閉環系統辨識的模型結構檢驗

王建宏，熊朝華

（1.中國電子科技集團公司第二十八研究所，江蘇南京210007；2.景德鎮陶瓷學院機電學院，江西景德鎮333403）

閉環系統辨識的模型結構檢驗

王建宏1，2，熊朝華1

（1.中國電子科技集團公司第二十八研究所，江蘇南京210007；2.景德鎮陶瓷學院機電學院，江西景德鎮333403）

對于閉環系統辨識的模型結構檢驗問題，在預測誤差辨識法的前提下，從參數估計的統計特性中推導出兩概率模型不確定性邊界及最優的輸入濾波器形式。概率邊界及輸入濾波器是基于參數估計的漸近正態分布的方差矩陣，該方差矩陣由采樣數據估計而得。根據未知參數的漸近方差矩陣內積形式從概率統計意義上構造模型參數及互相關函數的不確定性邊界，從優化的角度推導輸入濾波器的選取形式。最后用仿真算例驗證本文辨識方法的有效性。

閉環系統辨識；模型不確定；模型結構檢驗；輸入濾波器

對于閉環系統中控制器的設計可采用兩種策略，即基于模型的設計和基于數據驅動的直接設計。基于模型的首要前提是采用系統辨識的方法來建立閉環系統中被控對象的數學模型，以此數學模型作為下步控制器設計的模型基礎。而基于數據驅動的直接設計卻是繞開建模過程，直接采用閉環條件下得到的輸入輸出量來設計控制器。因目前采用最多的仍是基于模型的控制設計方法，故需對閉環系統的辨識展開大量的研究工作。對于閉環系統的辨識，目前的工作都集中在模型結構、參數辨識和試驗設計，而對于閉環系統的模型結構檢驗研究的甚少。常見的閉環系統模型結構、參數辨識方法主要可分為直接法、間接法和聯合輸入輸出法。直接法忽略反饋的存在，直接用被控對象的輸入輸出量來辨識模型；間接法則考慮反饋的作用，利用整個閉環系統的輸入輸出量來辨識模型；而聯合輸入輸出法可看作間接法的一種改進。關于閉環系統辨識策略的詳細研究可參考文獻［1］。文獻［2］在時域中對整個系統辨識領域的研究進行了具體介紹；文獻［3］在頻域中研究多種模型的辨識，針對頻域中的各個目標準則函數，提出采用優化算法求解未知參數值。文獻［4］提出一種新的虛擬閉環辨識法，通過構造兩個虛擬控制器來參數化系統模型，推廣了對偶-尤拉方法在閉環辨識中的使用。文獻［5］在預測誤差遞推辨識算法的基礎上，提出閉環辨識的投影算法，并分析該投影算法在何條件下可得到參數估計的漸近性和一致性。文獻［6］從工程應用實踐中分析當整個閉環系統具有多個輸入量時，是否可通過施加其中的部分輸入量來辨識閉環系統。文獻［7］從系統辨識的角度分析閉環系統辨識與閉環控制間的緊密聯系，使得閉環控制器的設計可轉化為某些參數的自適應辨識。文獻［8］利用線性矩陣不等式來描述閉環系統辨識的最優輸入信號設計問題。文獻［9］分析閉環系統辨識的最小代價問題，利用凸優化理論來求解此錐規劃問題。文獻［10］引入魯棒控制中的H∞范數來作為輸入信號設計時的準則函數，在H∞范數下衡量估計模型與標定模型間的不確定性。文獻［11］從參數估計的漸近性角度分析閉環系統輸入信號設計的選擇問題。文獻［12］分析閉環系統的可持續性激勵，分析在存在時延條件下怎樣得到持續激勵和充分豐富的激勵？文獻［13］考慮閉環辨識在自適應控制中的應用，分離出閉環辨識的偏差項和方差項。文獻［14］研究在有限采樣數據個數下，提出利用關于已知極點的正交核函數來替換傳統模型參數個數，可得到較為精確的近似方差矩陣式。

