基于MATLAB的轎車輪轂軸承單元疲勞壽命計算分析軟件的開發

熊偉，陳國華，梅松

(1.湖北文理學院 機械與汽車工程學院，湖北 襄陽 441053；2.湖北新火炬科技股份有限公司，湖北 襄陽 441004)

軸承疲勞壽命計算的國際標準中沒有考慮滾動體載荷的精確分布，只能得到近似的壽命估算方法[1]。在能得到準確的滾動體載荷分布情況下，應優先按照Lundberg G和Palmgren A的理論(即L-P壽命模型)來計算軸承的疲勞壽命。Harris[2]給出了在不同載荷狀態下軸承內部載荷的分析方法。通過數值計算，能精確求出輪轂軸承內部的載荷分布，進而獲得軸承各參數(如接觸角、初始游隙、路況等)對壽命的影響規律[3-4]。

轎車輪轂軸承常采用雙列角接觸球軸承，文獻[5-7]給出了這種形式下載荷求解的具體方程，并進行了求解、分析。

1 轎車輪轂軸承壽命理論模型

壽命分析的基本思路是先分析輪轂軸承單元的受力，包括軸承的徑向、軸向載荷，在得到滾動體載荷的精確分布后，再基于L-P模型分析疲勞壽命。限于篇幅，只簡要分析輪轂軸承壽命計算的基本模型，并列出了軟件開發中將用到的主要計算公式，詳細推導過程見文獻[1-5]。

1.1 軸承載荷的計算

忽略鋼球離心力、摩擦力和陀螺力矩等的影響，將轎車輪轂軸承結構簡化為2個支點的線性剛體系統，通過建立徑向力、軸向力的平衡方程及位移平衡方程可分別求解出作用于兩列軸承的徑向、軸向載荷及其位移，進而求出每個鋼球的載荷。

1.1.1 徑向載荷的計算

轎車輪轂軸承內、外列的徑向載荷Fr1，Fr2可通過靜力平衡由(1)和(2)式求出[7]

(1)

(2)

(3)

(4)

S=Sbc+Dpwtanα0，

(5)

式中：W為車軸質量；H和T分別為車輛質心高度和有效輪距；S為兩列鋼球壓力中心距離；Sbc為兩列球組節圓中心距；Rs為輪胎半徑；k為垂直載荷系數；ag為側向加速度；g為重力加速度；Dpw為球組節圓直徑；e為偏距；α0為初始接觸角；Fzr，Fyr分別為輪胎的徑向和軸向載荷。

1.1.2 軸向載荷的計算[5]

軸向載荷的求解可根據內、外列徑向載荷Fr1，Fr2和軸向載荷Fa1,Fa2分別與所有角位置處的鋼球接觸載荷的分量之和相等建立平衡方程，再加上總體軸向力平衡和位移平衡方程，可得到由(6)～(11)式組成的方程組，求解該非線性方程組可得到內、外列軸承的徑向、軸向位移(δr1,δr2,δa1,δa2)以及軸向載荷(Fa1,Fa2)6個未知量[5]。

δa1+δa2+δ0=0，

(6)

Fa1-Fa2+Fyr=0，

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

式中：δ0為輪轂軸承的初始軸向游隙值；

為內外溝曲率中心距，A=(fi+fe-1)Dw；fi，fe分別為內、外溝曲率半徑系數；Dw為鋼球公稱直徑；ψ為鋼球的位置角；Kn為載荷-位移常數，可通過查表或計算得到[2，4]。

1.1.3 當量動載荷和額定動載荷的計算

每個鋼球的工作接觸角αj為

(12)

式中：j=1,…,Z,Z為單列鋼球數。

每個鋼球所受載荷Qj為

(13)

對旋轉套圈,其當量動載荷Qeu為

(14)

對靜止套圈，其當量動載荷Qev為

(15)

額定動載荷Qc為

(16)

式中：bm為考慮軸承材料性能的提高而引入的系數，對于角接觸球軸承bm=1.3[2]；上運算符用于旋轉套圈即Qcu，下運算符用于靜止套圈即Qcv；γ=Dwcosα0/Dpw；f=r/Dw,r為溝曲率半徑。

1.2 軸承壽命的計算

旋轉套圈、靜止套圈的壽命分別為

(17)

(18)

單列軸承的壽命為

(19)

則輪轂軸承單元的壽命為

(20)

式中：L1，L2分別為內、外列軸承的壽命。

上述壽命計算是在單一路況下分析的，實際中需考慮復雜路況的綜合作用效果。表1列出了某汽車廠家的載荷路譜，這時計算軸承壽命需先分別計算每一路況下軸承的載荷分布，再計算對應的當量動載荷與額定動載荷，然后計算每一路況下軸承的壽命，最后由(21)式將不同路況下的壽命合成為系統總體壽命。

表1 載荷路譜

(21)

