等價無窮小替換定理本質及推廣
2014-07-21 13:55:26竇慧
教育教學論壇 2014年30期
摘要：通過等價無窮小的認知、分析，指出了等價無窮小替換定理的本質是將無窮小的基本初等函數替換為無窮小的冪函數，將等價無窮小替換定理由乘積推廣到了和差運算，建立了新的定理。
關鍵詞：基本初等無窮小；等價；初等無窮小；冪函數
中圖分類號：G642.3 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）30-0106-03
文[1～7]給出了無窮小的定義、無窮小的階以及等價無窮小替換定理的各種不同變形，討論了等價無窮替換定理的各種應用。本文說明了等價無窮小替換定理的本質——用冪函數等價替換初等無窮小，并在此基礎上將等價無窮小替換定理的應用范圍由乘法運算推廣到和差運算。
一、初等無窮小的定義和性質
眾所周知，當x→0時sinx，arcsinx，tanx，arctanx，1-cosx，■-1，ex-1，ln（1+x）均為無窮小，而且與λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）等價。為了描述方便，作如下定義：
定義 稱時sinx，arcsinx，tanx，arctanx，1-cosx，■-1，ex-1，ln（1+x）為當x→0時的基本初等無窮小。
性質1 x→0時的基本無窮小均與λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）等價。
性質2 基本初等無窮小復合運算后所得的初等無窮小λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）等價。
證設α（x）、f（x）均為x→0時的基本初等無窮小，且α（x）～λ1x■，f（x）～λ2x■（λ1·λ2≠0，m1>0，m2>0），則
■■=■■·■=1
即f（α（x））也為x→0時的初等無窮小，且f（α（x））～λ■λ■■x■，令λ=λ■λ■■，μ=m1m2，則f（α（x））～λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）。即基本初等初等無窮小復合運算后所得的初等無窮小也與λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）等價。
性質3 設α，β為x→0時的基本初等無窮小，且α～λ1x■，β～μ1x■（λ1·μ1≠0，m1>0，n1>0）.則（1）m1>n1時，α±β～±μ1x■；（2）m1 （3）m1=n1，且λ1+μ1≠0時，α+β～（λ1+μ1）x■； （4）m1=n1，且λ1-μ1≠0時，α+β～（λ1+μ1）x■。 證 （1）■■=■■=■■=■■±1=±1； （2）■■=■■±■■=1■■=1； （3）■■=■■+■■= ■■+■■=1； （4）■■=■■-■■= ■■-■■=1 性質4 設α，β為x→0時的基本初等無窮小，且α～λ1x■，β～μ1x■（λ1·μ1≠0，m1>0，n1>0）.則αβ～λ1 μ1x■。 利用等價的傳遞性和羅比達法則等運算可以得到連續可導的無窮小都能找到與之等價的冪函數λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）。 如：x→0時，lncosx=ln[（cosx-1）+1]～cosx-1～-■x2； esinx-etanx=etanx（esinx-tanx-1）～etanx（sinx-tanx）～etanxtanx（1-cosx）～-■x3 二、等價無窮小替換定理的推廣 等價無窮小替換定理[8]在自變量的同一變化過程中，設α～α1，β～β1，且lim■存在，則lim■=lim■。 等價無窮小替換定理的本質是在求極限時用冪函數替換各種初等無窮小。 等價無窮小替換定理是計算極限的一個重要而有力的工具。在極限運算中，等價無窮小替換定理能降低題目難度，減少運算步驟，使得求極限問題變得生動有趣。但是該定理要求整體替換，即只能替換乘積因子。在和差運算中，并非所有的極限都不能使用等價無窮小替換定理，有的可以，有的不可以。在什么情況下，和差運算中能夠使用等價無窮小替換定理的研究很有必要。 定理 設x→0時α，β，γ是無窮小，且α～λxm，β～μxn■，γ～sxt（λ·μ·s≠0，m>0，n>0，t>0）。 （1）若m>n，則■■=0，n>t■，n=t∞，n （2）若m （3）若m=n，且λ+μ≠0則■■=0，m>t■，m=t∞，m （4）若m=n，且λ-μ≠0則■■=0，m>t■，m=t∞，m 證 （1）若m>n，則■■=■■=■■=0，n>t■，n=t∞，n （2）若m （3）若m=n，且λ+μ≠0，則■■=■■=0，m>t■，m=t∞，m （4）若m=n，且λ-μ≠0，則■■=■■=0，m>t■，m=t∞，m 該定理不僅給出了等價無窮小替換和差因子的使用條件，同時給出了結論。運用該定理時，首先要觀察題目的結構，其次尋找函數中的與各因子等價的冪函數λxm，λxn，sxt，然后比較冪指數m，n，t，再利用定理進行運算。比較冪指數m，n，t時，先比較m，n求得min{m，n}，再比較min{m，n}與t的大小。 例1 求■■。 解 x→0時4sinx2～4x2，x3～x3，所以由引理的結論（1）得4sinx2+x3～4x2。又1-cosx～-■x2，因此由定理可得 ■■=■■=■。 例2 求■■。 解 x→0時ln（1+2x）～2x，sinx～x，所以由引理的結論（3）得ln（1+2x）+sinx～3x。又tanx～x，因此由定理可得 ■■=■■=3 例3 求■■。 解 x→0時■～■x，■～■x2，所以由引理的結論（4）得■-■～■x-（-■x）=x。又ex-1～x，因此由定理可得■■=■■=1。 例4 求■■。 解 x→0時■～■x4，■-1～■x4，所以由引理的結論（3）得■+■-1～■x4+■x4=x4。cosx-e■=（cosx-1）-（e■-1），而cosx-1～-■x2，e■-1～x2，所以由引理的結論（4）得（cosx-1）-（e■-1）～-■x2。又arctanx～x，因此 ■■=■■=0。 上述例題運用定理均簡化了計算，但運用定理時一定要注意定理的條件是否滿足，若果不滿足定理的條件，就不能使用。如■■就不能使用定理，因為sin2x～2x，tan2x～2x，2-2=0不滿足定理的條件。 參考文獻： [1]呂端良，王云麗.關于等價無窮小應用的探討[J].科技信息，2013，（6）. [2]吳漢華.關于無窮小的等價替換及其推廣[J].閩西職業大學學報，2005，（6）. [3]陳新明.用等價無窮小代換求極限中的一些問題[J].高等數學研究，2008，（5）. [4]李秋英，申亞麗.關于無窮小（大）學習中的幾點注記[J].運城學院學報，2013，（2）. [5]韋玉程.無窮小的再認識[J].河池學院學報，2013，（2）. [6]王強.無窮小量的階[J].湘南學院學報，2013，（2）. [7]劉明鼎.等價無窮小在含積分上限函數中的應用[J].牡丹江大學學報，2013，（2）. [8]同濟大學高等數學教研室.高等數學第六版[M].北京：高等教育出版社，2011. 項目基金：本論文得到山東省高等學校青年骨干教師國內訪問學者項目經費資助。濱州學院教學研究項目——BYJYYB201121；濱州學院優秀教學團隊——BZXYJXTD201302。 作者簡介：竇慧（1974—），女，山東惠民人，碩士，講師，研究方向：高等數學研究和微分方程。
摘要：通過等價無窮小的認知、分析，指出了等價無窮小替換定理的本質是將無窮小的基本初等函數替換為無窮小的冪函數，將等價無窮小替換定理由乘積推廣到了和差運算，建立了新的定理。
關鍵詞：基本初等無窮小；等價；初等無窮小；冪函數
中圖分類號：G642.3 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）30-0106-03
文[1～7]給出了無窮小的定義、無窮小的階以及等價無窮小替換定理的各種不同變形，討論了等價無窮替換定理的各種應用。本文說明了等價無窮小替換定理的本質——用冪函數等價替換初等無窮小，并在此基礎上將等價無窮小替換定理的應用范圍由乘法運算推廣到和差運算。
一、初等無窮小的定義和性質
眾所周知，當x→0時sinx，arcsinx，tanx，arctanx，1-cosx，■-1，ex-1，ln（1+x）均為無窮小，而且與λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）等價。為了描述方便，作如下定義：
定義 稱時sinx，arcsinx，tanx，arctanx，1-cosx，■-1，ex-1，ln（1+x）為當x→0時的基本初等無窮小。
性質1 x→0時的基本無窮小均與λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）等價。
