淺談參數問題的解答

陳達勇

參數問題，亦即含參問題，是高中數學的重要問題類型之一，也是近幾年來高考重點考查的熱點問題之一，學生普遍認為難于應對。從問題條件、結論的構成來看，含參問題一般分為兩種類型，一種類型是根據參數在允許范圍內的不同取值（或不同范圍），探求問題可能出現的每一種結果；另一種類型是給定問題的結論探求參數的取值范圍或值（后一種可以轉化為前一種）。筆者認為，解決參數問題的方法是常規法結合分類討論法，若參數對結論有影響則要結合分類討論法，若無影響則用常規法即可。

在解答某些數學問題時，有時會有多種情況，對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合求解，這就是分類討論法。分類討論是一種邏輯方法，也是一種數學思想。解決第一種類型的參數問題，通常要用到分類討論的方法，它實際上是一種化整為零、各個擊破的解題策略和方法，其原則是：對象確定、標準統一、不重不漏、層次清晰、結論規范。此處就第一類問題的常見解題思想方法——分類與討論做一些淺顯的探討。

一、分類要科學合理

把一個集合P分成若干個非空真子集Pi（i=1，2，3…n）（n≥2，n∈N），使集合P中的每一個元素屬于且僅屬于某一個子集，即①P1∪P2∪P3∪…∪Pn＝P ②Pi∩Pj＝φ（i,j∈N,且i≠j），則稱對集合P進行了一次科學合理的分類（或稱一次邏輯劃分）。合理的分類一定要滿足上述兩個條件：條件①保證分類不遺漏，條件②保證分類不重復。

二、分類標準要統一

在確定討論的對象之后，最困難的是確定分類的標準，一般來講，分類標準的確定通常有三種：

1.根據數學定義確定分類標準

例如：絕對值的定義是：|a|=a (a>0)0 (a=0)-a(a<0)

所以在解含有絕對值的不等式|log2x|+|log2(4－x)|≥1時，就必須根據令log2x、log2（4－x）為零的x值1和3將定義域（0，4）分成三個區間進行討論，即分0＜x＜1，1≤x＜3，3≤x＜4三種情況進行討論。

例1：已知動點M到原點O的距離為m，到直線L：x＝2的距離為n，且m+n＝4。

①求點M的軌跡方程。②過原點O作傾斜角為α的直線與點M的軌跡交于P、Q兩點，求弦長|PQ|的最大值及對應的傾斜角α。

解：①設點M的坐標為（x,y），依題意可得：■+|x-2|=4，根據絕對值的概念,軌跡方程取決于x≥2還是x<2，所以以2為標準進行分類討論可得軌跡方程為：y2=4(x+1)(-1≤x<2)-12(x-3)(2≤x≤3)

②如圖1，由于P，Q的位置變化，Q弦長|PQ|的表達式不同，故必須分點P，Q都在曲線y2=4(x+1)以及一點P在曲線y2=4(x+1)上而另一點在曲線y2=－12(x－3)上可求得：

|PQ|=■(■≤α≤■)■(0≤α≤■)■(■≤α≤π)

從而知當α=■或α=■時,|PQ|max=■.

2.根據數學中的定理、公式和性質確定分類標準

數學中的某些公式、定理、性質在不同的條件下有不同的結論，在運用它們時，常需分類討論。例如，對數函數y＝logax的單調性是分0＜a＜1和a＞1兩種情況給出的，所以在解底數中含有字母的不等式如logx■>－1時，就應分底數x＞1和0＜x＜1兩種情況進行討論，即：當x＞1時，■>■, 當0＜x＜1時，■<■。又如，等比數列前n項和公式也是分情況給出的：Sn=na1 (q=1)■(q≠1)，所以在解這類問題時，如果q是可以變化的量，就要以q是否為1為標準進行分類討論。

例2：設首項為1，公比為q（q＞0）的等比數列的前n項和為Sn,又設Tn＝■，n＝1，2，…求■Tn

解：當q＝1時，Sn＝n，Tn＝■,∴■Tn=1

當q≠1時，Sn＝■ Sn+1=■ Tn=■

于是當0＜q＜1時，■qn=0,∴■Tn=1

當q＞1時，■■=0,■Tn=■

綜上所述，■Tn=1(01)

