淺談函數(shù)定義域的重要性

周霞

函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的主線，貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的始終。函數(shù)的定義域是構(gòu)成函數(shù)的三大要素之一，函數(shù)的定義域看似簡單，然而在解決問題中如果不加以注意，常常會(huì)走入誤區(qū)。在解函數(shù)題中強(qiáng)調(diào)定義域?qū)忸}結(jié)論的作用與影響，對提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)是十分有益的。

一、函數(shù)關(guān)系式與定義域

函數(shù)關(guān)系式包括定義域和對應(yīng)法則，所以在求函數(shù)的關(guān)系式時(shí)必須要考慮所求函數(shù)關(guān)系式的定義域，否則所求函數(shù)關(guān)系式可能是錯(cuò)誤的。如：

例1：某單位計(jì)劃建筑一矩形圍墻，現(xiàn)有材料可筑墻的總長度為100m，求矩形的面積S與矩形長的函數(shù)關(guān)系式？

解：設(shè)矩形的長為x米，則寬為（50-x）米，由題意得：S=x(50-x)，故函數(shù)關(guān)系式為：S=x(50-x)。

如果解題到此為止，則本題的函數(shù)關(guān)系式還欠完整，缺少自變量x的范圍。也就說學(xué)生的解題思路不夠嚴(yán)密。因?yàn)楫?dāng)自變量取負(fù)數(shù)或不小于50的數(shù)時(shí)，S的值是負(fù)數(shù)，即矩形的面積為負(fù)數(shù)，這與實(shí)際問題相矛盾，所以還應(yīng)補(bǔ)上自變量x的范圍：0

這個(gè)例子說明，在用函數(shù)方法解決實(shí)際問題時(shí)，必須要注意到函數(shù)定義域的取值范圍對實(shí)際問題的影響。否則思維缺乏嚴(yán)密性。

二、函數(shù)最值（極值）與定義域

函數(shù)的最值（極值）是指函數(shù)在給定的定義域區(qū)間上取到最大（小）值（極大（小）值）的問題。如果不注意定義域，將會(huì)導(dǎo)致最值（極值）的錯(cuò)誤。如：

例2：求函數(shù)y=x2-2x-3在[－2，5]上的最值。

解：∵y=x2-2x-3=(x2-2x+1)-4=(x-1)2-4

∴當(dāng)x=1時(shí)，ymin=-4

初看結(jié)論，本題似乎沒有最大值，只有最小值。產(chǎn)生這種錯(cuò)誤的根源在于學(xué)生是按照定義域?yàn)镽，求二次函數(shù)最值的思路，而沒有注意到已知條件發(fā)生了變化。

對二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)，在指定的定義域區(qū)間[p,q]上，它的最值應(yīng)分如下情況：

（1）當(dāng)-■q時(shí)，y=f(x)在[p,q]上單調(diào)遞減，函數(shù)f(x)max=f(p),f(x)min=f(q)；（3）當(dāng)p≤-■≤q時(shí)，y=f(x)在[p,q]上最值情況是：f(x)min=f(-■)=■，f(x)max=max{f(p),f(q)}，即最大值是f(p),f(q)中最大的一個(gè)值。

故本題還要繼續(xù)做下去：

∵-2≤1≤5 ∴f(-2)=(-2)2-2×(-2)-3=3 f(5)=52-2×5-3=12 ∴f(x)max-max{f(-2),f(5)}=f(5)=12

∴函數(shù)y=x2-2x-3在[-2，5]上的最小值是-4，最大值是12。

這個(gè)例子說明，在函數(shù)定義域受到限制時(shí)，若能注意定義域的取值范圍對函數(shù)最值的影響，數(shù)形結(jié)合才可以解決問題。

解決求函數(shù)極值問題，情形類似，不再贅述。

三、函數(shù)值域與定義域

函數(shù)的值域是該函數(shù)全體函數(shù)值的集合，當(dāng)定義域和對應(yīng)法則確定，函數(shù)值也隨之而定。因此在求函數(shù)值域時(shí)，應(yīng)注意函數(shù)定義域。如：

例3：x∈-■,■,求函數(shù)y=2sin(2x+■)的值域.

