基于核切片逆回歸的軸承故障特征提取

周志才，劉東風，石新發(fā)

(海軍工程大學 青島油液檢測分析中心，山東 青島 266012 )

在工程實際中獲得的機器信號往往含有噪聲，且故障發(fā)生時機器不可能長時間運行，所得到的故障樣本數(shù)量有限。為了更準確地識別機器的狀態(tài)和故障，需通過多種物理量的特征信息進行判別，而利用高維小樣本數(shù)據(jù)構(gòu)造分類模型時容易產(chǎn)生過擬合現(xiàn)象。因此，故障特征信息的選取成為機械故障診斷的關(guān)鍵。

目前常采用主成分分析(Principal Component Analysis, PCA)對高維故障數(shù)據(jù)進行壓縮，提取能較好反映故障信息的特征。PCA提取的只是原始特征中的線性成分，而在監(jiān)測和診斷中反映機器狀態(tài)的大量信息蘊含在數(shù)據(jù)的非線性成分中。文獻[1-2]引入核函數(shù)概念，將低維不可分的非線性特征映射到高維可分空間，由此產(chǎn)生核主成分分析(Kernel Principal Component Analysis,KPCA)的概念。KPCA雖很好地考慮了非線性，但在提取新的分類特征向量時，未區(qū)別樣本類內(nèi)、類間信息，因此對于構(gòu)建故障模式識別模型通常并非最優(yōu)。

下文考慮采用一種能較好利用先驗信息進行類間區(qū)分的非線性特征提取方法——核切片逆回歸(Kernel Sliced Inverse Regression, KSIR)，闡述其基本思想和算法，同時采用KSIR和KPCA對軸承故障試驗數(shù)據(jù)進行維數(shù)壓縮和特征提取的對比分析，并討論相關(guān)參數(shù)的選擇對KSIR特征提取能力的影響。

1 KSIR的基本思想和算法

1.1 基本思想

切片逆回歸(Sliced Inverse Regression, SIR)是由文獻[3]提出的結(jié)合逆回歸和PCA的算法，其在尋找最優(yōu)投影方向時考慮輸出變量(響應(yīng)變量)和輸入變量的信息，實現(xiàn)高維數(shù)據(jù)的綜合降維。

假設(shè)x為由n個p維觀察樣本xi(i=1,…,n)組成的n×p維觀察矩陣，y為n×1的輸出變量，文獻[3]提出

y=f(β1x,β2x,…,βKx,ε)，

(1)

式中：f為RK+1空間的未知函數(shù)；β1,β2,…，βK為K個未知向量；ε為與x獨立的分布未知的隨機誤差。

當此模型成立時，p維原始樣本空間變量便映射到K維空間(β1x,β2x,…,βKx)T上，且保留關(guān)于y的所有信息。當K

為尋找EDR方向，用逆回歸思想將x和y顛倒角色，由求解p維回歸變成一維回歸，直接避開高維帶來的復雜問題。當y發(fā)生變化時，E(x|y)構(gòu)成1條曲線，稱為逆回歸曲線。由此證明，對x進行標準化矩陣z的逆回歸曲線E(z|y)包含在由標準化的EDR方向β1,β2,…，βK構(gòu)成的線性空間中，協(xié)方差矩陣ΣηCov(E(z|y))在任何一個與βk(k=1,…,K)正交的方向上都退化，從而對應(yīng)于Ση的最大K個特征值的標準化特征向量βk(k=1,…,K)就是標準化的EDR方向。

切片的思想便是根據(jù)y將樣本“切”成h片，然后在每個切片內(nèi)計算樣本均值，并由此估計總體協(xié)方差矩陣，運用PCA求得E(x|y)的前K個EDR方向。

考慮到樣本各物理量間的復雜非線性關(guān)系，引入Mercer核函數(shù)，通過由核函數(shù)定義的非線性映射Φ將初始樣本空間變換到高維特征空間，高維空間映射向量的點積運算轉(zhuǎn)換為原始樣本空間數(shù)據(jù)向量的數(shù)學運算，避免直接構(gòu)造映射函數(shù)的麻煩，同時也極大減小計算過程的復雜度和數(shù)據(jù)的存儲量，由此便將線性SIR發(fā)展為非線性KSIR[4]。

1.2 算法

KSIR通過Φ將樣本映射到更高維空間[5]中，即

Φ:xi→Φ(xi)。

(2)

此時， (1)式變?yōu)?/p>

y=f(β1Φ(x),β2Φ(x),…,βKΦ(x),ε)。

(3)

利用前述SIR思想對(3)式進行計算求得EDR方向，具體計算過程為：

(1)首先對Φ(x)進行零均值化處理，使?jié)M足E(Φ(x))=0，定義Φ=[Φ(x1),…,Φ(xn)]T，樣本協(xié)方差矩陣為

(4)

(2)根據(jù)y將樣本切成h片后進行分組，每組切片內(nèi)的相應(yīng)映射樣本均值為

(5)

式中：ni為第i切片組內(nèi)的樣本數(shù)；Ii為第i切片組。

(3)利用每組切片的樣本均值和容量加權(quán)值計算總體樣本協(xié)方差矩陣為

(6)