3.根據運算的需要確定分類標準

例如：解不等式組2

顯然，應以2，5為標準將分為1＜m≤2，2＜m≤5，m＞5三種情況進行討論。

例3：解關于x的不等式組loga2x<2logax(a-1)x2

解：由于不等式中均含有參數a，其解的狀況均取決于a＞1還是a＜1，所以以1為標準進行分類：

（Ⅰ）當0＜a＜1時，可求得解為：■

（Ⅱ）當a＞1時，可解得：x>20

①當1＜a≤3時解集為Φ

②當a＞3時解集為(2,■)

綜上所述：當0＜a＜1時，原不等式解集為(■,2)；當1＜a≤3時，解集為Φ；當a＞3時，解集為(2,■)。

三、分類討論的步驟要層次分明、邏輯嚴密

1.確定是否需要分類討論以及明確討論對象和它的范圍。

2.確定統一的分類標準，進行合理分類。

3.逐段逐類討論，獲得階段性結果。

4.歸納總結，得出結論。

分類討論下結論的形式有兩種：①分列式：針對參數分類討論的，且在不同條件下問題有不同的結論，歸納結論時應采用分列式；②統一式：針對變量分類討論的，且每一類討論結果均是總結論的一個子集，歸納結論時應采用統一式。

例4：若函數f（x）＝a+bcosx+csinx的圖象經過點（0,1）和（■,1）兩點，且x∈[0,■]時，|f(x)|≤2恒成立，試求a的取值范圍。

解：由f（0）＝a+b＝1，f（■）＝a+c＝1，求得b＝c＝1－a

f（x）＝a+（1－a）（sinx+cosx）＝a+■（1－a）sin（x+■）

∵■≤x+■≤■,∴■≤sim≤(x+■)≤1

①當a≤1時，1≤f（x）≤a＋■（1－a），∵|f（x）|≤2∴只要a+■（1－a）≤2，解得a≥■∴－■≤a≤1；

②當a＞1時，a＋■（1－a）≤f（x）≤1，∴只要a＋■（1－a）≥－2，解得a≤4+3■,∴1＜a≤4+3■，綜合①②知實數a的取值范圍為[－■，4+3■]。

分類討論是一種重要的解題策略，對于培養學生思維的嚴密性、嚴謹性和靈活性以及提高學生分析和解決問題的能力無疑具有較大的幫助。然而分類討論解題比較繁難，并不是問題中一出現參數就一定得分類討論，如果能利用其他數學思想方法避免分類討論的要盡量簡化和避免，從而達到迅速、準確地解題。如下面的例子：

例5：解關于x的不等式：■≥a－x

略解：運用數形結合的思想解題如圖：

在同一坐標系內作出y＝■和y＝a－x的圖象，以l1,l2,l3在y軸上的截距作為分類標準，知：

當a≤－1時;-1≤x≤3

當－1＜a≤3時;

■≤x≤3

當3＜a≤1+2■時;

■≤x≤■

當a＞1+2■時，不等式無解。

參數問題，亦即含參問題，是高中數學的重要問題類型之一，也是近幾年來高考重點考查的熱點問題之一，學生普遍認為難于應對。從問題條件、結論的構成來看，含參問題一般分為兩種類型，一種類型是根據參數在允許范圍內的不同取值（或不同范圍），探求問題可能出現的每一種結果；另一種類型是給定問題的結論探求參數的取值范圍或值（后一種可以轉化為前一種）。筆者認為，解決參數問題的方法是常規法結合分類討論法，若參數對結論有影響則要結合分類討論法，若無影響則用常規法即可。

在解答某些數學問題時，有時會有多種情況，對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合求解，這就是分類討論法。分類討論是一種邏輯方法，也是一種數學思想。解決第一種類型的參數問題，通常要用到分類討論的方法，它實際上是一種化整為零、各個擊破的解題策略和方法，其原則是：對象確定、標準統一、不重不漏、層次清晰、結論規范。此處就第一類問題的常見解題思想方法——分類與討論做一些淺顯的探討。

一、分類要科學合理

把一個集合P分成若干個非空真子集Pi（i=1，2，3…n）（n≥2，n∈N），使集合P中的每一個元素屬于且僅屬于某一個子集，即①P1∪P2∪P3∪…∪Pn＝P ②Pi∩Pj＝φ（i,j∈N,且i≠j），則稱對集合P進行了一次科學合理的分類（或稱一次邏輯劃分）。合理的分類一定要滿足上述兩個條件：條件①保證分類不遺漏，條件②保證分類不重復。