錯(cuò)解：值域y∈[-2，2]

正解：設(shè)t=2x+■,-■≤x≤■，0≤2x+■≤■，即0≤t≤■，在0≤t≤■上，-■≤sint≤1，所以，-■≤y≤2

函數(shù)值域?yàn)閇-■,2]

剖析：如果沒有分析定義域，不注意換元后變量的取值范圍，很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。

四、函數(shù)單調(diào)性與定義域

函數(shù)單調(diào)性是指函數(shù)在給定的定義域區(qū)間上函數(shù)自變量增加時(shí)，函數(shù)值隨之增減的情況，單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)，所以討論函數(shù)單調(diào)性必須在給定的定義域區(qū)間上進(jìn)行。如：

例4：指出函數(shù)f(x)=log2(x2+2x)的單調(diào)區(qū)間。

解：先求定義域：

∵x2+2x>0,∴x>0或x<-2

∴函數(shù)定義域?yàn)?-∞，-2)∪(0,+∞)．

令u=x2+2x，知在x∈(-∞,-2)上時(shí)，u為減函數(shù)，

在x∈(0,+∞)上時(shí)，u為增函數(shù)。

又∵f(x)=log2u在[0，+∞）是增函數(shù)，

∴函數(shù)f(x)=log2(x2+2x)在(-∞,-2)上是減函數(shù)，在(0,+∞)上是增函數(shù)。即函數(shù)f(x)=log2(x2+2x)的單調(diào)遞增區(qū)間(0,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(+∞,-2)。

本題需要在定義域的兩個(gè)區(qū)間上分別考慮函數(shù)的單調(diào)性，否則就是對函數(shù)單調(diào)性的概念一知半解，沒有理解。教師在指導(dǎo)學(xué)生做練習(xí)或作業(yè)時(shí)，不能只套用同增異減原則，而不去讓領(lǐng)會(huì)解題方法的實(shí)質(zhì)，否則學(xué)生的數(shù)學(xué)思維很難打開。

五、函數(shù)奇偶性與定義域

筆者在教學(xué)中總結(jié)函數(shù)奇偶性的判斷時(shí)，總是強(qiáng)調(diào)“一個(gè)前提”：考慮該函數(shù)的定義域區(qū)間是否關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對稱，如果定義域區(qū)間是關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)不成中心對稱，則函數(shù)就無奇偶性可談。如：

例5：判斷函數(shù)y=x3,x∈[-1,3]的奇偶性．

解：∵2∈[-1,3]而-2?埸[-1,3]

∴定義域區(qū)間[-1，3]關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)不對稱

∴函數(shù)y=x3,x∈[-1,3]是非奇非偶函數(shù)。

如果不注意函數(shù)定義域，那么判斷函數(shù)的奇偶性得出如下錯(cuò)誤結(jié)論：∵f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x) ∴函數(shù)y=x3,x∈[-1,3]是奇函數(shù)．

錯(cuò)誤剖析：以上錯(cuò)誤是在沒有判斷該函數(shù)的定義域區(qū)間是否關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱的前提下直接加以判斷所造成，這是學(xué)生極易忽視的步驟，也是造成結(jié)論錯(cuò)誤的原因。

綜上所述，在求解函數(shù)函數(shù)關(guān)系式、最值（值域）、單調(diào)性、奇偶性等問題中，若能重視分析函數(shù)定義域有無改變（指對定義域?yàn)镽來說），對解題結(jié)果有無影響，就能提高學(xué)生質(zhì)疑辨析能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的主線，貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的始終。函數(shù)的定義域是構(gòu)成函數(shù)的三大要素之一，函數(shù)的定義域看似簡單，然而在解決問題中如果不加以注意，常常會(huì)走入誤區(qū)。在解函數(shù)題中強(qiáng)調(diào)定義域?qū)忸}結(jié)論的作用與影響，對提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)是十分有益的。

一、函數(shù)關(guān)系式與定義域

函數(shù)關(guān)系式包括定義域和對應(yīng)法則，所以在求函數(shù)的關(guān)系式時(shí)必須要考慮所求函數(shù)關(guān)系式的定義域，否則所求函數(shù)關(guān)系式可能是錯(cuò)誤的。如：

例1：某單位計(jì)劃建筑一矩形圍墻，現(xiàn)有材料可筑墻的總長度為100m，求矩形的面積S與矩形長的函數(shù)關(guān)系式？

解：設(shè)矩形的長為x米，則寬為（50-x）米，由題意得：S=x(50-x)，故函數(shù)關(guān)系式為：S=x(50-x)。

如果解題到此為止，則本題的函數(shù)關(guān)系式還欠完整，缺少自變量x的范圍。也就說學(xué)生的解題思路不夠嚴(yán)密。因?yàn)楫?dāng)自變量取負(fù)數(shù)或不小于50的數(shù)時(shí)，S的值是負(fù)數(shù)，即矩形的面積為負(fù)數(shù)，這與實(shí)際問題相矛盾，所以還應(yīng)補(bǔ)上自變量x的范圍：0

