等幾何分析與有限元直接耦合法

尹碩輝　余天堂

摘要：等幾何分析（IsoGeometric Analysis，IGA）具有幾何模型精確，分析精度高和收斂速度快等優點，但積分效率不高、邊界條件處理復雜.因此，提出一種IGA與有限元直接耦合的方法，將有限元與IGA交界處節點自由度用等幾何控制節點直接表示出來，從而形成IGA與有限元的耦合單元.算例分析表明，該方法與常規有限元法相比具有精度高的特點，與IGA相比具有施加邊界條件方便的優點.

關鍵詞：等幾何分析； 有限元； 直接耦合法； 節點自由度

中圖分類號： TB115.1

文獻標志碼：A

0 引 言

等幾何分析（IsoGeometric Analysis， IGA）在2005年由HUGHES等[1]提出，是基于CAD樣條技術求解偏微分方程的數值方法.IGA采用CAD中樣條基函數（如B樣條和NURBS樣條等）作為有限元分析的形函數，具有“精確”的網格，不需要由CAD數據生成計算網格，網格劃分過程簡化，網格細分過程幾何形狀保持不變，并將CAD與CAE有機統一.IGA具有與有限元法類似的h-細分、p-細分以及高階連續的k-細分方法.IGA本質上仍然是一種有限元法.與常規有限元法相比，IGA具有更高的精度、更好的收斂性和穩定性.此外，常規有限元法近似解通常僅具有C0連續性，不能有效求解高階偏微分方程問題（如薄板殼等），而IGA可以構造任意高階連續的基函數，對高階偏微分方程的求解應用廣泛.IGA以其獨特的優點使得其在流體力學[2]、板殼分析[3]、電磁場[4]、相場[5]、拓撲優化[6]以及裂紋擴展[7-8]等領域都有廣泛應用.

IGA的缺點有計算效率不高和處理邊界條件復雜等.將IGA與有限元耦合可以很好地將這兩種方法的優點組合起來，克服各自不足.如何處理等幾何分析與有限元交界部分是耦合的關鍵問題.

借鑒無網格與有限元直接耦合思想[9]，提出IGA與有限元直接耦合法.該方法將有限元與IGA交界處節點自由度用等幾何控制節點直接表示，從而形成等幾何與有限元的耦合單元.該方法操作簡單，易于程序實現.算例表明該方法在保證精度的前提下具有計算量小，應用簡便的優點，具有較好的應用前景.

摘要：等幾何分析（IsoGeometric Analysis，IGA）具有幾何模型精確，分析精度高和收斂速度快等優點，但積分效率不高、邊界條件處理復雜.因此，提出一種IGA與有限元直接耦合的方法，將有限元與IGA交界處節點自由度用等幾何控制節點直接表示出來，從而形成IGA與有限元的耦合單元.算例分析表明，該方法與常規有限元法相比具有精度高的特點，與IGA相比具有施加邊界條件方便的優點.

關鍵詞：等幾何分析； 有限元； 直接耦合法； 節點自由度

中圖分類號： TB115.1

文獻標志碼：A

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等幾何分析（IsoGeometric Analysis， IGA）在2005年由HUGHES等[1]提出，是基于CAD樣條技術求解偏微分方程的數值方法.IGA采用CAD中樣條基函數（如B樣條和NURBS樣條等）作為有限元分析的形函數，具有“精確”的網格，不需要由CAD數據生成計算網格，網格劃分過程簡化，網格細分過程幾何形狀保持不變，并將CAD與CAE有機統一.IGA具有與有限元法類似的h-細分、p-細分以及高階連續的k-細分方法.IGA本質上仍然是一種有限元法.與常規有限元法相比，IGA具有更高的精度、更好的收斂性和穩定性.此外，常規有限元法近似解通常僅具有C0連續性，不能有效求解高階偏微分方程問題（如薄板殼等），而IGA可以構造任意高階連續的基函數，對高階偏微分方程的求解應用廣泛.IGA以其獨特的優點使得其在流體力學[2]、板殼分析[3]、電磁場[4]、相場[5]、拓撲優化[6]以及裂紋擴展[7-8]等領域都有廣泛應用.

IGA的缺點有計算效率不高和處理邊界條件復雜等.將IGA與有限元耦合可以很好地將這兩種方法的優點組合起來，克服各自不足.如何處理等幾何分析與有限元交界部分是耦合的關鍵問題.

借鑒無網格與有限元直接耦合思想[9]，提出IGA與有限元直接耦合法.該方法將有限元與IGA交界處節點自由度用等幾何控制節點直接表示，從而形成等幾何與有限元的耦合單元.該方法操作簡單，易于程序實現.算例表明該方法在保證精度的前提下具有計算量小，應用簡便的優點，具有較好的應用前景.

摘要：等幾何分析（IsoGeometric Analysis，IGA）具有幾何模型精確，分析精度高和收斂速度快等優點，但積分效率不高、邊界條件處理復雜.因此，提出一種IGA與有限元直接耦合的方法，將有限元與IGA交界處節點自由度用等幾何控制節點直接表示出來，從而形成IGA與有限元的耦合單元.算例分析表明，該方法與常規有限元法相比具有精度高的特點，與IGA相比具有施加邊界條件方便的優點.

關鍵詞：等幾何分析； 有限元； 直接耦合法； 節點自由度

中圖分類號： TB115.1

文獻標志碼：A

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等幾何分析（IsoGeometric Analysis， IGA）在2005年由HUGHES等[1]提出，是基于CAD樣條技術求解偏微分方程的數值方法.IGA采用CAD中樣條基函數（如B樣條和NURBS樣條等）作為有限元分析的形函數，具有“精確”的網格，不需要由CAD數據生成計算網格，網格劃分過程簡化，網格細分過程幾何形狀保持不變，并將CAD與CAE有機統一.IGA具有與有限元法類似的h-細分、p-細分以及高階連續的k-細分方法.IGA本質上仍然是一種有限元法.與常規有限元法相比，IGA具有更高的精度、更好的收斂性和穩定性.此外，常規有限元法近似解通常僅具有C0連續性，不能有效求解高階偏微分方程問題（如薄板殼等），而IGA可以構造任意高階連續的基函數，對高階偏微分方程的求解應用廣泛.IGA以其獨特的優點使得其在流體力學[2]、板殼分析[3]、電磁場[4]、相場[5]、拓撲優化[6]以及裂紋擴展[7-8]等領域都有廣泛應用.

IGA的缺點有計算效率不高和處理邊界條件復雜等.將IGA與有限元耦合可以很好地將這兩種方法的優點組合起來，克服各自不足.如何處理等幾何分析與有限元交界部分是耦合的關鍵問題.

借鑒無網格與有限元直接耦合思想[9]，提出IGA與有限元直接耦合法.該方法將有限元與IGA交界處節點自由度用等幾何控制節點直接表示，從而形成等幾何與有限元的耦合單元.該方法操作簡單，易于程序實現.算例表明該方法在保證精度的前提下具有計算量小，應用簡便的優點，具有較好的應用前景.