二、分類標準要統一

在確定討論的對象之后，最困難的是確定分類的標準，一般來講，分類標準的確定通常有三種：

1.根據數學定義確定分類標準

例如：絕對值的定義是：|a|=a (a>0)0 (a=0)-a(a<0)

所以在解含有絕對值的不等式|log2x|+|log2(4－x)|≥1時，就必須根據令log2x、log2（4－x）為零的x值1和3將定義域（0，4）分成三個區間進行討論，即分0＜x＜1，1≤x＜3，3≤x＜4三種情況進行討論。

例1：已知動點M到原點O的距離為m，到直線L：x＝2的距離為n，且m+n＝4。

①求點M的軌跡方程。②過原點O作傾斜角為α的直線與點M的軌跡交于P、Q兩點，求弦長|PQ|的最大值及對應的傾斜角α。

解：①設點M的坐標為（x,y），依題意可得：■+|x-2|=4，根據絕對值的概念,軌跡方程取決于x≥2還是x<2，所以以2為標準進行分類討論可得軌跡方程為：y2=4(x+1)(-1≤x<2)-12(x-3)(2≤x≤3)

②如圖1，由于P，Q的位置變化，Q弦長|PQ|的表達式不同，故必須分點P，Q都在曲線y2=4(x+1)以及一點P在曲線y2=4(x+1)上而另一點在曲線y2=－12(x－3)上可求得：

|PQ|=■(■≤α≤■)■(0≤α≤■)■(■≤α≤π)

從而知當α=■或α=■時,|PQ|max=■.

2.根據數學中的定理、公式和性質確定分類標準

數學中的某些公式、定理、性質在不同的條件下有不同的結論，在運用它們時，常需分類討論。例如，對數函數y＝logax的單調性是分0＜a＜1和a＞1兩種情況給出的，所以在解底數中含有字母的不等式如logx■>－1時，就應分底數x＞1和0＜x＜1兩種情況進行討論，即：當x＞1時，■>■, 當0＜x＜1時，■<■。又如，等比數列前n項和公式也是分情況給出的：Sn=na1 (q=1)■(q≠1)，所以在解這類問題時，如果q是可以變化的量，就要以q是否為1為標準進行分類討論。

例2：設首項為1，公比為q（q＞0）的等比數列的前n項和為Sn,又設Tn＝■，n＝1，2，…求■Tn

解：當q＝1時，Sn＝n，Tn＝■,∴■Tn=1

當q≠1時，Sn＝■ Sn+1=■ Tn=■

于是當0＜q＜1時，■qn=0,∴■Tn=1

當q＞1時，■■=0,■Tn=■

綜上所述，■Tn=1(01)

3.根據運算的需要確定分類標準

例如：解不等式組2

顯然，應以2，5為標準將分為1＜m≤2，2＜m≤5，m＞5三種情況進行討論。

例3：解關于x的不等式組loga2x<2logax(a-1)x2

解：由于不等式中均含有參數a，其解的狀況均取決于a＞1還是a＜1，所以以1為標準進行分類：

（Ⅰ）當0＜a＜1時，可求得解為：■

（Ⅱ）當a＞1時，可解得：x>20

①當1＜a≤3時解集為Φ

②當a＞3時解集為(2,■)

綜上所述：當0＜a＜1時，原不等式解集為(■,2)；當1＜a≤3時，解集為Φ；當a＞3時，解集為(2,■)。

三、分類討論的步驟要層次分明、邏輯嚴密

1.確定是否需要分類討論以及明確討論對象和它的范圍。

2.確定統一的分類標準，進行合理分類。

3.逐段逐類討論，獲得階段性結果。

4.歸納總結，得出結論。

分類討論下結論的形式有兩種：①分列式：針對參數分類討論的，且在不同條件下問題有不同的結論，歸納結論時應采用分列式；②統一式：針對變量分類討論的，且每一類討論結果均是總結論的一個子集，歸納結論時應采用統一式。

