基于隨機優(yōu)勢關系的區(qū)間值信息系統(tǒng)

段晶晶，魏立力

寧夏大學數(shù)學計算機學院，銀川 750021

基于隨機優(yōu)勢關系的區(qū)間值信息系統(tǒng)

段晶晶，魏立力

寧夏大學數(shù)學計算機學院，銀川 750021

1 引言

粗糙集理論是波蘭數(shù)學家Pawlak Z.于1982年提出的一種數(shù)據(jù)表達和分析的數(shù)學工具[1]，粗糙集理論的主要思想是利用已知的知識庫，將不精確或不確定的知識用已知的知識庫中的知識來（近似）刻畫。該理論與其他處理不確定和不精確問題理論的最顯著的區(qū)別是它無需提供問題所需處理的數(shù)據(jù)集合之外的任何先驗信息，所以對問題的不確定性的描述或處理可以說是比較客觀的，由于這個理論未能包含處理不精確或不確定原始數(shù)據(jù)的機制，所以這個理論與概率論，模糊數(shù)學和證據(jù)理論等其他處理不確定或不精確問題的理論有很強的互補性[2-5]。

經(jīng)典粗糙集理論只針對屬性值已知并且單一的情況，即完備的信息系統(tǒng)。然而在現(xiàn)實生活中存在大量屬性值未知、缺失、模糊、不精確、不惟一的情形。因此，現(xiàn)有大量文獻對這些問題進行深入討論，提出了不完備信息系統(tǒng)[6]（文獻[6]中利用數(shù)據(jù)補充的方法把不完備區(qū)間值信息系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為完備的區(qū)間值信息系統(tǒng)，即區(qū)間端點的缺失值用對應屬性的所有屬性值的最小下界或最大上界來代替），區(qū)間值信息系統(tǒng)[6-8]（文獻[7]在區(qū)間值信息系統(tǒng)中定義了可能概率，并在可能概率的基礎上定義了α-優(yōu)勢關系，給出了基于α-優(yōu)勢關系的擴充粗糙集模型；文獻[8]用新的方法定義了α-優(yōu)勢關系，采用相對熵最優(yōu)賦權準則建立了α-優(yōu)勢關系的概率粗糙模型），集值信息系統(tǒng)[9]（文獻[9]提出了析取集值有序信息系統(tǒng)和合取集值有序信息系統(tǒng)，并給出了這兩種信息系統(tǒng)的屬性約簡方法）等粗糙集的擴充模型。其次，考慮到信息偏好有序，最早由Greco等人于1998年提出了基于優(yōu)勢關系的粗糙集方法（DRSA）[10]。利用優(yōu)勢關系建立序信息系統(tǒng)有助于處理連續(xù)屬性和偏序關系的問題。相對于經(jīng)典粗糙集理論的基本概念，優(yōu)勢關系替代了不可辨識關系，推動了粗糙集理論的發(fā)展，構成了不同的優(yōu)勢關系概念，并形成了一些應用研究[6-11]。

然而利用優(yōu)勢關系對屬性域進行排序的結果以一定概率成立，得到的決策規(guī)則也以一定的概率成立。所以有序信息系統(tǒng)缺少屬性值區(qū)間上的概率分布信息。概率信息的丟失將導致建立對象之間的優(yōu)勢關系不符合實際情況，所以要建立一種體現(xiàn)屬性值區(qū)間上的概率分布信息的信息系統(tǒng)。由于隨機優(yōu)勢關系是定義在分布函數(shù)上的一種特殊的優(yōu)勢關系，因此利用隨機優(yōu)勢關系來研究有序信息系統(tǒng)將是以后研究的趨勢。例如文獻[11]中就分析了區(qū)間值有序信息系統(tǒng)沒有蘊含屬性值區(qū)間上的概率分布信息的缺點，建立了一種基于概率的有序信息系統(tǒng)；文獻[12]定義了隨機意義下的極小極大損失，給出決策的隨機優(yōu)勢粗糙集模型；文獻[13]利用近似隨機優(yōu)勢準則，提出了近似隨機優(yōu)勢度，并對方案排序；文獻[14]提出了隨機優(yōu)勢指標的概念，并對其合理性和優(yōu)越性作了論證。

