一類非線性薛定諤方程組無窮多解的存在性

董靜,魏公明

(上海理工大學理學院,上海200093)

一類非線性薛定諤方程組無窮多解的存在性

董靜,魏公明

(上海理工大學理學院,上海200093)

討論了一類非線性薛定諤方程組無窮多解的存在性.在假設的V(x),b(x),f(x)條件下,通過減弱噴泉定理的條件,運用變形的噴泉定理,證明了相關方程組的無窮多解的存在性.較擾動方法更加簡捷.

薛定諤方程組;無窮多解;變形的噴泉定理

1 引言

主要考慮如下薛定諤方程組:

無窮多解的存在性.對于此類具有物理背景的方程組,受到了許多國內外學者的關注和研究,其中不乏許多已經得到的新的結果.當b(x)=1時,在文獻[1]中作者證明了無窮多解的存在性:當V≡1,f(x,u)=|u|p?1u,1

在方程組(1)中,假設可能的V(x),b(x)和非線性項f(x)滿足以下條件:

(V1)V∈C(R3,R),infx∈R3V(x)≥a1>0(a1是正常數),對任意的M>0,有

(f1)|b(x)(|0即b(x)是大于0的有界函數;

(f2)f∈R3×R,存在a2>0,p∈(2,2?),|f(x,u)|≤a2(1+|u|p?1),x∈R3,u∈R,其中2?是在維數為3的sobolev空間的一個臨界指數,且f(x,u)u≥0,u≥0;

(f5)對任意∈R3,G(x,s)≤G(x,t),?(s,t)∈R+×R+,s≤t,定義:其中

定理1.1若(V1)成立,且f滿足(f1)-(f6),則(1)式有無窮多個解{(uk,?k)},使得I(uk)→∞,即

2 相關定理與引理

2.1 一些符號說明

Ls(R3)是Lebesgue空間,

H1(R3)是Sobolev空間,

D1,2(R3)={u∈L6(R3)? ??u∈L2(R3)},其范數為

C:正常數;

V(x)是有下界,對任意的s∈[2,2?],E嵌入到Ls(R3)且是連續的;

對任意的u∈H1(R3),都存在唯一的?u(x)∈D1,2(R3),有??u(x)=b(x)u2,?u的積分表達式為:

由此,可定義I:E→R

2.2 變形的噴泉定理

其中ρk>rk>0.考慮C1?λ函數:E→R,定義:?λ(u)=A(u)?λB(u),λ∈[1,2].

假設如下:

(F1)λ∈[1,2]時,?λ映射是有界集映射到一致有界集,?λ(?u)=?λ(u),對所有的(λ,u)∈[1,2]×E均成立,

(F2)對所有的u∈E,都有B(u)≥0,當∥u∥→∞時,A(u)→∞或B(u)→∞.令對k≥2時,有

定理2.2.1[12]假設滿足條件(F1)和(F2).如果對所有的λ∈[1,2],bk(λ)>ak(λ),那么ck(λ)≥bk(λ)(λ∈[1,2]),而且對任意的λ∈[1,2],存在一個序列有

定理2.2.2[12]如果C1函數E→R,定義:?λ(u)=A(u)?λB(u),λ∈[1,2]滿足

(T1)?λ映射是λ∈[1,2]的有界集映射到一致有界集,同時?λ(?u)=?λ(u),對所有的(λ,u)∈[1,2]×E均成立,

(T2)B(u)≥0,當∥u∥→∞時,B(u)→∞在任意有限維的子空間E中均成立,

(T3)存在ρk>rk>0,存在:

則存在λn→1,u(λn)∈Yn,有

特別地,如果u(λn)對任意的k有一個收斂的子列,則?1有無窮個非平凡臨界點{uk}∈E{0}且滿足?1(uk)→0?(k→∞).

如果取E中的正交基{ej},令Xj=Rej,定義則可定義Iλ:E→R,

對所有的u∈E,B(u)≥0.當∥u∥E→∞時,

由文獻[1]知Iλ在λ∈[1,2]上是有界集映射到一致有界集.

2.3 引理

引理2.3.1[1,13]在假設的(V1)條件下,E嵌入到Ls(R3),2

引理2.3.2假設(f1)-(f4)成立,則存在ρk>rk>0,使得

證明(i)由(f4)知,對任意的M>0,都存在一個δ>0,使得對所有x∈R3,|u|≥δ有

由(f2)知,存在M1(M1與δ,M有關),對任意x∈R3,α≤|u|≤δ,

通過(3),(4)式,當x∈R3,0≤|u|≤δ時,

而對于u∈Yk,由(f1)知|b(x)|

(ii)由文獻[1]中的引理3.2可知,Cε>0,存在Cε>0,使得x∈R3,u∈R時, F(x,u)≤ε|u|2+Cε|u|p.令

當k→∞時,βk→0(由文獻[15-16]可證)由此當u∈Zk,ε>0且充分小時,結合(V1)有

因此,定理2.2.1,定理2.2.2條件滿足,故對任意的λ∈[1,2],存在序列有

故λn→1,λn∈[1,2]時,可以找到一個序列uk(λn)(為簡單起見用un代替),并且此序列滿足

引理2.3.3在定理1.1的假設條件下,序列{un}是有界的.

證明利用反證的方法進行證明

假設∥un∥E→∞,令由于E嵌入到Lt(R3),2≤t<2?,因此在E中,wn弱收斂于w,在中,當2≤t<2?時,wn強收斂于w;對任意的x∈R3,wn(x)強收斂于w(x).

情況1當E中w/=0,由[1]知則

通過整理變形得:

另一方面,在?={x∈R3|w(x)/=0}

而由文獻[1]知,當|?|>0時

與(7)式矛盾.

情況2在E中W=0,如同文獻[1,10]中,可定義對任意的M>0,令

因此,由文獻[1]知,對任意x∈R3,u∈R,F(x,u)≤ε|u|2+Cε|u|p,有

令n→∞時,

由于b(x)是有界的且大于0的函數,則Iλn(tnun)≥M,故

由(f5)及文獻[1]可得

與(8)式矛盾,故命題得證.

3 定理的證明

結合引理2.3.1,引理2.3.2,引理2.3.3和定理2.2.1,定理2.2.2及文獻[1]可知,在E中,當n→∞時,un→uk,

而

而當I∈C′(E)時,在E?中I′(un)→I′(uk),故可得?v∈E,都有

從而〈I′(uk),v〉=0,故對任意的v∈E,在E?中都有I′(uk)=0.由(9)式以及→+∞知是泛函I的臨界點的無界序列.故命題得證.

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Existence of in fi nitely many solutions for the nonlinear Schrdinger system

Dong Jing,Wei Gongming
(Science School,University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai200093,China)

In this paper,the existence of in fi nitely many solutions for the nonlinear schr¨odinger system is discussed.Under the certain assumptions on V(x),b(x),f(x)the existence of the in fi nitely many solutions for the correlation equations is proved by weakening the fountain theorem conditions and using the variant fountain theorem.It is simpler than the perturbation method.

Schr¨odinger system,in fi nitely many solutions,variant fountain theorem

O178

A

1008-5513(2014)03-0299-08

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.03.012

2014-05-08.

董靜(1988-),碩士生,研究方向：偏微分方程.

2010 MSC:35A15,35A01,35Q40,35Q55,35J50