例4：若函數f（x）＝a+bcosx+csinx的圖象經過點（0,1）和（■,1）兩點，且x∈[0,■]時，|f(x)|≤2恒成立，試求a的取值范圍。

解：由f（0）＝a+b＝1，f（■）＝a+c＝1，求得b＝c＝1－a

f（x）＝a+（1－a）（sinx+cosx）＝a+■（1－a）sin（x+■）

∵■≤x+■≤■,∴■≤sim≤(x+■)≤1

①當a≤1時，1≤f（x）≤a＋■（1－a），∵|f（x）|≤2∴只要a+■（1－a）≤2，解得a≥■∴－■≤a≤1；

②當a＞1時，a＋■（1－a）≤f（x）≤1，∴只要a＋■（1－a）≥－2，解得a≤4+3■,∴1＜a≤4+3■，綜合①②知實數a的取值范圍為[－■，4+3■]。

分類討論是一種重要的解題策略，對于培養學生思維的嚴密性、嚴謹性和靈活性以及提高學生分析和解決問題的能力無疑具有較大的幫助。然而分類討論解題比較繁難，并不是問題中一出現參數就一定得分類討論，如果能利用其他數學思想方法避免分類討論的要盡量簡化和避免，從而達到迅速、準確地解題。如下面的例子：

例5：解關于x的不等式：■≥a－x

略解：運用數形結合的思想解題如圖：

在同一坐標系內作出y＝■和y＝a－x的圖象，以l1,l2,l3在y軸上的截距作為分類標準，知：

當a≤－1時;-1≤x≤3

當－1＜a≤3時;

■≤x≤3

當3＜a≤1+2■時;

■≤x≤■

當a＞1+2■時，不等式無解。

參數問題，亦即含參問題，是高中數學的重要問題類型之一，也是近幾年來高考重點考查的熱點問題之一，學生普遍認為難于應對。從問題條件、結論的構成來看，含參問題一般分為兩種類型，一種類型是根據參數在允許范圍內的不同取值（或不同范圍），探求問題可能出現的每一種結果；另一種類型是給定問題的結論探求參數的取值范圍或值（后一種可以轉化為前一種）。筆者認為，解決參數問題的方法是常規法結合分類討論法，若參數對結論有影響則要結合分類討論法，若無影響則用常規法即可。

在解答某些數學問題時，有時會有多種情況，對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合求解，這就是分類討論法。分類討論是一種邏輯方法，也是一種數學思想。解決第一種類型的參數問題，通常要用到分類討論的方法，它實際上是一種化整為零、各個擊破的解題策略和方法，其原則是：對象確定、標準統一、不重不漏、層次清晰、結論規范。此處就第一類問題的常見解題思想方法——分類與討論做一些淺顯的探討。

一、分類要科學合理

把一個集合P分成若干個非空真子集Pi（i=1，2，3…n）（n≥2，n∈N），使集合P中的每一個元素屬于且僅屬于某一個子集，即①P1∪P2∪P3∪…∪Pn＝P ②Pi∩Pj＝φ（i,j∈N,且i≠j），則稱對集合P進行了一次科學合理的分類（或稱一次邏輯劃分）。合理的分類一定要滿足上述兩個條件：條件①保證分類不遺漏，條件②保證分類不重復。

二、分類標準要統一

在確定討論的對象之后，最困難的是確定分類的標準，一般來講，分類標準的確定通常有三種：

1.根據數學定義確定分類標準

例如：絕對值的定義是：|a|=a (a>0)0 (a=0)-a(a<0)

所以在解含有絕對值的不等式|log2x|+|log2(4－x)|≥1時，就必須根據令log2x、log2（4－x）為零的x值1和3將定義域（0，4）分成三個區間進行討論，即分0＜x＜1，1≤x＜3，3≤x＜4三種情況進行討論。

例1：已知動點M到原點O的距離為m，到直線L：x＝2的距離為n，且m+n＝4。

①求點M的軌跡方程。②過原點O作傾斜角為α的直線與點M的軌跡交于P、Q兩點，求弦長|PQ|的最大值及對應的傾斜角α。

解：①設點M的坐標為（x,y），依題意可得：■+|x-2|=4，根據絕對值的概念,軌跡方程取決于x≥2還是x<2，所以以2為標準進行分類討論可得軌跡方程為：y2=4(x+1)(-1≤x<2)-12(x-3)(2≤x≤3)

②如圖1，由于P，Q的位置變化，Q弦長|PQ|的表達式不同，故必須分點P，Q都在曲線y2=4(x+1)以及一點P在曲線y2=4(x+1)上而另一點在曲線y2=－12(x－3)上可求得：

|PQ|=■(■≤α≤■)■(0≤α≤■)■(■≤α≤π)

從而知當α=■或α=■時,|PQ|max=■.

