關(guān)于SOL流形具有常平均曲率旋轉(zhuǎn)曲面的注記

馬紅娟,鄭喜英,初元紅

(黃河科技學(xué)院信息工程學(xué)院,河南鄭州450063)

關(guān)于SOL流形具有常平均曲率旋轉(zhuǎn)曲面的注記

馬紅娟,鄭喜英,初元紅

(黃河科技學(xué)院信息工程學(xué)院,河南鄭州450063)

研究非歐流形SOL空間上共形平均曲率方程的可解性,通過研究輪廓曲線對(duì)具有平均曲率的旋轉(zhuǎn)曲面進(jìn)行分類.當(dāng)這些旋轉(zhuǎn)曲面的平均曲率為給定函數(shù)時(shí),計(jì)算出相應(yīng)輪廓曲線的微分方程.通過求解這些微分方程,給出旋轉(zhuǎn)函數(shù)是其上共形平均曲率的充分條件.

SOL流形;旋轉(zhuǎn)曲面;平均曲率;共形度量

1 引言及預(yù)備知識(shí)

隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展,非歐幾何學(xué)已成為一門重要的數(shù)學(xué)分支.在非歐流形中,Thurston幾何SOL流形是研究廣泛的一類空間.因?yàn)樗c三維Euclidean流形有很多相似之處,數(shù)學(xué)工作者們做了大量的研究工作[1-3].Kenmotsu分別討論了三維Euclidean流形中的常平均曲率的曲面及三維Euclidean空間中的給定平均曲率的旋轉(zhuǎn)曲面[4].但是在非歐流形Thurston幾何SOL流形中還沒有討論過給定平均曲率函數(shù)的旋轉(zhuǎn)曲面,本文在SOL流形中討論共形平均曲率的旋轉(zhuǎn)曲面.

定理1.1非歐SOL流形中緊致光滑曲面,存在著與共形度量對(duì)應(yīng)的常平均曲率旋轉(zhuǎn)曲面.

非歐SOL流形是Thurston的八個(gè)幾何體之一,對(duì)R3賦予度量

正交基為:

Levi-Civita聯(lián)絡(luò)和李括號(hào)為:

黎曼曲率算子:

黎曼張量:

黎曼曲率:

2 結(jié)構(gòu)方程

在R3中考慮柱面坐標(biāo)(x,ρ,θ),對(duì)應(yīng)笛卡爾坐標(biāo)(x,y=ρcosθ,z=ρsinθ)(見文獻(xiàn)[5]),考慮浸入:

旋轉(zhuǎn)曲面:

其中r(x)≥0,?x∈[x1,x2],r(x1)=0=r(x2).歐式度量矩陣為:

事實(shí)上:

考慮共形度量:

新的矩陣為:

取單位向量:

因此,

單位正交標(biāo)架:

法向量:

3 Christofffel符號(hào)

設(shè)x=x1,ρ=x2,θ=x3,利用公式(見文獻(xiàn)[6]),其中

當(dāng)m=1時(shí),

當(dāng)m=2時(shí),

當(dāng)m=3時(shí),

4 平均曲率

在R3中存在緊致不變光滑曲面S有平均曲率對(duì)應(yīng)于ε的共形度量g(見文獻(xiàn)[7]),

其中?是Levi-Civita聯(lián)絡(luò),記

其中

代入(5)式中,有

同理

于是得到

在R3中存在緊致不變光滑曲面S有常平均曲率對(duì)應(yīng)于g的共形度量[8-9],

為方便記,引入變量t=ρ?r(x),使得當(dāng)t=0時(shí)曲線ρ=r(x),在新坐標(biāo)(,t)=(x,ρ?r(x)),有

整理得

有f(?x,0)=0,f?x=0,f=0,代入得

其中Hε是歐式空間光滑曲面S對(duì)應(yīng)于度量ε的平均曲率.

5 討論

(2)設(shè)S=S(R)為半徑為R的球,則

因此

綜上可得S(R)在(R3,g)有對(duì)應(yīng)的共形度量g=ef(x,ρ)ε.

6 結(jié)論

非歐流形SOL空間中具有常平均曲率的旋轉(zhuǎn)曲面的分類定理:SOL流形中具有常平均曲率的緊致光滑的旋轉(zhuǎn)曲面,存在著共形平坦的黎曼度量.

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A note on revolution surfaces with constant curvature in SOL manifold

Ma Hongjuan,Zheng Xiying,Chu Yuanhong
(Institute of Information Engineering of Huanghe Science and Technology College,Zhengzhou 450063,China)

The conformal mean curvature equation in SOL manifold is studied.According to the characteristics of the conformal metric,the revolution surfaces in SOL manifold are obtained through a pro fi le curve revolving respectively.Assuming that the mean curvatures of these revolution surfaces are certain functions,the corresponding di ff erential equations about the pro fi le curves can be obtained.By solving these di ff erential equations, the sufficiant condition of the revolution function with conformal mean curvature is achieved.

SOL manifold,revolution surface,mean curvature,conformal metric

O186

A

1008-5513(2014)05-0474-06

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.05.006

2014-04-024.

國(guó)家自然科學(xué)基金(61304175);河南省教育廳科技攻關(guān)項(xiàng)目(14B110024);河南省科技局重點(diǎn)項(xiàng)目(20141374).

馬紅娟(1979-),碩士,講師,研究方向:微分幾何與概率.

2010 MSC:53C42