基于交叉解耦的滑模控制在磁軸承中的應用

劉峰，王德明，歐陽慧珉，張廣明，袁宇浩

(南京工業大學 自動化與電氣工程學院，南京 211816)

相比于傳統的滾動軸承, 磁軸承具有無磨損、無需潤滑、剛度和阻尼可調等特性，因此廣泛應用于高速旋轉系統，如飛輪儲能裝置、控制力矩陀螺等。

主動磁軸承依靠繞組鐵芯產生的磁力使鐵磁體與磁極產生氣隙以達到懸浮的目的，但由于磁體產生的吸力為非保守力，因此磁軸承系統本身為一個不穩定系統，需要通過控制器使主軸能穩定懸浮。在磁軸承的發展中對控制器及控制策略的研究相當多，滑模變結構控制因對系統參數攝動和外界擾動具有魯棒性和自適應性，因而被廣泛應用于主動磁軸承。文獻[1]研究了滑模控制磁軸承系統的非線性和不確定性的解決方案，并且將滑?？刂茟糜趩巫杂啥鹊拇艖腋∠到y中；文獻[2]討論了在不同硬件特性下滑?？刂品椒▽Υ泡S承系統控制的特性，把系統中存在的擾動歸因于建模不精確和外部干擾，但沒有考慮系統交叉耦合的影響；文獻[3]應用滑模觀測器對磁軸承的擾動量進行觀測并且實現補償，使用了基于PID控制的交叉解耦方法對系統進行解耦，并使用經過校正環節后的觀測值對轉子的不平衡擾動進行補償，但控制與補償系統的設計較為復雜。

針對磁軸承轉子在高速旋轉時產生的陀螺效應和由于轉子的不平衡導致的擾動，設計了基于交叉反饋控制的滑模變結構控制器，實現了交叉解耦，提高了系統對干擾與陀螺耦合的魯棒性，通過仿真證明該控制系統能準確地跟蹤給定信號并且較好地抑制干擾。

1 磁軸承系統建模

假設系統使用的是剛性轉子，執行器與放大器均為非飽和狀態，以徑向4自由度主動磁軸承為對象，建立轉子關于兩端軸承坐標系的系統運動方程。以轉子質心O為原點建立空間直角坐標系O-xyz，以z軸作為轉子在電動機驅動下的旋轉軸;y軸方向對應于上下定子磁極；x軸對應于前后定子磁極。磁懸浮轉軸的運動示意圖如圖1所示。

圖1 轉子運動示意圖

廣義坐標系下轉子的運動方程為

drFdry，

(1)

式中：J,Jz為轉動慣量；m為轉子質量；ω為角速度；xc，yc，θx，θy分別為廣義坐標系下轉子的位移量和角位移量；a，b為兩端的磁力到質心的距離；dl，dr為左、右不平衡力到質心的距離；Flx，Frx分別為左、右磁軸承在x方向產生的磁力；Fly，Fry分別為左、右磁軸承在y方向產生的磁力；由于加工裝配工藝及精度的限制，轉子在旋轉時存在不平衡擾動，Fdlx，Fdrx分別為左、右端在x方向上的干擾力；Fdly，Fdry分別為左、右端在y方向上的干擾力。

由圖1可知，由廣義坐標系到兩端坐標的坐標變換為

(2)

由(1)，(2)式和電磁力的線性化方程可得轉子的運動方程為

H=A-TMA-1,C=A-TGA-1，

(3)

Fdlx=c1drcos(ωt+ζ)+c2sin(ωt+φ)，

Fdrx=c1dlcos(ωt+ζ)-c2sin(ωt+φ)，

Fdly=c1drsin(ωt+ζ)+c2cos(ωt+φ)，

Fdry=c1dlsin(ωt+ζ)-c2cos(ωt+φ)，

2 基于交叉反饋的滑模控制器設計

交叉反饋控制[4-6]相比于魯棒控制等集中控制方法，具有設計簡單、工程上易于實現等優點，廣泛應用于磁軸承系統的解耦控制中。由于具有耦合項的磁軸承MIMO系統的滑模控制較為復雜，不易于工程設計與實現，因此，可以將滑模控制與交叉反饋相結合，在解耦的基礎上設計滑?？刂破?，降低設計難度，使系統在滿足跟蹤特性的同時減小耦合的影響。由(3)式可得

