規范。針對這一現狀筆者總結了一些心得，希望能給學生帶來一些幫助。

關鍵詞：數學；分類討論；標準；步驟

在高中數學問題中廣泛地存在含有參數的各類問題，這也是近年來高考考查的重點和熱點之一。以數學命題的條件和結論的結構為標準，我們可以把含參數的問題大致分為兩種類型：一是根據參數的取值范圍，去尋求命題可能出現的結果，從而歸納出命題的結論；二是給定命題的結論，去尋求參數的取值范圍或者應滿足的條件。然而這些問題的求解往往都會涉及分類討論的思想方法，本文中筆者就分類討論的思想方法在這類問題中的應用進行一些探討，不妥之處，敬請斧正。

解決含有參數的問題，需要用到分類討論的方法時，首先要明確需要討論的對象，再根據題目的條件和所涉及的數學概念、定理、公式、性質以及運算的需要等進行科學合理的分類，然后逐類進行討論，尋求各自的結果，最后歸納出命題的最終結論，達到解決問題的目的。其根本在于化難為易，化繁為簡，這是比較常見的解題策略和方法。

一、科學合理的分類

何謂科學合理的分類，就是把一個集合A分成若干個非空真子集Ai（i=1、2、3…n）（n≥2，n∈N+），使集合A中的每一個元素都屬于且僅屬于某一個子集。即滿足：

①A1∪A2∪A3∪…∪An=A

②Ai∩Aj=φ（i，j∈N+，且i≠j）

則稱對集合A進行了一次科學的分類。

科學的分類需要具備這樣兩個條件：一是確保分類不能有遺漏，二是確保分類不能有重復，即通常所說的不重不漏。在此基礎之上再根據題目的條件和性質，做到盡可能減少分類。

二、確定分類標準

解題過程中如果已經確定了需要分類討論的對象，那么接下來要做的就是以什么樣的標準來分類，這也是學生最困惑的地方，同時也是分類討論的關鍵。通常情況下我們可以從以下三個方面入手來分析確定分類的標準。

1.根據數學中的概念確定分類標準

例如：數學中的絕對值是這樣定義的：

a（a＞0）

│a│=?0（a=0）

-a（a＜0），因而在解

不等式│log?x│+│log?（3-x）│≥

1時，就要根據決定log?x和log?（3-

x）正負的x值1和2將定義域（0，3）分成三段區間進行分類討論，即0＜

x＜1、1≤x≤2以及2＜x＜3三種情況分類討論。

例1?求函數y=│x+1│+│x-2│-

2的值域。

解：函數y=│x+1│+│x-2│-2的零點是x=-1和x=2，所以應該以-1和2作為分類討論的標準，將定義域R分成三段，即x＜-1，-1≤x≤2以及x＞2進行分類討論：

ⅰ）當x＜-1時，y=-2x-1

ⅱ）當-1≤x≤2時，y=1

ⅲ）當x＞2時，y=2x-3

綜上所述，

-2x-1（x＜-1）

y=?1（-1≤x≤2）

y=2x-3（x＞2），再由分段函數的圖象不難得出函數的值域為[1，+∞）。

2.根據數學中的定理、公式和性質確定分類標準

高中數學中的許多定理、公式和性質，在條件發生變化時有著不同的結論，所以在使用過程中就要注意分類討論，分類討論的依據是定理、公式和性質中的條件。

例如：等比數列前幾項和公式是分段給出的：

na1（q=1）

Sn=?—（q≠1），所以在解這類問題時，如果q是可以變化的量，就要以q為標準進行分類討論。又如，對數函數y=logax的單調性是以0＜a＜1和a＞1兩種情況分別定義的，所以在解底數中含有字母的對數不

等式時就要注意分類討論。比如logx—＞

-1就應以底數0＜x＜1和x＞1進行分類討論，即：當0＜x＜1時，—＜

—，當x＞1時，—＞—。

3.根據解題中的需要確定分類標準

例如：解不等式組

3＜x＜4

1＜x＜a，顯然，應以3，4為標準將a分為1＜a≤3，3＜a≤4以及a＞4三種情況進行討論。

例2?已知圓（x-2）2+（y-3）2=1，

求該圓與x軸和y軸的截距相等的切線l 的方程。

解：由題意設切線l與x軸和y軸的截距分別為a，b，則a=b，根據直線方程的適用范圍可知必須對截距a和b是否為零進行討論：

ⅰ）若a=b≠0時，設l的方程為 —+—=1，即x+y-a=0，因為直線和圓相切，所以圓心（2，3）到直線l的距離等于圓的半徑，故—=1解

得a=5+√2或a=5-√2，所以l的方程為x+y-（5+√2）=0或x+y-（5-√2）=0

ⅱ）若a=b=0時，設l的方程為y=kx，即kx-y=0，所以—=1，

解得k=—或k=—，所以l的方程為（6+2√3）x-3y=0或（6-2√3）x-3y=0

綜上所述：l的方程為x+y-（5+√2）=0或x+y-（5-√2）=0或（6+2√3）x-3y=0或（6-2√3）x-3y=0。

三、分類討論的方法和步驟

通常情況下運用分類討論解題時的常規步驟應分為：①確定是否需要分類討論以及需要討論時的對象和它的取值范圍；②確定分類標準科學合理；③逐類進行討論得出各類結果；④歸納各類結論。

例3? 已知函數f（x）=sin2x-asin2—（x∈R，a∈R），試用a表示f（x）的最大值。

解：原函數化為f（x）=-（cosx-

—）2+—，令t=cosx，則-1≤t≤1，

記f（t）=-（t-—）2+—，t∈[-1，

1]，因為二次函數y=f（t）的最大值的取得與圖象的頂點的橫坐標相對于定義域[-1，1]的位置密切相關，所以對—相對于區間[-1，1]的位置分三種情況討論：

ⅰ）當—＞1，即a＞4時， f（t）max=

0，此時t=1

ⅱ）當-1≤—≤1，即-4≤a≤

4時， f（t）max=—，此時t=—

ⅲ）當 —＜-1，即a＜-4時，

f（t）max=-a ，此時t=1

綜上所述：

0（a＞4）

f（t）max=?—（-4≤a≤4）

-a（a＜-4）。

四、結束語

中學數學學習過程中，分類討論是一種非常重要的解題思想，它對于培養學生根據題目條件分析問題、解決問題的能力很有幫助，同時對學生數學思維的嚴謹性、縝密性和靈活性的提高也有較大的幫助。以上只是筆者對教學過程中一些常見分類討論情況做的簡單分析，實際學習過程中還有很多分類討論的標準和題型，要注意積累，類比分析，找出其規律和共性所在，總結出自己的心得才能對這類問題迎刃而解。另外，值得注意的是，并不是所有含參數的問題都得要分類討論，若能綜合利用函數與方程、轉化與化歸以及數形結合等解題思想方法可簡化或者避免分類討論，同樣可達到解題迅速、準確的效果。