2 隨機優(yōu)勢關系

定義1[15]（隨機小于）令X和Y分別是兩個隨機變量，滿足：稱X隨機小于Y，記作X?SY。

顯然上式等價于：

隨機優(yōu)勢關系實際上就是定義在概率分布集合上的一個二元關系。

下面先介紹如何在區(qū)間值有序信息系統(tǒng)中引入對應屬性的概率分布。

例1表1是高三某班部分同學月考估分情況。

表1 月考估分情況

由例1可以看出：

所以，a同學的語文月考成績要隨機優(yōu)于b。顯然，不通過計算也可看出a同學的語文成績要比b好。

為了敘述簡便，以下提到的區(qū)間值信息系統(tǒng)均指區(qū)間值有序信息系統(tǒng)。

顯然，當aL(x)=aU(x)時，f(x，a)退化成單值形式。可見，單值信息系統(tǒng)是區(qū)間值信息系統(tǒng)的一種特殊形式。

定義3[11]（區(qū)間值有序信息系統(tǒng)）給定區(qū)間值信息系統(tǒng)S=(U，A，V，f)，若區(qū)間值信息系統(tǒng)S中所有的條件屬性都是偏好有序的（即屬性值之間存在優(yōu)劣關系），則稱區(qū)間值信息系統(tǒng)S為有序信息系統(tǒng)。

定義4（區(qū)間值有序信息系統(tǒng)的分布函數(shù)）給定區(qū)間值有序信息系統(tǒng)S=(U，A，V，f)，對?a∈A，令Ma= maxi{aU(xi)}，ma=mini{aL(xi)}，則稱對象xi在屬性a下取值的概率為：

定理2（隨機優(yōu)勢的判定定理1）給定區(qū)間值信息系統(tǒng)(U,A,V，f)，若aL(xi)≤aL(xj)＜aU(xi)≤aU(xj)(xi，xj∈U，i≠j，a∈A)，則對象xj在屬性a下隨機優(yōu)于對象xi。

證明由式（3）可以得到：

定理3（隨機優(yōu)勢的判定定理2）給定區(qū)間值信息系統(tǒng)(U，A，V，f)，若aU(xi)≤aL(xj)(xi，xj∈U，i≠j，a∈A)，則對象xj在屬性a下隨機優(yōu)于對象xi。

證明同定理2。

3 基于Lévy距離的α-隨機優(yōu)勢

文獻[8]通過對區(qū)間值信息系統(tǒng)進行假設，定義了普通優(yōu)勢關系下各屬性對象之間的概率，建立了α-優(yōu)勢關系的概率粗糙模型。本章將利用分布函數(shù)這一基本工具，對區(qū)間值信息系統(tǒng)進行深入研究，建立α-隨機優(yōu)勢關系。

在介紹α-隨機優(yōu)勢關系的概念之前，先了解一下Lévy距離的概念。

定義6[16]（Lévy距離）設D={F|F是一維分布函數(shù)}，對?F，G∈D定義：

L(F，G)=inf{ε＞0|F(x-ε)-ε≤G(x)≤F(x+ε)+ε}則L是D上的距離，稱為Lévy距離。

定理4[16]（Lévy距離的幾何意義）分布函數(shù)列G(x)，F(xiàn)(x)之間的最大Lévy距離是2L(F，G)，它的測量沿x軸135°方向。如圖1。

圖1 Lévy距離的幾何表示圖

定義7（α-隨機優(yōu)勢）給定區(qū)間值信息系統(tǒng)(U，A，V，f)以及屬性子集B，L(Fa，Ga)是屬性a下對象x和y分別對應的分布函數(shù)之間的Lévy距離，α是閾值，稱為區(qū)間值信息系統(tǒng)的α-隨機優(yōu)勢。稱

為α-隨機優(yōu)勢類。

由α-隨機優(yōu)勢關系的定義可以看到，α不僅屬于[0，1]這個范圍，它還可能比1大。此時的α衡量了兩個一維分布函數(shù)之間的Lévy距離程度。α越小，兩個分布函數(shù)越接近，表明對象y隨機優(yōu)于對象x的程度越小；α越大，兩個分布函數(shù)之間的Lévy距離越大，對象y越是隨機優(yōu)于對象x，作為決策，選擇y的可能性就越大。

定理5（α-隨機優(yōu)勢關系的性質(zhì)）給定區(qū)間值信息系統(tǒng)(U，A，V，f)，B?A，L(Fa，Ga)是對象x和y之間的Lévy距離，則

證明（1）～（4）由定義可證，證明略。（5）證明過程類似于定理1（5），略。

利用定理4計算例1的Lévy距離如表2。從表2中可以看到，用隨機優(yōu)勢關系得到元素之間的優(yōu)劣性，再用Lévy距離衡量元素之間的優(yōu)勢度就不再具有明顯的優(yōu)勢關系了。比如，f在數(shù)學學科中隨機優(yōu)于g，但利用Lévy距離計算的結果就不再具有隨機優(yōu)勢關系了，隨機優(yōu)勢度為0。

表2 例1的Lévy距離

4 不完備區(qū)間值信息系統(tǒng)