對閉環系統辨識的模型結構檢驗目前未有論文涉及，文獻［2］和［15］針對的是開環系統的模型結構檢驗問題，提出標準的互相關檢驗法，即檢驗預測誤差與輸入量間的互相關矩陣在統計概率意義下的置信估計區間，開環系統由其結構簡單性而極大地簡化了方差矩陣的推導。而在工程中，對于模型結構檢驗的有效策略是對原系統再次做相同試驗。對原系統施加一組新輸入量，比較其實際輸出量是否與辨識模型下的輸出量相一致？雖這種檢驗方法易于簡單直觀，但無法在定量上分析辨識模型的準確度及可信性。為從定量上體現辨識準確度，采用統計概率框架，推導閉環系統辨識中未知參數的方差矩陣，將其表示成內積形式，以此形式建立未知參數估計值的一個不確定性邊界即置信區間估計，從而形成閉環系統辨識中模型參數估計的置信區域檢驗。通過分析閉環系統輸出預測誤差與輸入間的互相關函數，將模型結構檢驗問題轉化為假設檢驗問題。構造關于互相關函數的一個概率分布，以保證原假設檢驗問題的非偽性。因任意的輸入信號都可改寫成一個白噪聲信號通過一個成形輸入濾波器而得到，為保證閉環系統輸出預測與實際輸出值間的接近程度，對于此輸入濾波器的選擇設計問題，采用一個優化問題的求解來設計輸入濾波器。因輸入濾波器從表示形式上就代表著輸入信號，而輸入信號在辨識過程中要選擇恰當，要能充分持續激勵原閉環系統被辨識出來，從而輸入濾波器的選擇是整個模型結構檢驗的首要步驟。

1 問題描述

考慮如下帶有輸出反饋的實際閉環系統：

圖1 閉環系統結構框圖Fig.1 The closed loop system structure

圖1中對象模型G0(q)和噪聲濾波器H0(q)均為線性時不變的傳遞函數，K(q)為穩定的線性時不變控制器，驅動信號r(t)和外界干擾e(t)為互不相關，e(t)為零均值的白噪聲，其方差為λ0。v(t)為白噪聲e(t)通過噪聲濾波器H0(q)后形成的有色噪聲。u(t)和y(t)分別為被控對象G0(q)的輸入輸出信號。將r(t)改寫為零均值、方差為1的白噪聲w(t)通過輸入濾波器R(q)而得到。R(q)為關于r(t)的穩定非最小相位的功率譜因子，q為時延算子，即存在qu(t)=u(t+1)。由于r(t)=R(q) w(t)，可得r(t)的功率譜密度為

上式表明任何輸入信號都可通過對一零均值的白噪聲w(t)施以濾波器R(q)而生成獲取。對于圖1所示的閉環系統結構框圖，可得其函數關系式為

進行簡單和類似的整理可得：

記敏感函數為

從而閉環系統的輸出量y()t可改寫為

2 模型參數的置信區域檢驗

在真實的閉環系統結構中引入未知參數，即（2）式對應的參數化形式為

式中：θ表示未知參數矢量，其分別存在于參數化的系統模型G(q,θ)和噪聲模型H(q,θ)之中。閉環系統辨識的目的在于：從一組給定的觀測數據集中辨識出未知參數矢量估計值θ?N，其中N表示觀測數據總個數。（3）式對應的一步前向預測輸出值為

