深溝球軸承安全接觸角的MATLAB數值分析

2014-07-21 08:21:26葉華聰王曉宏張沛峰

軸承 2014年6期

葉華聰，王曉宏，張沛峰

(1.貴州大學機械工程學院，貴陽 550025；2.貴州虹山虹飛軸承有限責任公司，貴州安順 561000)

深溝球軸承主要承受徑向載荷，還可以承受一定的軸向載荷。當其承受軸向載荷時，隨著軸向載荷的增大，接觸橢圓的面積將會增大，并向擋邊移動。如果軸向載荷大于許用軸向載荷，接觸角大于安全接觸角，接觸橢圓的邊緣會超出擋邊，此時會產生應力集中，致使軸承早期疲勞失效，大大縮短軸承的使用壽命[1]。因此，作為深溝球軸承設計的可靠理論依據，有必要對其安全接觸角進行精確計算。

1 安全接觸角的計算方法

1.1 臨界狀態分析

隨著軸向載荷的增大，鋼球與內、外圈間的接觸橢圓會向擋邊方向移動，軸承的接觸角也會隨之增大，當接觸角增大到接觸橢圓剛好處于爬越擋邊的臨界狀態，即接觸橢圓的長軸剛好達到擋邊邊緣，此時的接觸角即為安全接觸角α(圖1)。如果軸向載荷過大，接觸橢圓將被套圈擋邊截去一部分，在鋼球和擋邊附近的接觸處會產生應力集中，加速軸承的疲勞失效。因此，深溝球軸承軸向承載能力的限制條件為軸向載荷作用下鋼球和溝道間的接觸橢圓不可爬越擋邊邊緣[2]。

圖1中，α為極限軸向載荷Fa作用下產生的安全接觸角；φ為接觸橢圓長半軸a相對于鋼球中心形成的角度；θ為極限軸向載荷Fa作用下接觸橢圓所在側擋邊邊緣和鋼球中心的連線與軸承徑向的夾角；F，E分別為軸承內、外溝道直徑；d2，D2分別為內、外圈擋邊直徑；Dpw為球組節圓直徑；Dw為鋼球直徑。

圖1 純軸向載荷下深溝球軸承的幾何關系示意圖

1.2 相關計算公式

為了便于理論計算和分析，在不考慮軸承運轉時離心力對接觸角的影響下，給出安全接觸角的計算參數及相關公式[1-2]。

1.2.1θ的計算

對于外圈

(1)

對于內圈

(2)

式中：fi，fe分別為內、外溝曲率系數。

1.2.2 安全接觸角和極限軸向載荷

由上述約束條件得

θ-α≥φ，

(3)

當φ很小時，可以近似為

(4)

接觸橢圓長半軸為

(5)

當軸承承受極限軸向載荷Fa時，有如下關系

(6)

式中：Z為鋼球數。

由(3)～(6)式可得

(7)

又有

(8)

(8)式可變為

(9)

式中：α0為與徑向游隙有關的原始接觸角；c為接觸變形系數；Gr為徑向游隙。

由(7)和(9)式整理可得

(10)

由(10)式可以計算安全接觸角α。

2 MATLAB算例分析

以深溝球軸承6206為例計算極限軸向載荷。設計參數如下：E=55.54 mm，F=36.46 mm，D2=51.84 mm，d2=40.1 mm，Dw=9.525 mm，fe=0.52，fi=0.515，Z=9，Gr=0.014 mm。

2.1 程序編寫

2.1.1 定義參數

將設計參數通過賦值的方式進行定義，例如給E賦值的語句為

E=55.54;

其后的分號表示不在命令窗口中顯示賦值結果，其余參數的賦值方法與此類似。這種方法還可以將已經賦值的變量通過多項式計算賦值給新的變量。例如求解極限軸向載荷的公式可以通過如下賦值語句實現

Fa=Z*Dw^2*sin(alpha)*(((2*fm-1)/c)*(cos(alpha_0)/cos(alpha)-1))^1.5

其中包含的特定標記都是已經賦予值的變量。

2.1.2 函數計算

利用MATLAB的底層程序，可以采用命令語句快速進行方程的數值計算。例如計算θe的命令語句為

theta_e=acos(1-(E-D2)/(2*fe*Dw))

語句末尾沒有標點符號，其計算結果將顯示在命令窗口中。其余函數計算方法與此類似，需要注意的是方程中用到的標記必須是已定義的。

2.1.3 擬合曲線

對于需查表的參數，可以利用擬合語句進行曲線擬合以及定點計算。首先需要截取表中的參數，并賦值給某一個參數；然后利用MATLAB的擬合命令進行求解。例如求eae的擬合命令語句為

A=[0.900,0.073 05;0.910,0.076 41;0.920,0.080 23;0.930,0.084 80;0.940,0.090 35;0.950,0.097 33;0.960,0.106 6;0.970,0.119 7;0.980,0.140 4;0.990,0.183 1];

x1=A(:,1);y1=A(:,2);

n1=10;

p1=polyfit_ye(x1,y1,n1);

ea_e=polyval(p1,F_rho_e)

程序中語句1是截取表中的參數，并賦值給某一個參數A；語句2是將矩陣A的第1列和第2列分別賦值給x1和y1；語句4中x1，y1為已知數據，n1為擬合多項式的階次，p1為返回所得多項式的系數向量，通常多項式擬合中階數越大，擬合的精度就越高；語句5為當x1取F(ρe)時，由系數向量p1=polyfit_ye(x1,y1,n1)代表的擬合多項式計算得到的函數值，也就是表中F(ρe)所對應的eae。其他查表值的計算與此類似。

2.1.4 子程序調用

根據(10)式得

安全接觸角α可以通過此方程求解得到，而且適合的解必然處于(0,1)區間。例如求內圈安全接觸角αi的主程序語句為

alpha_i=fzero(′sub_i′,1);

其中fzero為求方程零點的命令；sub_i為調用的子程序，1為求解初始值，所求解應為1附近的方程之根。

子程序應單獨進行設計、保存，以備調用，如

function fx=sub_i(x)

fx=sin(theta_i-x)-2*ea_i*(((2*fm-1)/c)*(cos(alpha_0)./cos(x)-1)).^(1/2)/(Dw*sigma_rho_i)^(1/3);

使用時，須在語句1，2之間添加語句2中所用到的變量賦值語句。其他子程序調用語句與此類似。