一類活化基質(zhì)模型非常數(shù)正平衡解的全局結(jié)構(gòu)

魏美華，常金勇，馬崛

1.榆林學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，陜西榆林 719000

2.中國科學院信息工程研究所，北京 100093

一類活化基質(zhì)模型非常數(shù)正平衡解的全局結(jié)構(gòu)

魏美華1，常金勇2，馬崛1

1.榆林學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，陜西榆林 719000

2.中國科學院信息工程研究所，北京 100093

1 引言

對于該活化基質(zhì)模型的研究工作主要集中在從常微分方程角度討論極限環(huán)的存在性和唯一性[8-10]。關(guān)于已有常微分方程結(jié)果，文獻[8-9]運用數(shù)值和實驗方法說明了極限環(huán)的存在性，我國陳蘭蓀先生[10]運用常微分方程理論數(shù)學上嚴格地證明了極限環(huán)的存在性和唯一性。考慮到反應物分子擴散的情況，這涉及到偏微分方程。而關(guān)于已有的偏微分方程結(jié)果，文獻[11]討論了常數(shù)平衡解的存在性和穩(wěn)定性，而運用拓撲度理論和解的先驗估計研究了非常數(shù)平衡解的存在性和不存在性[12]。

在此基礎(chǔ)上，本文在一維空間下運用分歧理論和度理論研究該模型非常數(shù)平衡解的局部和全局結(jié)構(gòu)，運用數(shù)值模擬給予解釋和驗證，并闡明該模型具有活化基質(zhì)模型所具有的本質(zhì)特征。所得理論分析結(jié)果推廣了文獻[13]。

2 預備知識

引理2表明若d1比較小或d2比較大時，方程（1）沒有非常數(shù)正解。

假設(shè)條件：

成立。它是該糖酵解模型為活化基質(zhì)模型以及常數(shù)平衡解無擴散穩(wěn)定的充分條件。

3 局部分歧

本章在一維空間Ω=(0，l)，l＞0下，以d1作為分歧參數(shù)運用分歧理論分析式（1）的非常數(shù)平衡解的局部結(jié)構(gòu)。

在一維情況下，系統(tǒng)式（1）的平衡解相應于系統(tǒng)：的特征值λj=(πj/l)2，j=0，1，…，相應的正規(guī)化的特征函數(shù)為：

則{φj(x):j=0，1，…}構(gòu)成L2(0，l)的一組標準正交基。設(shè)Hilbert空間Y=L2(0，l)×L2(0，l)的內(nèi)積為：

考慮L的伴隨算子：

4 全局分歧

圖1 模型式（1）的非常數(shù)平衡解

設(shè)Uˉ是系統(tǒng)式（6）的解，則可利用反射和周期延拓構(gòu)造系統(tǒng)式（3）的解：

易知(，(0，0))是系統(tǒng)式（6）的分歧點。同理可證系統(tǒng)式（6）的分歧曲線要么延伸到無窮，要么連接((0，0))，k′＞k。若第二種情況發(fā)生，則與k的定義矛盾，所以Γˉk延伸到無窮。綜上可知，Γj延伸到無窮。而由引理1知u是有界的，因此Γj隨延向無窮。

注2定理2說明Γj不會最終連接到某個分歧點，但是有可能Γj連接某個分歧點并最終延向無窮。

注3圖1刻畫了非常數(shù)平衡解的存在性，證實了定理1和定理2。圖2體現(xiàn)了活化基質(zhì)模型的本質(zhì)特征，即活化劑越多則基質(zhì)越少，這是因為活化劑越多會導致基質(zhì)的消耗越多。

5 結(jié)束語

圖2 基質(zhì)u和活化劑v的對比

基于已有的工作，參見文獻[12]，為了進一步討論帶Neumann邊界條件的活化基質(zhì)模型（即糖酵解模型）正平衡解的存在性，本文在一維空間上以擴散系數(shù)d1為分歧參數(shù)，運用局部和全局分歧理論以及度理論研究了該模型常數(shù)平衡解產(chǎn)生的局部分歧解結(jié)構(gòu)和全局分歧解走向，并利用數(shù)值模擬得以驗證，所得結(jié)果證實了圖靈模式的形成。

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WEI Meihua1,CHANG Jinyong2,MA Jue1

1.School of Mathematics and Statistics,Yulin University,Yulin,Shaanxi 719000,China
2.Institute of Information Engineering,Chinese Academy of Sciences,Beijing 100093,China

An activator-substrate system under Neumann boundary condition is considered in one-dimensional space.Taking the diffusion coefficientd1as bifurcation parameter,the local and global bifurcation of constant steady-state solution are studied by bifurcation theory and degree theory.Moreover,the theoretical results are confirmed by numerical simulations, and also continue the previous work.It is shown that the nonconstant steady-state branches join up with infinity.

activator-substrate model;bifurcation;steady-state solutions;global structure

在一維空間上，研究一類帶Neumann邊界條件的活化基質(zhì)模型。以擴散系數(shù)d1為分歧參數(shù)，運用分歧理論和度理論研究該模型常數(shù)平衡解的局部分歧和全局分歧，利用數(shù)值模擬得以證實。理論結(jié)果表明非常數(shù)平衡解分支延伸向無窮，這是已有工作的繼續(xù)。

活化基質(zhì)模型；分歧；平衡解；全局結(jié)構(gòu)

A

O175.26

10.3778/j.issn.1002-8331.1402-0295

WEI Meihua,CHANG Jinyong,MA Jue.Global structure of nonconstant steady-state solutions for activator-substrate system.Computer Engineering and Applications,2014,50（18）：50-53.

國家自然科學基金（No.11271236）；陜西省教育廳科研計劃資助項目（No.14JK1862）；榆林學院博士科研啟動基金項目（No.13GK04）。

魏美華（1981—），女，博士，講師，主要研究方向為偏微分方程及其可視化；常金勇（1982—），男，博士生，講師；馬崛（1981—），女，講師。

2014-02-26

2014-05-30

1002-8331（2014）18-0050-04

CNKI網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版：2014-07-25，http://www.cnki.net/kcms/detail/10.3778/j.issn.1002-8331.1402-0295.html