基于保辛算法的繩系衛星系統閉環反饋控制問題求解

陳飆松　江新　彭海軍

摘要：應用非線性系統滾動時域控制的保辛算法求解繩系衛星系統子星釋放和回收過程的閉環反饋控制問題.通過第二類Lagrange方程推導出二體繩系衛星系統的動力學方程；通過擬線性化方法將繩系衛星系統閉環反饋控制問題轉化為線性非齊次Hamilton系統兩端邊值問題的迭代求解；通過保辛算法將線性非齊次Hamilton兩端邊值問題轉化為線性方程組的求解；通過遞進更新時間步的狀態變量和控制變量，完成繩系衛星系統的閉環反饋控制.數值仿真表明：相對于Legendre偽譜方法，用保辛算法求解繩系衛星系統的閉環反饋控制問題的計算速度和收斂速度較快.繩系衛星系統的開環控制和閉環反饋控制問題數值仿真結果表明：在繩系衛星的初始狀態存在偏差的情況下，使用開環控制會導致系統在終端無法達到穩定狀態，而使用閉環反饋控制則能在一段時間內抵消初始狀態向量偏差對系統產生的影響，最終達到穩定狀態.

關鍵詞：繩系衛星； 釋放； 回收； 閉環反饋控制； 保辛； 擬線性化

中圖分類號： V474.292

文獻標志碼：B

0 引 言

繩系衛星系統是指通過系繩將主星與子星連在一起飛行的組合體.[1]在通過調節系繩張力釋放或回收衛星的過程中，子星與系繩的運動都會受到Coriolis力的影響，系繩產生大幅振動[2]，因此必須加以控制使得系統達到穩定狀態.繩系衛星系統的控制為強非線性問題，具有內在不穩定性[3]，在初始狀態向量存在偏差時，若事先采用開環控制進行計算，并用計算結果控制繩系衛星系統，會使控制效果大打折扣.閉環反饋控制采用反饋控制律修正由于初始狀態向量的偏差而產生的影響[4]，因此相比開環控制具有一定的優勢.

滾動時域控制（Receding Horizon Control， RHC）是一種能夠起到閉環反饋控制效果的模型預測控制方法，將其應用于非線性系統時能得到穩定的閉環系統.[5]繩系衛星系統的滾動時域控制在線求解效率是閉環反饋控制問題的關鍵，因此研究滾動時域控制問題的數值算法具有重要價值.文獻[6]根據對偶變量變分原理和生成函數提出一種求解線性滾動時域控制問題的保辛算法，將線性滾動時域控制問題轉化為一組稀疏對稱非負定的線性方程組進行求解.這種方法不需要對Riccati微分方程進行數值積分運算，能有效提高計算效率.文獻[7]進一步利用擬線性化方法，將非線性系統轉化為線性非齊次Hamilton系統兩端邊值問題的迭代求解，而后利用對偶變量變分原理與生成函數提出一種求解非線性滾動時域控制的保辛算法.文獻[7]提出的方法能求解高度不穩定的非線性系統.考慮到繩系衛星系統在空間環境中極易受到外部擾動的影響，其動力學控制問題較為復雜[8-9]，因此有必要推導一種高效的數值計算方法解決繩系衛星系統的控制問題.

本文首先通過第二類Lagrange方程推導二體繩系衛星系統的動力學方程，然后將求解非線性系統滾動時域控制問題的保辛算法應用于繩系衛星系統的閉環反饋控制問題中.數值仿真將保辛算法的計算結果與Legendre偽譜方法的計算結果進行比較，結果表明保辛算法在計算速度上具有較大優勢.進一步分析表明，保辛算法求解繩系衛星系統的閉環反饋控制問題具有較高的收斂速度.此外，分析數值仿真繩系衛星系統的開環控制與閉環反饋控制方案，結果表明：在狀態向量存在初始偏差的情況下，繩系衛星系統內在的不穩定性會導致系統在終端無法達到穩定狀態，而閉環反饋控制可以通過反饋控制率逐漸消除狀態向量初始偏差的影響，使得系統在終端依然能達到穩定狀態.