這個(gè)例子說明，在用函數(shù)方法解決實(shí)際問題時(shí)，必須要注意到函數(shù)定義域的取值范圍對實(shí)際問題的影響。否則思維缺乏嚴(yán)密性。

二、函數(shù)最值（極值）與定義域

函數(shù)的最值（極值）是指函數(shù)在給定的定義域區(qū)間上取到最大（小）值（極大（小）值）的問題。如果不注意定義域，將會(huì)導(dǎo)致最值（極值）的錯(cuò)誤。如：

例2：求函數(shù)y=x2-2x-3在[－2，5]上的最值。

解：∵y=x2-2x-3=(x2-2x+1)-4=(x-1)2-4

∴當(dāng)x=1時(shí)，ymin=-4

初看結(jié)論，本題似乎沒有最大值，只有最小值。產(chǎn)生這種錯(cuò)誤的根源在于學(xué)生是按照定義域?yàn)镽，求二次函數(shù)最值的思路，而沒有注意到已知條件發(fā)生了變化。

對二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)，在指定的定義域區(qū)間[p,q]上，它的最值應(yīng)分如下情況：

（1）當(dāng)-■q時(shí)，y=f(x)在[p,q]上單調(diào)遞減，函數(shù)f(x)max=f(p),f(x)min=f(q)；（3）當(dāng)p≤-■≤q時(shí)，y=f(x)在[p,q]上最值情況是：f(x)min=f(-■)=■，f(x)max=max{f(p),f(q)}，即最大值是f(p),f(q)中最大的一個(gè)值。

故本題還要繼續(xù)做下去：

∵-2≤1≤5 ∴f(-2)=(-2)2-2×(-2)-3=3 f(5)=52-2×5-3=12 ∴f(x)max-max{f(-2),f(5)}=f(5)=12

∴函數(shù)y=x2-2x-3在[-2，5]上的最小值是-4，最大值是12。

這個(gè)例子說明，在函數(shù)定義域受到限制時(shí)，若能注意定義域的取值范圍對函數(shù)最值的影響，數(shù)形結(jié)合才可以解決問題。

解決求函數(shù)極值問題，情形類似，不再贅述。

三、函數(shù)值域與定義域

函數(shù)的值域是該函數(shù)全體函數(shù)值的集合，當(dāng)定義域和對應(yīng)法則確定，函數(shù)值也隨之而定。因此在求函數(shù)值域時(shí)，應(yīng)注意函數(shù)定義域。如：

例3：x∈-■,■,求函數(shù)y=2sin(2x+■)的值域.

錯(cuò)解：值域y∈[-2，2]

正解：設(shè)t=2x+■,-■≤x≤■，0≤2x+■≤■，即0≤t≤■，在0≤t≤■上，-■≤sint≤1，所以，-■≤y≤2

函數(shù)值域?yàn)閇-■,2]

剖析：如果沒有分析定義域，不注意換元后變量的取值范圍，很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。

四、函數(shù)單調(diào)性與定義域

函數(shù)單調(diào)性是指函數(shù)在給定的定義域區(qū)間上函數(shù)自變量增加時(shí)，函數(shù)值隨之增減的情況，單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)，所以討論函數(shù)單調(diào)性必須在給定的定義域區(qū)間上進(jìn)行。如：

例4：指出函數(shù)f(x)=log2(x2+2x)的單調(diào)區(qū)間。

解：先求定義域：

∵x2+2x>0,∴x>0或x<-2

∴函數(shù)定義域?yàn)?-∞，-2)∪(0,+∞)．

令u=x2+2x，知在x∈(-∞,-2)上時(shí)，u為減函數(shù)，

在x∈(0,+∞)上時(shí)，u為增函數(shù)。

又∵f(x)=log2u在[0，+∞）是增函數(shù)，

∴函數(shù)f(x)=log2(x2+2x)在(-∞,-2)上是減函數(shù)，在(0,+∞)上是增函數(shù)。即函數(shù)f(x)=log2(x2+2x)的單調(diào)遞增區(qū)間(0,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(+∞,-2)。

本題需要在定義域的兩個(gè)區(qū)間上分別考慮函數(shù)的單調(diào)性，否則就是對函數(shù)單調(diào)性的概念一知半解，沒有理解。教師在指導(dǎo)學(xué)生做練習(xí)或作業(yè)時(shí)，不能只套用同增異減原則，而不去讓領(lǐng)會(huì)解題方法的實(shí)質(zhì)，否則學(xué)生的數(shù)學(xué)思維很難打開。