性質2 基本初等無窮小復合運算后所得的初等無窮小λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）等價。
證設α（x）、f（x）均為x→0時的基本初等無窮小，且α（x）～λ1x■，f（x）～λ2x■（λ1·λ2≠0，m1>0，m2>0），則
■■=■■·■=1
即f（α（x））也為x→0時的初等無窮小，且f（α（x））～λ■λ■■x■，令λ=λ■λ■■，μ=m1m2，則f（α（x））～λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）。即基本初等初等無窮小復合運算后所得的初等無窮小也與λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）等價。
性質3 設α，β為x→0時的基本初等無窮小，且α～λ1x■，β～μ1x■（λ1·μ1≠0，m1>0，n1>0）.則（1）m1>n1時，α±β～±μ1x■；（2）m1 （3）m1=n1，且λ1+μ1≠0時，α+β～（λ1+μ1）x■； （4）m1=n1，且λ1-μ1≠0時，α+β～（λ1+μ1）x■。 證 （1）■■=■■=■■=■■±1=±1； （2）■■=■■±■■=1■■=1； （3）■■=■■+■■= ■■+■■=1； （4）■■=■■-■■= ■■-■■=1 性質4 設α，β為x→0時的基本初等無窮小，且α～λ1x■，β～μ1x■（λ1·μ1≠0，m1>0，n1>0）.則αβ～λ1 μ1x■。 利用等價的傳遞性和羅比達法則等運算可以得到連續可導的無窮小都能找到與之等價的冪函數λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）。 如：x→0時，lncosx=ln[（cosx-1）+1]～cosx-1～-■x2； esinx-etanx=etanx（esinx-tanx-1）～etanx（sinx-tanx）～etanxtanx（1-cosx）～-■x3 二、等價無窮小替換定理的推廣 等價無窮小替換定理[8]在自變量的同一變化過程中，設α～α1，β～β1，且lim■存在，則lim■=lim■。 等價無窮小替換定理的本質是在求極限時用冪函數替換各種初等無窮小。 等價無窮小替換定理是計算極限的一個重要而有力的工具。在極限運算中，等價無窮小替換定理能降低題目難度，減少運算步驟，使得求極限問題變得生動有趣。但是該定理要求整體替換，即只能替換乘積因子。在和差運算中，并非所有的極限都不能使用等價無窮小替換定理，有的可以，有的不可以。在什么情況下，和差運算中能夠使用等價無窮小替換定理的研究很有必要。 定理 設x→0時α，β，γ是無窮小，且α～λxm，β～μxn■，γ～sxt（λ·μ·s≠0，m>0，n>0，t>0）。 （1）若m>n，則■■=0，n>t■，n=t∞，n （2）若m （3）若m=n，且λ+μ≠0則■■=0，m>t■，m=t∞，m （4）若m=n，且λ-μ≠0則■■=0，m>t■，m=t∞，m 證 （1）若m>n，則■■=■■=■■=0，n>t■，n=t∞，n （2）若m （3）若m=n，且λ+μ≠0，則■■=■■=0，m>t■，m=t∞，m （4）若m=n，且λ-μ≠0，則■■=■■=0，m>t■，m=t∞，m 該定理不僅給出了等價無窮小替換和差因子的使用條件，同時給出了結論。運用該定理時，首先要觀察題目的結構，其次尋找函數中的與各因子等價的冪函數λxm，λxn，sxt，然后比較冪指數m，n，t，再利用定理進行運算。比較冪指數m，n，t時，先比較m，n求得min{m，n}，再比較min{m，n}與t的大小。 例1 求■■。 解 x→0時4sinx2～4x2，x3～x3，所以由引理的結論（1）得4sinx2+x3～4x2。又1-cosx～-■x2，因此由定理可得 ■■=■■=■。 例2 求■■。 解 x→0時ln（1+2x）～2x，sinx～x，所以由引理的結論（3）得ln（1+2x）+sinx～3x。又tanx～x，因此由定理可得 ■■=■■=3 例3 求■■。 解 x→0時■～■x，■～■x2，所以由引理的結論（4）得■-■～■x-（-■x）=x。又ex-1～x，因此由定理可得■■=■■=1。 例4 求■■。 解 x→0時■～■x4，■-1～■x4，所以由引理的結論（3）得■+■-1～■x4+■x4=x4。