摘要：應用非線性系統滾動時域控制的保辛算法求解繩系衛星系統子星釋放和回收過程的閉環反饋控制問題.通過第二類Lagrange方程推導出二體繩系衛星系統的動力學方程；通過擬線性化方法將繩系衛星系統閉環反饋控制問題轉化為線性非齊次Hamilton系統兩端邊值問題的迭代求解；通過保辛算法將線性非齊次Hamilton兩端邊值問題轉化為線性方程組的求解；通過遞進更新時間步的狀態變量和控制變量，完成繩系衛星系統的閉環反饋控制.數值仿真表明：相對于Legendre偽譜方法，用保辛算法求解繩系衛星系統的閉環反饋控制問題的計算速度和收斂速度較快.繩系衛星系統的開環控制和閉環反饋控制問題數值仿真結果表明：在繩系衛星的初始狀態存在偏差的情況下，使用開環控制會導致系統在終端無法達到穩定狀態，而使用閉環反饋控制則能在一段時間內抵消初始狀態向量偏差對系統產生的影響，最終達到穩定狀態.

關鍵詞：繩系衛星； 釋放； 回收； 閉環反饋控制； 保辛； 擬線性化

中圖分類號： V474.292

文獻標志碼：B

0 引 言

繩系衛星系統是指通過系繩將主星與子星連在一起飛行的組合體.[1]在通過調節系繩張力釋放或回收衛星的過程中，子星與系繩的運動都會受到Coriolis力的影響，系繩產生大幅振動[2]，因此必須加以控制使得系統達到穩定狀態.繩系衛星系統的控制為強非線性問題，具有內在不穩定性[3]，在初始狀態向量存在偏差時，若事先采用開環控制進行計算，并用計算結果控制繩系衛星系統，會使控制效果大打折扣.閉環反饋控制采用反饋控制律修正由于初始狀態向量的偏差而產生的影響[4]，因此相比開環控制具有一定的優勢.

滾動時域控制（Receding Horizon Control， RHC）是一種能夠起到閉環反饋控制效果的模型預測控制方法，將其應用于非線性系統時能得到穩定的閉環系統.[5]繩系衛星系統的滾動時域控制在線求解效率是閉環反饋控制問題的關鍵，因此研究滾動時域控制問題的數值算法具有重要價值.文獻[6]根據對偶變量變分原理和生成函數提出一種求解線性滾動時域控制問題的保辛算法，將線性滾動時域控制問題轉化為一組稀疏對稱非負定的線性方程組進行求解.這種方法不需要對Riccati微分方程進行數值積分運算，能有效提高計算效率.文獻[7]進一步利用擬線性化方法，將非線性系統轉化為線性非齊次Hamilton系統兩端邊值問題的迭代求解，而后利用對偶變量變分原理與生成函數提出一種求解非線性滾動時域控制的保辛算法.文獻[7]提出的方法能求解高度不穩定的非線性系統.考慮到繩系衛星系統在空間環境中極易受到外部擾動的影響，其動力學控制問題較為復雜[8-9]，因此有必要推導一種高效的數值計算方法解決繩系衛星系統的控制問題.

本文首先通過第二類Lagrange方程推導二體繩系衛星系統的動力學方程，然后將求解非線性系統滾動時域控制問題的保辛算法應用于繩系衛星系統的閉環反饋控制問題中.數值仿真將保辛算法的計算結果與Legendre偽譜方法的計算結果進行比較，結果表明保辛算法在計算速度上具有較大優勢.進一步分析表明，保辛算法求解繩系衛星系統的閉環反饋控制問題具有較高的收斂速度.此外，分析數值仿真繩系衛星系統的開環控制與閉環反饋控制方案，結果表明：在狀態向量存在初始偏差的情況下，繩系衛星系統內在的不穩定性會導致系統在終端無法達到穩定狀態，而閉環反饋控制可以通過反饋控制率逐漸消除狀態向量初始偏差的影響，使得系統在終端依然能達到穩定狀態.