五、函數(shù)奇偶性與定義域

筆者在教學(xué)中總結(jié)函數(shù)奇偶性的判斷時(shí)，總是強(qiáng)調(diào)“一個(gè)前提”：考慮該函數(shù)的定義域區(qū)間是否關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對稱，如果定義域區(qū)間是關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)不成中心對稱，則函數(shù)就無奇偶性可談。如：

例5：判斷函數(shù)y=x3,x∈[-1,3]的奇偶性．

解：∵2∈[-1,3]而-2?埸[-1,3]

∴定義域區(qū)間[-1，3]關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)不對稱

∴函數(shù)y=x3,x∈[-1,3]是非奇非偶函數(shù)。

如果不注意函數(shù)定義域，那么判斷函數(shù)的奇偶性得出如下錯(cuò)誤結(jié)論：∵f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x) ∴函數(shù)y=x3,x∈[-1,3]是奇函數(shù)．

錯(cuò)誤剖析：以上錯(cuò)誤是在沒有判斷該函數(shù)的定義域區(qū)間是否關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱的前提下直接加以判斷所造成，這是學(xué)生極易忽視的步驟，也是造成結(jié)論錯(cuò)誤的原因。

綜上所述，在求解函數(shù)函數(shù)關(guān)系式、最值（值域）、單調(diào)性、奇偶性等問題中，若能重視分析函數(shù)定義域有無改變（指對定義域?yàn)镽來說），對解題結(jié)果有無影響，就能提高學(xué)生質(zhì)疑辨析能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的主線，貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的始終。函數(shù)的定義域是構(gòu)成函數(shù)的三大要素之一，函數(shù)的定義域看似簡單，然而在解決問題中如果不加以注意，常常會(huì)走入誤區(qū)。在解函數(shù)題中強(qiáng)調(diào)定義域?qū)忸}結(jié)論的作用與影響，對提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)是十分有益的。

一、函數(shù)關(guān)系式與定義域

函數(shù)關(guān)系式包括定義域和對應(yīng)法則，所以在求函數(shù)的關(guān)系式時(shí)必須要考慮所求函數(shù)關(guān)系式的定義域，否則所求函數(shù)關(guān)系式可能是錯(cuò)誤的。如：

例1：某單位計(jì)劃建筑一矩形圍墻，現(xiàn)有材料可筑墻的總長度為100m，求矩形的面積S與矩形長的函數(shù)關(guān)系式？

解：設(shè)矩形的長為x米，則寬為（50-x）米，由題意得：S=x(50-x)，故函數(shù)關(guān)系式為：S=x(50-x)。

如果解題到此為止，則本題的函數(shù)關(guān)系式還欠完整，缺少自變量x的范圍。也就說學(xué)生的解題思路不夠嚴(yán)密。因?yàn)楫?dāng)自變量取負(fù)數(shù)或不小于50的數(shù)時(shí)，S的值是負(fù)數(shù)，即矩形的面積為負(fù)數(shù)，這與實(shí)際問題相矛盾，所以還應(yīng)補(bǔ)上自變量x的范圍：0

這個(gè)例子說明，在用函數(shù)方法解決實(shí)際問題時(shí)，必須要注意到函數(shù)定義域的取值范圍對實(shí)際問題的影響。否則思維缺乏嚴(yán)密性。

二、函數(shù)最值（極值）與定義域

函數(shù)的最值（極值）是指函數(shù)在給定的定義域區(qū)間上取到最大（小）值（極大（小）值）的問題。如果不注意定義域，將會(huì)導(dǎo)致最值（極值）的錯(cuò)誤。如：

例2：求函數(shù)y=x2-2x-3在[－2，5]上的最值。

解：∵y=x2-2x-3=(x2-2x+1)-4=(x-1)2-4

∴當(dāng)x=1時(shí)，ymin=-4

初看結(jié)論，本題似乎沒有最大值，只有最小值。產(chǎn)生這種錯(cuò)誤的根源在于學(xué)生是按照定義域?yàn)镽，求二次函數(shù)最值的思路，而沒有注意到已知條件發(fā)生了變化。

對二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)，在指定的定義域區(qū)間[p,q]上，它的最值應(yīng)分如下情況：

（1）當(dāng)-■q時(shí)，y=f(x)在[p,q]上單調(diào)遞減，函數(shù)f(x)max=f(p),f(x)min=f(q)；（3）當(dāng)p≤-■≤q時(shí)，y=f(x)在[p,q]上最值情況是：f(x)min=f(-■)=■，f(x)max=max{f(p),f(q)}，即最大值是f(p),f(q)中最大的一個(gè)值。