cosx-e■=（cosx-1）-（e■-1），而cosx-1～-■x2，e■-1～x2，所以由引理的結論（4）得（cosx-1）-（e■-1）～-■x2。又arctanx～x，因此 ■■=■■=0。 上述例題運用定理均簡化了計算，但運用定理時一定要注意定理的條件是否滿足，若果不滿足定理的條件，就不能使用。如■■就不能使用定理，因為sin2x～2x，tan2x～2x，2-2=0不滿足定理的條件。 參考文獻： [1]呂端良，王云麗.關于等價無窮小應用的探討[J].科技信息，2013，（6）. [2]吳漢華.關于無窮小的等價替換及其推廣[J].閩西職業大學學報，2005，（6）. [3]陳新明.用等價無窮小代換求極限中的一些問題[J].高等數學研究，2008，（5）. [4]李秋英，申亞麗.關于無窮小（大）學習中的幾點注記[J].運城學院學報，2013，（2）. [5]韋玉程.無窮小的再認識[J].河池學院學報，2013，（2）. [6]王強.無窮小量的階[J].湘南學院學報，2013，（2）. [7]劉明鼎.等價無窮小在含積分上限函數中的應用[J].牡丹江大學學報，2013，（2）. [8]同濟大學高等數學教研室.高等數學第六版[M].北京：高等教育出版社，2011. 項目基金：本論文得到山東省高等學校青年骨干教師國內訪問學者項目經費資助。濱州學院教學研究項目——BYJYYB201121；濱州學院優秀教學團隊——BZXYJXTD201302。 作者簡介：竇慧（1974—），女，山東惠民人，碩士，講師，研究方向：高等數學研究和微分方程。
摘要：通過等價無窮小的認知、分析，指出了等價無窮小替換定理的本質是將無窮小的基本初等函數替換為無窮小的冪函數，將等價無窮小替換定理由乘積推廣到了和差運算，建立了新的定理。
關鍵詞：基本初等無窮小；等價；初等無窮小；冪函數
中圖分類號：G642.3 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）30-0106-03
文[1～7]給出了無窮小的定義、無窮小的階以及等價無窮小替換定理的各種不同變形，討論了等價無窮替換定理的各種應用。本文說明了等價無窮小替換定理的本質——用冪函數等價替換初等無窮小，并在此基礎上將等價無窮小替換定理的應用范圍由乘法運算推廣到和差運算。
一、初等無窮小的定義和性質
眾所周知，當x→0時sinx，arcsinx，tanx，arctanx，1-cosx，■-1，ex-1，ln（1+x）均為無窮小，而且與λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）等價。為了描述方便，作如下定義：
定義 稱時sinx，arcsinx，tanx，arctanx，1-cosx，■-1，ex-1，ln（1+x）為當x→0時的基本初等無窮小。
性質1 x→0時的基本無窮小均與λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）等價。
性質2 基本初等無窮小復合運算后所得的初等無窮小λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）等價。
證設α（x）、f（x）均為x→0時的基本初等無窮小，且α（x）～λ1x■，f（x）～λ2x■（λ1·λ2≠0，m1>0，m2>0），則
■■=■■·■=1
即f（α（x））也為x→0時的初等無窮小，且f（α（x））～λ■λ■■x■，令λ=λ■λ■■，μ=m1m2，則f（α（x））～λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）。即基本初等初等無窮小復合運算后所得的初等無窮小也與λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）等價。