如果區(qū)間值信息系統(tǒng)里的屬性值有未知值時，這樣的區(qū)間值信息系統(tǒng)就是不完備區(qū)間值信息系統(tǒng)。不完備區(qū)間值信息系統(tǒng)有三種情形：已知上界，未知下界；已知下界，未知上界；上下界都是未知值。下面就來舉例說明不完備區(qū)間值信息系統(tǒng)。

例2對于學生成績，有下面不完備區(qū)間值信息系統(tǒng)，如表3。

表3 不完備信息系統(tǒng)

例2中“*”表示屬性取值的上界或下界未知。在這里未知值是存在的，只不過屬性取值的上界或下界缺失。處理這種不完備區(qū)間值信息系統(tǒng)的常見方法是把這些未知值補充完整，轉(zhuǎn)化成完備區(qū)間值信息系統(tǒng)。這種數(shù)據(jù)補充的常用方法是求區(qū)間端點的平均值。

定義8（區(qū)間端點的平均值法）給定不完備區(qū)間值信息系統(tǒng)(U，A，V，f)，則填充的不完備區(qū)間值信息系統(tǒng)的屬性值記為：

其中||aL(U)||，||aU(U)||分別表示屬性a下U中屬性值不等于*的對象個數(shù)。稱這種數(shù)據(jù)補充的方法為求區(qū)間端點的平均值法。

表4是經(jīng)過補充的信息系統(tǒng)。

表4 填充的不完備信息系統(tǒng)

表5是例2得出的Lévy距離，得到的隨機優(yōu)勢類為：

利用Lévy距離的概念得到的區(qū)間值信息系統(tǒng)的隨機優(yōu)勢類，在整體上反映了對象之間的優(yōu)劣關系，比對象間點態(tài)的優(yōu)劣比較更具客觀性。

當α=5.6時，α-隨機優(yōu)勢類為：

表5 例2的Lévy距離

與上面的隨機優(yōu)勢類相比較，這里的α-隨機優(yōu)勢類是隨機優(yōu)勢類的子集，給出了閾值為5.6時的隨機優(yōu)勢類。當決策者需要篩選出優(yōu)勢程度不同的對象時，可以調(diào)整優(yōu)勢類的閾值，這樣可以根據(jù)對象間的Lévy距離很容易得到結果。

當α=6.2時，α-隨機優(yōu)勢類為：

5 結束語

在已有的文獻中主要研究了各種基于優(yōu)勢關系的信息系統(tǒng)，沒有考慮信息系統(tǒng)本身的概率分布情況。本文討論了基于隨機優(yōu)勢關系的區(qū)間值信息系統(tǒng)。首先，在區(qū)間值信息系統(tǒng)中引入了分布函數(shù)，繼而應用隨機優(yōu)勢關系的概念，提出了基于隨機優(yōu)勢關系的區(qū)間值信息系統(tǒng)。由于在分布函數(shù)組成的集合中，最為常用的度量之一是Lévy距離，因此，文章在Lévy距離的基礎上構造了α-隨機優(yōu)勢。最后通過實例進行計算，說明了本文方法的有效性。

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DUAN Jingjing,WEI Lili

School of Mathematics and Computer Science,Ningxia University,Yinchuan 750021,China

The distribution function is introduced to interval-valued information systems.And the stochastic dominancebased interval-valued information system is proposed.Theα-stochastic dominance relation is constructed in inter-valued information system.Theα-stochastic dominance relation is calculated by the Lévy distance and some numerical examples are shown for the efficiency of the method.

stochastic dominance;interval-valued information system;rough set

在區(qū)間值信息系統(tǒng)中引入了分布函數(shù)，得到了基于隨機優(yōu)勢關系的區(qū)間值信息系統(tǒng)，構造了區(qū)間值信息系統(tǒng)的α-隨機優(yōu)勢關系。利用Lévy距離，對α-隨機優(yōu)勢關系進行了計算，實例說明了方法的有效性。

隨機優(yōu)勢；區(qū)間值信息系統(tǒng)；粗糙集

A

TP18

10.3778/j.issn.1002-8331.1209-0322

DUAN Jingjing,WEI Lili.Stochastic dominance-based interval-valued information systems.Computer Engineering and Applications,2014,50（18）：85-88.

國家自然科學基金（No.11261044）；寧夏高等學校科學技術研究項目。

段晶晶（1987—），女，碩士生，主要研究領域為統(tǒng)計學、人工智能；魏立力（1965—），男，通訊作者，教授，主要研究領域為應用統(tǒng)計與數(shù)據(jù)分析、人工智能的數(shù)學基礎。E-mail：weill866@163.com

2012-09-27

2013-01-18

1002-8331（2014）18-0085-04

CNKI網(wǎng)絡優(yōu)先出版：2013-02-07，http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20130207.1420.013.html

◎網(wǎng)絡、通信、安全◎