摘要：應用非線性系統滾動時域控制的保辛算法求解繩系衛星系統子星釋放和回收過程的閉環反饋控制問題.通過第二類Lagrange方程推導出二體繩系衛星系統的動力學方程；通過擬線性化方法將繩系衛星系統閉環反饋控制問題轉化為線性非齊次Hamilton系統兩端邊值問題的迭代求解；通過保辛算法將線性非齊次Hamilton兩端邊值問題轉化為線性方程組的求解；通過遞進更新時間步的狀態變量和控制變量，完成繩系衛星系統的閉環反饋控制.數值仿真表明：相對于Legendre偽譜方法，用保辛算法求解繩系衛星系統的閉環反饋控制問題的計算速度和收斂速度較快.繩系衛星系統的開環控制和閉環反饋控制問題數值仿真結果表明：在繩系衛星的初始狀態存在偏差的情況下，使用開環控制會導致系統在終端無法達到穩定狀態，而使用閉環反饋控制則能在一段時間內抵消初始狀態向量偏差對系統產生的影響，最終達到穩定狀態.

關鍵詞：繩系衛星； 釋放； 回收； 閉環反饋控制； 保辛； 擬線性化

中圖分類號： V474.292

文獻標志碼：B

0 引 言

繩系衛星系統是指通過系繩將主星與子星連在一起飛行的組合體.[1]在通過調節系繩張力釋放或回收衛星的過程中，子星與系繩的運動都會受到Coriolis力的影響，系繩產生大幅振動[2]，因此必須加以控制使得系統達到穩定狀態.繩系衛星系統的控制為強非線性問題，具有內在不穩定性[3]，在初始狀態向量存在偏差時，若事先采用開環控制進行計算，并用計算結果控制繩系衛星系統，會使控制效果大打折扣.閉環反饋控制采用反饋控制律修正由于初始狀態向量的偏差而產生的影響[4]，因此相比開環控制具有一定的優勢.

滾動時域控制（Receding Horizon Control， RHC）是一種能夠起到閉環反饋控制效果的模型預測控制方法，將其應用于非線性系統時能得到穩定的閉環系統.[5]繩系衛星系統的滾動時域控制在線求解效率是閉環反饋控制問題的關鍵，因此研究滾動時域控制問題的數值算法具有重要價值.文獻[6]根據對偶變量變分原理和生成函數提出一種求解線性滾動時域控制問題的保辛算法，將線性滾動時域控制問題轉化為一組稀疏對稱非負定的線性方程組進行求解.這種方法不需要對Riccati微分方程進行數值積分運算，能有效提高計算效率.文獻[7]進一步利用擬線性化方法，將非線性系統轉化為線性非齊次Hamilton系統兩端邊值問題的迭代求解，而后利用對偶變量變分原理與生成函數提出一種求解非線性滾動時域控制的保辛算法.文獻[7]提出的方法能求解高度不穩定的非線性系統.考慮到繩系衛星系統在空間環境中極易受到外部擾動的影響，其動力學控制問題較為復雜[8-9]，因此有必要推導一種高效的數值計算方法解決繩系衛星系統的控制問題.

本文首先通過第二類Lagrange方程推導二體繩系衛星系統的動力學方程，然后將求解非線性系統滾動時域控制問題的保辛算法應用于繩系衛星系統的閉環反饋控制問題中.數值仿真將保辛算法的計算結果與Legendre偽譜方法的計算結果進行比較，結果表明保辛算法在計算速度上具有較大優勢.進一步分析表明，保辛算法求解繩系衛星系統的閉環反饋控制問題具有較高的收斂速度.此外，分析數值仿真繩系衛星系統的開環控制與閉環反饋控制方案，結果表明：在狀態向量存在初始偏差的情況下，繩系衛星系統內在的不穩定性會導致系統在終端無法達到穩定狀態，而閉環反饋控制可以通過反饋控制率逐漸消除狀態向量初始偏差的影響，使得系統在終端依然能達到穩定狀態.