(4)

e=qL-qd，

(5)

設計切換函數為

(6)

Λ為切換函數系數矩陣，則

(7)

構造Lyapunov函數

(8)

則

(9)

結合交叉反饋控制原理設計控制輸入為[4]

(10)

P=diag(kP,kP,kP,kP),

式中：P，D分別為交叉反饋控制的比例系數項和微分系數項；kcφ為交叉系數；kP為比例系數；kD為微分常數；ε為等速趨近常數；k為指數趨近常數。系統參數見表1。

表1 磁軸承系統仿真參數

H-1[(KiP+Ks)qL-ks-εsgns+

DisFd-d]} ，

(11)

若滿足條件

(12)

則(11)式可化為

(13)

dU=[dxlU,dxrU,dylU,dyrU]，

dL=[dxlL,dxrL,dylL,dyrL]，

設d應滿足條件

(14)

則干擾上下界為

(15)

閉環系統控制框圖如圖2所示。

圖2 交叉滑模控制系統框圖

同時，為了驗證交叉滑?？刂菩阅?，對比了傳統帶交叉反饋的PID控制器對磁軸承系統的分散交叉控制。單自由度上PID控制算法為

3 仿真與討論

根據(13)式，若系統的干擾項在上下限[dL,dU]范圍內，則設置相應的上下限值可使系統滿足穩定性條件。由(12)式可得切換系數矩陣為

Λ=-(H-1KiD-H-1C)。

(16)

圖3 不同轉速下轉子的位移階躍響應

由圖3可知，滑?？刂频捻憫獣r間遠小于PID控制的響應時間，且穩態誤差小于1%，滿足使用要求。PID控制的初始響應速度較慢且抑制擾動的效果較差。由于使用了切換函數和指數趨近的趨近率，滑?？刂瓶梢越档拖到y位移誤差，使到達段與滑模段的運動軌跡較平滑，其穩態特性也較好，同時，通過調節系數k和ε可加快系統的趨近過程。由圖3a,圖3c,圖3e,圖3g和Fd的計算式可知，隨著轉速的升高，系統不平衡擾動力增大，但由于滑模上下界的控制，在設定的范圍內滑模控制的位移軌跡收斂，是一個穩定的過程。由于存在陀螺效應，左端轉子的位移與右端轉子的位移形成耦合。由圖3b,圖3d,圖3f和圖3h可知，使用帶交叉反饋的PID控制時右端轉子位移響應為衰減振型，且振蕩周期遠大于使用交叉滑?？刂茣r的振蕩周期， 因此，所設計的基于交叉解耦的滑?？刂破骺稍跍p小系統誤差的同時降低耦合的影響。

在不同轉速下xl方向的位移誤差相軌跡如圖4所示。由圖可知，當轉速升高時使用交叉滑?？刂频南到y主軸的振動加快且振蕩周期增大，但系統響應曲線仍為衰減振型且誤差趨向于零。

圖4 xl方向轉子位移誤差相軌跡

4 結束語

針對轉子陀螺耦合效應、不平衡擾動，應用Lyapunov穩定性定理構造了基于交叉反饋控制的滑模控制器。通過對使用該控制方法的磁軸承系統進行仿真可知，系統的跟蹤特性和抗干擾特性較好，與傳統的帶交叉反饋的PID控制相比具有較好的穩態精度；應用了基于擾動上下界的滑?？刂品椒?，提高了系統在干擾輸入時的穩定性；當轉子的干擾在設置的不平衡擾動的上下界范圍內時，系統可獲得對不平衡的干擾及陀螺耦合的魯棒性，具有實際的應用價值。由于磁軸承系統普遍存在非線性現象，且該特性的確定較為復雜，而滑模控制是解決該問題的一種較常用的且效果較好的控制方案，因此，應用基于交叉解耦的滑模控制解決系統的非線性問題將是接下來研究工作的重點。