計算一步前向預測誤差或殘差為

漸近極限參數估計值θ*定義為

其中：E表示取數學期望運算。

在通常的辨識求解過程中，均假設存在一個真實的參數矢量θ使得

上式表明辨識模型屬于所考慮的模型集中。在文獻［2］有：參數估計值θ?N的漸近方差矩陣式為

其中的φ定義為預測誤差的負梯度，即

因（7）式是系統辨識中漸近性分析的基本關系式。故聯合（3）式和（5）式可得

將（8）式代入到（5）式并進行關于未知參數矢量θ求偏導可得

利用e() t和w()t間的不相關性有

在（9）式中提出一個H(θ)出來后，（9）式可改寫為

（10）式中利用參數化的敏感函數

且存在如下的關系式成立

繼續將（10）式改寫成矩陣的形式為根據（7）式的漸近方差矩陣關系式可得

其中：G′() θ和H′() θ分別表示為

以（12）式作為檢驗基礎，漸近結果有

即參數估計值θ?N趨近于真實的參數值θ0，且參數估計誤差收斂于一個高斯隨機變量

其中：n為λ2分布中的自由度，此處可近似等于參數矢量中元素的個數。（13）式隱含著隨機矢量滿足如下的一個不確定性邊界

漸近結果可改寫為二次形式，得到λ2分布對應分布中的概率水平α，為表征θ0而不是θ?N的概率不確定性式，對于θ?N的每一個實現值成立

上式即意味著

（14）式給出閉環系統辨識中未知參數矢量估計的置信區間，即θ?N∈D() α,θ0的概率水平至少為α。

3 互相關函數的置信區域檢驗

輸入激勵信號w(t)在統計概率框架下與閉環系統輸出值預測誤差的互相關函數要滿足一定的概率水平，為此需要首先計算預測誤差的具體表達式。由（5）式可知

以參數估計值為前提的預測誤差為

（17）式中第1項A1(t,G0,H0,θ*)對應由估計模型G(θ*)的漸近偏差項誘導所導致的殘差信號部分；第2項表示由參數估計的方差項所導致的殘差信號部分；第3項對應觀測噪聲e(t)對估計精度的影響，并可表示估計噪聲模型H(θ?N)中的建模誤差。根據閉環系統結構框圖及殘差信號的表達式，閉環系統辨識的模型結構檢驗問題可轉化為如下的假設檢驗問題

在輸入信號持續激勵的條件下，該假設檢驗成立的條件為

在γ0成立的條件下，預測誤差ε(t,θ?N)可退化成如下僅含有兩項的殘差項

計算該殘差項與輸入間的采樣互相關函數為

n為可自由選擇的一個參數值，此處仍可選擇為參數矢量中元素的個數。定義如下的矢量：

將上式進行重新整理可得

利用假設條件中e(t)和w(t)之間是互不相關，且由（17）式可知上式可簡化為

由（20）式可見，預測誤差與輸入信號間的互相關函數滿足

對A4中括號內的差值使用泰勒級數展開可近似得

上式中的covG表示系統對象辨識G() θ?N的方差，其展開式為

根據上述漸近分析的應用可知：R?ε1w() 0以漸近N的形式收斂于一零均值的高斯分布。

即假設檢驗為非偽的條件是當下式成立

其中cλ() α,n表示帶有n個自由度的λ2分布的概率水平() 1-α，或有

（24）式或（26）式給出了閉環系統辨識中預測誤差與輸入信號間互相關函數的置信區間估計。

4 輸入濾波器的檢驗

為表征輸入濾波器R() q的具體形式，可聯立如下的真實系統輸出方程和對應的參數化輸出方程。

對上式的兩項分別利用泰勒級數近似展開可得

將兩個泰勒級數展開式代入至預測誤差中得

利用巴塞伐爾定理有

為了計算上式中的各個方差矩陣，對（12）式展開并進行復雜的推導整理可得

其中的逆矩陣求解為

在求解逆矩陣過程中使用到了如下的恒等式

從而得到如下的方差式

將（32）式代入（30）式并進行初等數學運算整理可得

又因為被控對象的輸入量u(t)為

由上式可得輸入量u(t)的功率譜密度為

對于輸入濾波器R的選擇可求解如下的優化問題

優化問題中L為一個任意自由選擇的正常數，其用來限制實際應用時關于所用輸入信號的功率譜大小。對于優化問題（35）式的具體求解過程可參考文獻［16］，此處僅給出最后的求解結果。即該優化問題中優化變量R2的選擇應滿足：

其中的常量μ應滿足如下的等式成立

（36）式和（37）式共同構成閉環系統辨識中關于輸入濾波器的選擇，從而也就構成外部輸入激勵信號r(t)和u(t)的功率譜形式，此即為模型結構檢驗過程中對于輸入信號的設計要求。