2.根據數學中的定理、公式和性質確定分類標準

數學中的某些公式、定理、性質在不同的條件下有不同的結論，在運用它們時，常需分類討論。例如，對數函數y＝logax的單調性是分0＜a＜1和a＞1兩種情況給出的，所以在解底數中含有字母的不等式如logx■>－1時，就應分底數x＞1和0＜x＜1兩種情況進行討論，即：當x＞1時，■>■, 當0＜x＜1時，■<■。又如，等比數列前n項和公式也是分情況給出的：Sn=na1 (q=1)■(q≠1)，所以在解這類問題時，如果q是可以變化的量，就要以q是否為1為標準進行分類討論。

例2：設首項為1，公比為q（q＞0）的等比數列的前n項和為Sn,又設Tn＝■，n＝1，2，…求■Tn

解：當q＝1時，Sn＝n，Tn＝■,∴■Tn=1

當q≠1時，Sn＝■ Sn+1=■ Tn=■

于是當0＜q＜1時，■qn=0,∴■Tn=1

當q＞1時，■■=0,■Tn=■

綜上所述，■Tn=1(01)

3.根據運算的需要確定分類標準

例如：解不等式組2

顯然，應以2，5為標準將分為1＜m≤2，2＜m≤5，m＞5三種情況進行討論。

例3：解關于x的不等式組loga2x<2logax(a-1)x2

解：由于不等式中均含有參數a，其解的狀況均取決于a＞1還是a＜1，所以以1為標準進行分類：

（Ⅰ）當0＜a＜1時，可求得解為：■

（Ⅱ）當a＞1時，可解得：x>20

①當1＜a≤3時解集為Φ

②當a＞3時解集為(2,■)

綜上所述：當0＜a＜1時，原不等式解集為(■,2)；當1＜a≤3時，解集為Φ；當a＞3時，解集為(2,■)。

三、分類討論的步驟要層次分明、邏輯嚴密

1.確定是否需要分類討論以及明確討論對象和它的范圍。

2.確定統一的分類標準，進行合理分類。

3.逐段逐類討論，獲得階段性結果。

4.歸納總結，得出結論。

分類討論下結論的形式有兩種：①分列式：針對參數分類討論的，且在不同條件下問題有不同的結論，歸納結論時應采用分列式；②統一式：針對變量分類討論的，且每一類討論結果均是總結論的一個子集，歸納結論時應采用統一式。

例4：若函數f（x）＝a+bcosx+csinx的圖象經過點（0,1）和（■,1）兩點，且x∈[0,■]時，|f(x)|≤2恒成立，試求a的取值范圍。

解：由f（0）＝a+b＝1，f（■）＝a+c＝1，求得b＝c＝1－a

f（x）＝a+（1－a）（sinx+cosx）＝a+■（1－a）sin（x+■）

∵■≤x+■≤■,∴■≤sim≤(x+■)≤1

①當a≤1時，1≤f（x）≤a＋■（1－a），∵|f（x）|≤2∴只要a+■（1－a）≤2，解得a≥■∴－■≤a≤1；

②當a＞1時，a＋■（1－a）≤f（x）≤1，∴只要a＋■（1－a）≥－2，解得a≤4+3■,∴1＜a≤4+3■，綜合①②知實數a的取值范圍為[－■，4+3■]。

分類討論是一種重要的解題策略，對于培養學生思維的嚴密性、嚴謹性和靈活性以及提高學生分析和解決問題的能力無疑具有較大的幫助。然而分類討論解題比較繁難，并不是問題中一出現參數就一定得分類討論，如果能利用其他數學思想方法避免分類討論的要盡量簡化和避免，從而達到迅速、準確地解題。如下面的例子：

例5：解關于x的不等式：■≥a－x

略解：運用數形結合的思想解題如圖：

在同一坐標系內作出y＝■和y＝a－x的圖象，以l1,l2,l3在y軸上的截距作為分類標準，知：

當a≤－1時;-1≤x≤3

當－1＜a≤3時;

■≤x≤3

當3＜a≤1+2■時;

■≤x≤■

當a＞1+2■時，不等式無解。