故本題還要繼續(xù)做下去：

∵-2≤1≤5 ∴f(-2)=(-2)2-2×(-2)-3=3 f(5)=52-2×5-3=12 ∴f(x)max-max{f(-2),f(5)}=f(5)=12

∴函數(shù)y=x2-2x-3在[-2，5]上的最小值是-4，最大值是12。

這個(gè)例子說明，在函數(shù)定義域受到限制時(shí)，若能注意定義域的取值范圍對函數(shù)最值的影響，數(shù)形結(jié)合才可以解決問題。

解決求函數(shù)極值問題，情形類似，不再贅述。

三、函數(shù)值域與定義域

函數(shù)的值域是該函數(shù)全體函數(shù)值的集合，當(dāng)定義域和對應(yīng)法則確定，函數(shù)值也隨之而定。因此在求函數(shù)值域時(shí)，應(yīng)注意函數(shù)定義域。如：

例3：x∈-■,■,求函數(shù)y=2sin(2x+■)的值域.

錯(cuò)解：值域y∈[-2，2]

正解：設(shè)t=2x+■,-■≤x≤■，0≤2x+■≤■，即0≤t≤■，在0≤t≤■上，-■≤sint≤1，所以，-■≤y≤2

函數(shù)值域?yàn)閇-■,2]

剖析：如果沒有分析定義域，不注意換元后變量的取值范圍，很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。

四、函數(shù)單調(diào)性與定義域

函數(shù)單調(diào)性是指函數(shù)在給定的定義域區(qū)間上函數(shù)自變量增加時(shí)，函數(shù)值隨之增減的情況，單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)，所以討論函數(shù)單調(diào)性必須在給定的定義域區(qū)間上進(jìn)行。如：

例4：指出函數(shù)f(x)=log2(x2+2x)的單調(diào)區(qū)間。

解：先求定義域：

∵x2+2x>0,∴x>0或x<-2

∴函數(shù)定義域?yàn)?-∞，-2)∪(0,+∞)．

令u=x2+2x，知在x∈(-∞,-2)上時(shí)，u為減函數(shù)，

在x∈(0,+∞)上時(shí)，u為增函數(shù)。

又∵f(x)=log2u在[0，+∞）是增函數(shù)，

∴函數(shù)f(x)=log2(x2+2x)在(-∞,-2)上是減函數(shù)，在(0,+∞)上是增函數(shù)。即函數(shù)f(x)=log2(x2+2x)的單調(diào)遞增區(qū)間(0,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(+∞,-2)。

本題需要在定義域的兩個(gè)區(qū)間上分別考慮函數(shù)的單調(diào)性，否則就是對函數(shù)單調(diào)性的概念一知半解，沒有理解。教師在指導(dǎo)學(xué)生做練習(xí)或作業(yè)時(shí)，不能只套用同增異減原則，而不去讓領(lǐng)會(huì)解題方法的實(shí)質(zhì)，否則學(xué)生的數(shù)學(xué)思維很難打開。

五、函數(shù)奇偶性與定義域

筆者在教學(xué)中總結(jié)函數(shù)奇偶性的判斷時(shí)，總是強(qiáng)調(diào)“一個(gè)前提”：考慮該函數(shù)的定義域區(qū)間是否關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對稱，如果定義域區(qū)間是關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)不成中心對稱，則函數(shù)就無奇偶性可談。如：

例5：判斷函數(shù)y=x3,x∈[-1,3]的奇偶性．

解：∵2∈[-1,3]而-2?埸[-1,3]

∴定義域區(qū)間[-1，3]關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)不對稱

∴函數(shù)y=x3,x∈[-1,3]是非奇非偶函數(shù)。

如果不注意函數(shù)定義域，那么判斷函數(shù)的奇偶性得出如下錯(cuò)誤結(jié)論：∵f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x) ∴函數(shù)y=x3,x∈[-1,3]是奇函數(shù)．

錯(cuò)誤剖析：以上錯(cuò)誤是在沒有判斷該函數(shù)的定義域區(qū)間是否關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱的前提下直接加以判斷所造成，這是學(xué)生極易忽視的步驟，也是造成結(jié)論錯(cuò)誤的原因。

綜上所述，在求解函數(shù)函數(shù)關(guān)系式、最值（值域）、單調(diào)性、奇偶性等問題中，若能重視分析函數(shù)定義域有無改變（指對定義域?yàn)镽來說），對解題結(jié)果有無影響，就能提高學(xué)生質(zhì)疑辨析能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。