(4)將Φ沿KSIR的前r個方向投影，即得前r個主要成分。

2 試驗與結(jié)果分析

2.1 KSIR與KPCA在故障特征提取中的對比分析

試驗采用美國Case Western Reserve University的SKF 6023深溝球軸承故障振動數(shù)據(jù)[6]。軸承故障數(shù)據(jù)試驗平臺示意圖如圖1所示，包括1臺1.47 kW的電動機、1個轉(zhuǎn)矩傳感器、1個功率計和電子控制設(shè)備，試驗軸承支承電動機軸。使用電火花加工技術(shù)在軸承上布置單點故障，深度為0.533 4 mm，設(shè)置正常軸承、內(nèi)圈故障、外圈故障、球故障4種單一故障類型，將振動信號中每4 096個點作為1個樣本，每類各20個樣本。為了獲取較全的故障特征信息，從樣本中提取時域、頻域和經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解能量熵等共43維故障特征[7]，構(gòu)成80×43維的故障樣本矩陣。

圖1 軸承故障數(shù)據(jù)試驗平臺示意圖

表1 3種提取方法下特征向量對自變量的解釋能力比較

對于KPCA，特征向量的解釋能力逐漸下降，前3個特征向量的累計貢獻率已達90.89%，在維數(shù)壓縮的同時關(guān)鍵信息丟失較少；對于KSIR，特征向量對自變量的解釋能力則相對較平均，h取4時，前3個特征向量的累計貢獻率達100%，意味著故障關(guān)鍵信息僅通過映射后的3個特征向量便足以表達，大大減少后續(xù)訓練模型的復雜程度和計算量；當h大于類別數(shù)(h=12)時，可明顯看出特征提取能力不但未增加，反而比KPCA還差，這是由于KSIR對切片分組過于依賴。

方差貢獻率ηk只是在每種方法所獲得的EDR空間進行相對比較。為了比較3種方法下映射到前3個EDR方向的特征向量對故障信息的提取效果，將3種方法映射后的80×9維的特征向量矩陣作為原始特征向量，采用文獻[7]提出的特征選擇的改進方法對其進行計算，各特征向量分類性能比較如圖2所示，值越大則表示特征向量的分類性能越好。

圖2 各特征向量分類性能比較

由圖2可知，在相同評判條件下，KSIR(h=4)映射后的特征向量的故障分類性能最佳，KPCA中方差貢獻率最大的第1個特征向量僅保留原樣本較多的關(guān)鍵信息，但從分類性能來講，第3個特征向量卻優(yōu)于第1個特征向量。

由于類的可分性不僅取決于均值的可分性，還依賴于方差的可分性，所以特征向量對因變量的解釋能力可在圖3所示的前3個特征向量組成的三維空間中的分布得到解釋。圖3d為原始特征樣本中隨機選取的三維特征組成的分布圖，其類別均值的可分性較差，直接采用此原始特征進行判別易產(chǎn)生較高誤判率；圖3a的KPCA和圖3c的KSIR(h=12)方法，類別均值的可分性較明顯，但各類別的方差較大，由此表現(xiàn)出的發(fā)散性易引起類別間的誤判；圖3b的KSIR(h=4)方法，不僅類別間邊界明顯，而且同類樣本個體聚集緊密，類別信息對特征向量提取的貢獻得到充分體現(xiàn)。

圖3 樣本在特征空間的分布

綜上所述，KSIR借助核函數(shù)實現(xiàn)分類屬性與類別信息間的內(nèi)在非線性關(guān)系，在取得合適h時可用較少特征向量獲得對自變量和因變量較強的解釋能力，而且在低維的EDR空間實現(xiàn)對數(shù)據(jù)的解釋和可視化，分類性能優(yōu)于KPCA。

2.2KSIR中h與r的選擇

由2.1節(jié)可知，在h選取不當時，原始特征信息在r維主分量上投影時產(chǎn)生較大的丟失。為了研究h與r對原始特征信息提取能力的影響，h與前3個特征向量累計貢獻率的關(guān)系如圖4所示。

圖4 h與前3個特征向量累計貢獻率的關(guān)系

由圖4可知，隨h增加，前3個特征向量累計貢獻率呈逐步下降的趨勢，切片是為了考慮樣本的先驗類別信息，因此當h大于樣本類別數(shù)時，相同類別不同切片內(nèi)的樣本在投影后間距變大，從而可在更多的EDR方向上進行細分。圖4也間接驗證h與非零EDR空間維數(shù)K間的關(guān)系[8]：K=h-1。當h小于樣本類別數(shù)時，前K維特征向量的累計貢獻率雖為1，但由于把不同類別的故障樣本放到同一切片組內(nèi)考慮，導致故障類別間的差距信息丟失，造成分類能力降低，故在使用KSIR進行降維特征提取時，當h等于樣本類別數(shù)時，為了使分類性能最優(yōu)，r應(yīng)當在2≤r≤K間根據(jù)需要進行選擇。

3 結(jié)束語

KSIR能考慮數(shù)據(jù)間的非線性關(guān)系，通過非線性映射將原始故障樣本映射到高維空間；然后對樣本切片分組計算EDR方向，獲得投影到EDR方向上的特征向量，實現(xiàn)對原始樣本故障信息基本無損失的降維提??；最后采用試驗分析了KSIR相比于KPCA的優(yōu)越之處。結(jié)果表明，KSIR考慮樣本類別的先驗信息，能以更少、分類能力更優(yōu)的特征向量取得更高的分類精度。另外，分析討論了KSIR中相關(guān)參數(shù)的確定，為KSIR應(yīng)用于實際的故障模式判別和分類提供參考。