式中：Li為i路況下的壽命；mi為i路況的使用概率。

2 基于MATLAB的軟件開發

在輪轂軸承單元設計中，需要快速實現上述理論分析，為此開發專用軟件來實現此功能，軟件的核心功能涉及大量的數值計算，因此選用具有強大數學計算能力的MATLAB作為軟件開發平臺。MATLAB軟件在R2010a之后的版本，均具有較強的界面設計能力，并能實現與其他高級語言(如C語言)的混合編程[8]。

2.1 軟件總體框架

該軟件系統以計算模塊為核心，包含繪圖模塊、輸入模塊、輸出模塊和輔助模塊等。系統框圖如圖1所示。

2.2 界面設計

基于MATLAB GUI(Graphical User Interface)進行軟件界面設計[9]。主要用到pushbutton，static text，table等控件，通過GUIDE生成.fig文件。界面按鈕與主執行代碼之間通過callback函數聯系。界面如圖2所示。

圖2 用戶界面窗口

2.3 輸入模塊

計算輪轂軸承壽命時，大量的已知參數需要輸入計算系統，主要包括載荷路譜參數(表1)和輪轂軸承單元的結構參數(表2)。系統計算時，先獲取必需的輸入參數，設計中采用如下2種方法獲取輸入參數。

表2 某車型輪轂軸承單元結構參數

(1)在界面uitable控件中直接輸入輪轂軸承參數和路況參數。通過get函數獲取界面中的數據，代碼如下：data=get(handles.uitable1,′data′)，再從data陣列中獲取各數據。

(2)在bearing.xls 和 road.xls中進行輸入。可將常用參數預設于上述EXCEL文件中，通過xlsread 和xlswrite 函數對EXCEL文件進行讀寫操作，并將EXCEL數據顯示在界面中。在road.xls文件中可對路況條件進行增減，此程序最多可支持60種路況聯合作用。

2.4 計算模塊

計算模塊是程序的核心內容，計算總體流程如圖3所示。

圖3 計算模塊流程圖

在求解前述(6)～(10)式組成的非線性方程組時，可用MATLAB中fsolve函數來實現。fsolve函數可用于各種規模非線性方程組的求解，只需對其選項進行簡單的設置即可，這也是選用MATLAB作為開發工具的重要原因之一。該函數默認采用Newton迭代法求解，但Newton對初始值要求較高，在初始值偏離較大的情況下可能得不到收斂解。為了降低對初始值的依賴，在Newton不滿足終止條件時，再使用Levenberg-Marquardt 法及trust-region-reflective法等，求解流程如圖4所示。

圖4 非線性方程組求解流程圖

在求解時，設置x迭代精度，函數值精度作為收斂終止條件，同時設置迭代次數，用最大函數值終止條件來控制求解所需時間。幾個關鍵參數設置為：初始值設置x0=[5 000,0,0,0];迭代次數1 000;函數最大值為1e+12;x精度1e-8。

測試證明，采用以上多種設置后，針對不同輸入條件，方程組均能獲得收斂解。

計算結束后，程序將計算結果自動保存在report.xls中，可通過生成報告按鈕打開該文件，文件中包含了每種路況下軸承各鋼球的受力情況，可供設計人員分析使用。

2.5 繪圖模塊

繪圖模塊流程為：繪圖參數輸入→調用計算模塊→圖形繪制并輸出。先通過繪圖參數輸入框輸入相應繪圖參數，如數據點的范圍和間隔，再用plot函數繪圖。參數輸入如圖5所示，圖形結果如圖6所示。

圖5 繪圖參數輸入

圖6 圖形結果

圖中每個數據點均需迭代法求解，因此調用計算模塊進行計算，計算量較大，程序所需時間稍長。以初始軸向游隙-壽命的關系圖為例, 部分代碼如下。

%繪圖參數輸入

prompt={′輸入最小游隙值(mm)′,′輸入最大游隙(mm)′,′輸入繪圖間隔(mm)′}

title1=′繪圖參數輸入′

lines=[1 40]

answer=inputdlg(prompt,title1,lines)

%調用計算模塊

略

figure(2)

plot(You,Zong,′-*r′,You,Nei,′:+k′,You,Wai,′-.ob′,′LineWidth′,2)

xlabel(′初始軸向游隙/mm′)

ylabel(′壽命/(×104km)′)

legend(′系統壽命′,′內列壽命′,′外列壽命′,

′Location′,′northwest′)

3 軟件系統的使用與評價

源程序經過編譯后可生成EXE可執行文件，安裝MCR函數庫后，可在脫離MATLAB的Windows環境下使用。經相關企業使用證明，該系統的理論方法可靠，軟件能應用于轎車輪轂軸承設計計算中，特別是提供了軸承設計參數(游隙、偏距等)與軸承壽命的關系，較好地滿足了轎車輪轂軸承單元的設計需求。