5 仿真算例

為了驗證上述閉環系統的模型檢驗策略，考慮如下的仿真系統。

其中的各個量依次為

此時噪聲模型為1，其表明作用于閉環系統的外部干擾退化為最為簡單的白噪聲干擾，反饋取為單位正反饋。干擾e（t）為零均值的白噪聲，且其方差值為λ0，輸入w（t）為零均值、方差為1的白噪聲激勵信號。為了便于分析驗證模型參數和互相關函數的置信區域，令輸入濾波器R（q）=1，即此時僅白噪聲激勵信號w（t）作用于整個閉環系統。選取N=500的觀測數據對，對該閉環系統采用直接法來辨識模型G0（q）中的9個未知參數值。9個模型參數辨識的好壞直接作用于閉環系統的輸出響應。因此可用原閉環系統的輸出響應來衡量辨識精度或模型參數辨識的可信度。

圖2表示在辨識模型參數的基礎上，整個閉環系統的輸出頻率響應曲線。圖2中紅色曲線為真實閉環系統對應Bode plot振幅曲線，紅色曲線上下方相鄰曲線為當辨識模型參數在不確定性邊界（14）式中取值時對應的99%置信Bode plot振幅曲線。由圖2可見，3條曲線非常接近，其表明紅色振幅曲線恰好夾在兩99%置信Bode plot振幅曲線之間。因在利用Matlab仿真出閉環系統的Bode plot輸出響應時，相位圖是與振幅圖是同時產生的。因此對于圖3的解釋與圖2是相似的，同樣可說明紅色相位曲線恰好夾在兩99%置信Bode plot相位曲線之間。

在Matlab系統辨識仿真工具箱中，對殘差和輸入計算互相關檢驗。圖4給出殘差和輸入間的采樣互相關函數，由圖4可見藍色曲線代表的采樣互相關函數在零點處以小偏差的形式來回，隨著時間的推移，采樣互相關函數也逐漸趨于零值。此即表明殘差和輸入間的采樣互相關函數在開始時刻存在較小的變化，慢慢地向零值靠攏，殘差和輸入將會成為不相關的關系。圖4中的兩紅色直線表示殘差和輸入采樣互相關函數的上下界，該采樣互相關函數夾在這兩紅色直線構成的置信區間中。

圖2 Bode plot中振幅的置信區間Fig.2 The confidence interval of the amplitude in Bode plot

圖3 Bode plot中相位的置信區間Fig.3 The confidence interval of the phase in Bode plot

圖4 標準互相關檢驗的置信區間Fig.4 The confidence interval of the standard cross correlation test

6 結語

從模型參數的置信區域、互相關函數的置信區域和輸入濾波器的選擇三方面來分析閉環系統辨識的模型結構檢驗問題。根據未知參數的漸近方差矩陣內積形式從概率統計意義上構造模型參數及互相關函數的不確定性邊界，從優化的角度推導輸入濾波器以及輸入激勵信號的選取形式。

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Model Structure Validity in Closed Loop System Identification

Wang Jianhong1,2,Xiong Zhaohua1
(1.The 28th Research Institute of China Electronics Technology Group Corporation,Nanjing 210007,China; 2.School of Mechanical and Electronic Engineering,Jingdezhen Ceramic Institute,Jingdezhen 333403,China)

Aiming at the problem of themodel structure validity in closed loop system identification,this paper de?rives two probabilisticmodel uncertainties and optimum input filter from statistical properties of the parameter esti?mation with the prediction error identificationmethod.The probabilistic bounds and optimum input filter are based on an asymptotic normal distribution of the parameter estimator,accompanied by a covariancematrix,which has to be estimated from sampled data.The uncertainties bounds about themodel parameter and cross-correlation function are constructed in the probability sense by using the inner product form of the asymptotic covariancema?trix.And the input filter is derived from the point of optimization.Finally the simulation results verify the effective?ness of the proposed identificationmethod.

closed loop system identification;model uncertainty;model structure validity;input filter

TP273

A

2014-05-13

江西省教育廳科學基金項目（GJJ13638）

王建宏（1980—），男，副教授，博士后，主要研究方向為系統辨識與凸優化。

1005-0523（2014）04-0044-10