性質3 設α，β為x→0時的基本初等無窮小，且α～λ1x■，β～μ1x■（λ1·μ1≠0，m1>0，n1>0）.則（1）m1>n1時，α±β～±μ1x■；（2）m1 （3）m1=n1，且λ1+μ1≠0時，α+β～（λ1+μ1）x■； （4）m1=n1，且λ1-μ1≠0時，α+β～（λ1+μ1）x■。 證 （1）■■=■■=■■=■■±1=±1； （2）■■=■■±■■=1■■=1； （3）■■=■■+■■= ■■+■■=1； （4）■■=■■-■■= ■■-■■=1 性質4 設α，β為x→0時的基本初等無窮小，且α～λ1x■，β～μ1x■（λ1·μ1≠0，m1>0，n1>0）.則αβ～λ1 μ1x■。 利用等價的傳遞性和羅比達法則等運算可以得到連續可導的無窮小都能找到與之等價的冪函數λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）。 如：x→0時，lncosx=ln[（cosx-1）+1]～cosx-1～-■x2； esinx-etanx=etanx（esinx-tanx-1）～etanx（sinx-tanx）～etanxtanx（1-cosx）～-■x3 二、等價無窮小替換定理的推廣 等價無窮小替換定理[8]在自變量的同一變化過程中，設α～α1，β～β1，且lim■存在，則lim■=lim■。 等價無窮小替換定理的本質是在求極限時用冪函數替換各種初等無窮小。 等價無窮小替換定理是計算極限的一個重要而有力的工具。在極限運算中，等價無窮小替換定理能降低題目難度，減少運算步驟，使得求極限問題變得生動有趣。但是該定理要求整體替換，即只能替換乘積因子。在和差運算中，并非所有的極限都不能使用等價無窮小替換定理，有的可以，有的不可以。在什么情況下，和差運算中能夠使用等價無窮小替換定理的研究很有必要。 定理 設x→0時α，β，γ是無窮小，且α～λxm，β～μxn■，γ～sxt（λ·μ·s≠0，m>0，n>0，t>0）。 （1）若m>n，則■■=0，n>t■，n=t∞，n （2）若m （3）若m=n，且λ+μ≠0則■■=0，m>t■，m=t∞，m （4）若m=n，且λ-μ≠0則■■=0，m>t■，m=t∞，m 證 （1）若m>n，則■■=■■=■■=0，n>t■，n=t∞，n （2）若m （3）若m=n，且λ+μ≠0，則■■=■■=0，m>t■，m=t∞，m （4）若m=n，且λ-μ≠0，則■■=■■=0，m>t■，m=t∞，m 該定理不僅給出了等價無窮小替換和差因子的使用條件，同時給出了結論。運用該定理時，首先要觀察題目的結構，其次尋找函數中的與各因子等價的冪函數λxm，λxn，sxt，然后比較冪指數m，n，t，再利用定理進行運算。比較冪指數m，n，t時，先比較m，n求得min{m，n}，再比較min{m，n}與t的大小。 例1 求■■。 解 x→0時4sinx2～4x2，x3～x3，所以由引理的結論（1）得4sinx2+x3～4x2。又1-cosx～-■x2，因此由定理可得 ■■=■■=■。 例2 求■■。 解 x→0時ln（1+2x）～2x，sinx～x，所以由引理的結論（3）得ln（1+2x）+sinx～3x。又tanx～x，因此由定理可得 ■■=■■=3 例3 求■■。 解 x→0時■～■x，■～■x2，所以由引理的結論（4）得■-■～■x-（-■x）=x。又ex-1～x，因此由定理可得■■=■■=1。 例4 求■■。 解 x→0時■～■x4，■-1～■x4，所以由引理的結論（3）得■+■-1～■x4+■x4=x4。cosx-e■=（cosx-1）-（e■-1），而cosx-1～-■x2，e■-1～x2，所以由引理的結論（4）得（cosx-1）-（e■-1）～-■x2。又arctanx～x，因此 ■■=■■=0。 上述例題運用定理均簡化了計算，但運用定理時一定要注意定理的條件是否滿足，若果不滿足定理的條件，就不能使用。如■■就不能使用定理，因為sin2x～2x，tan2x～2x，2-2=0不滿足定理的條件。 參考文獻： [1]呂端良，王云麗.關于等價無窮小應用的探討[J].科技信息，2013，（6）. [2]吳漢華.關于無窮小的等價替換及其推廣[J].閩西職業大學學報，2005，（6）. [3]陳新明.用等價無窮小代換求極限中的一些問題[J].高等數學研究，2008，（5）. [4]李秋英，申亞麗.關于無窮小（大）學習中的幾點注記[J].運城學院學報，2013，（2）. [5]韋玉程.無窮小的再認識[J].河池學院學報，2013，（2）. [6]王強.無窮小量的階[J].湘南學院學報，2013，（2）. [7]劉明鼎.等價無窮小在含積分上限函數中的應用[J].牡丹江大學學報，2013，（2）. [8]同濟大學高等數學教研室.高等數學第六版[M].北京：高等教育出版社，2011. 項目基金：本論文得到山東省高等學校青年骨干教師國內訪問學者項目經費資助。濱州學院教學研究項目——BYJYYB201121；濱州學院優秀教學團隊——BZXYJXTD201302。 作者簡介：竇慧（1974—），女，山東惠民人，碩士，講師，研究方向：高等數學研究和微分方程。
