Filiform李超代數Ln,m的導子和保積Hom-結構

焦陽,劉文德

(哈爾濱師范大學數學科學學院,黑龍江哈爾濱150025)

Filiform李超代數Ln,m的導子和保積Hom-結構

焦陽,劉文德

(哈爾濱師范大學數學科學學院,黑龍江哈爾濱150025)

將李超代數的導子和Hom-結構表示為矩陣,通過計算,具體刻畫了特征零的代數閉域上Filiform李超代數Ln,m的導子代數和保積Hom-結構.

Filiform李超代數;導子;Hom-結構

1 引言

Hom-結構以及導子代數是李超代數結構理論研究中活躍而重要的課題.2006年,Larsson和Silvestrov為了研究Witt代數與Virasoro代數的形變,提出了Hom-李代數的概念[1]. 2010年,F.Ammar和A.Makhlouf將Hom-李代數推廣到Hom-李超代數上[2].2011年,鄒旭娟和劉文德確定了特征p>3的域上外代數與有限維廣義Witt李代數的張量積所構成的李超代數的導子代數[3].2013年,曹彬濤和羅栗證明了復數域上有限維單李超代數只有平凡的保積Hom-李超代數結構[4].2014年,遠繼霞、孫麗萍和劉文德在復數域上的向量場單李超代數上獲得了類似的結果[5].同年,高宇佳、孫麗萍和劉文德證明了單Hom-李超代數沒有任何非平凡理想并且給出了保積Hom-李超代數的若干性質[6];陳翠和連海峰利用導子和三元導子的定義,刻畫了特征不等于2的代數閉域上4維冪零李代數的導子和三元導子[7].

Filiform李超代數作為特殊的冪零李超代數,研究其結構對于研究冪零李超代數來說意義重大.本文刻畫了特征零的代數閉域上Filiform李超代數Ln,m的導子代數和保積Hom-結構.首先介紹李超代數的導子代數及保積Hom-結構的基本概念;其次刻畫Filiform李超代數Ln,m的導子代數;最后給出Ln,m的保積Hom-結構及其證明.

2 基本概念

一個F-代數A稱為超代數,如果作為向量空間它是一個超空間A=Aˉ0⊕Aˉ1,并且滿足相容性設A=Aˉ0⊕Aˉ1是域F上的超代數,如果它的乘法[·,·]滿足斜超對稱性和超Jacobi等式,那么稱A是F上的李超代數[8].

定義2.1[9]設G=Gˉ0⊕Gˉ1是冪零李超代數,稱G的超冪零指數為(p,q),如果(p,q)滿足:

其中

若這個冪零李超代數的超冪零指數是(dimGˉ0?1,dimGˉ1),則稱它為Filiform李超代數.

定義2.2[8]設L=Lˉ0⊕Lˉ1為域F上的李超代數,若L上的線性變換D滿足:

則稱D是L的Z2-次數為|D|的齊次導子.令Derμ(L)表示L的Z2-次數為μ的導子的集合,其中μ∈Z2,稱李超代數Der(L)=Derˉ0(L)⊕Derˉ1(L)為L的導子代數.

定義2.3[5]設(G,[·,·])是一個李超代數,α:G→G是一個線性映射,若α滿足:

則稱(G,[·,·],α)為Hom-李超代數,稱α為李超代數G的Hom-結構.若α還是G的自同態,即滿足

則稱α為李超代數G的保積Hom-結構.

3 Filiform李超代數Ln,m的導子代數

Filiform李超代數Ln,m具有一個標準基{X0,X1,···,Xn|Y1,Y2,···,Ym},其中X0,X1,···,Xn為偶的,Y1,Y2,···,Ym為奇的;其乘法表為:

其它標準基元素的方括號均為0.

令D是Filiform李超代數Ln,m的導子,偶導子在該組基下的矩陣用

表示.

Filiform李超代數的導子代數用Der(Ln,m)表示,則有以下定理:

定理3.1Filiform李超代數的導子代數Der(Ln,m)的基如表1所示.

表1 導子代數Der(Ln,m)的基表示

為得到定理3.1,首先證明引理3.1和引理3.2.

引理3.1Filiform李超代數Ln,m的偶導子具有如下形式:

其中,O為零矩陣,矩陣A中元素xij由表2給出,矩陣B中元素yn+k+1,n+l+1由表3給出.

證明由導子定義易知,D是Ln,m的導子當且僅當任意基中元素均滿足(1)式.

當D是偶導子時,分三種情況討論:(1)x,y均不為X0;(2)x,y均為X0;(3)x,y中有且只有一個為X0.由(1)式,得

由(4)式-(11)式,Filiform李超代數Ln,m的偶導子

其中,O為零矩陣,矩陣A中元素xij由表2給出.

表2 矩陣A中元素xij

記x11,···,xn+1,1分別為a,a1,···,an;x22,···,xn+1,2分別為a,b1,···,bn.矩陣B中元素yn+k+1,n+l+1由表3給出.記yn+2,n+2,···,yn+m+1,n+2分別為c1,···,cm.

表3 矩陣B中元素yn+k+1,n+l+1

下面計算Filiform李超代數Ln,m的奇導子.Filiform李超代數Ln,m的奇導子在該組基下的矩陣用

表示,此時導子D分三種情況討論:(1)x,y均不為X0;(2)x,y均為X0;(3)x,y中有且只有一個為X0.由(1)式,得

由(12)式-(17)式,Filiform李超代數Ln,m的奇導子

其中,O為零矩陣,矩陣E和矩陣F中元素有以下三種情形:

當m=n時,矩陣E中元素xn+i,j由表4給出.

記xn+3,2,···,xn+m,2分別為e1,···,em?2.矩陣F中元素yk,n+l由表5給出.

表4 矩陣E中元素xn+i,j

表5 矩陣F中元素yk,n+l

表6 矩陣E中元素xn+i,j

記y2,n+2,···,yn,n+2分別為f1,···,fn?1.

當m

記xn+2,2,···,xn+m,2分別為e1,···,em?1.矩陣F中元素yk,n+l由表7給出.

表7 矩陣F中元素yk,n+l

記yn?m+2,n+2,···,yn+m,n+2分別為f1,···,fm?1.

當m>n時,矩陣E中元素xn+i,j由表8給出.

表8 矩陣E中元素xn+i,j

記xm?n+1,2,···,xn+m,2分別為e1,···,em?1.矩陣F中元素yk,n+l由表9給出.

記y2,n+2,···,yn,n+2分別為f1,···,fn;y2,n+3,···,y2,m+2分別為g1,···,gm?n.

由此可得到引理3.2:

表9 矩陣F中元素yk,n+l

引理3.2Filiform李超代數Ln,m的奇導子具有如下形式:

其中,O為零矩陣.當m=n時,矩陣E中元素xn+i,j由表4給出,矩陣F中元素yk,n+l由表5給出;當mn時,矩陣E中元素xn+i,j由表8給出,矩陣F中元素yk,n+l由表9給出.

由引理3.1和引理3.2,即得定理3.1.

4 Filiform李超代數Ln,m的保積Hom-結構

令α是Filiform李超代數Ln,m的保積Hom-結構,α在基{X0,X1,···,Xn|Y1,Y2,···,Ym}下的矩陣用

表示.

定理4.1Filiform李超代數Ln,m的保積Hom-結構具有如下形式:

其中,O為零矩陣,

這里a,a1,···,an,b1,···,bn,c1,···,cm是任意的,且

證明由保積Hom-結構定義易知,α是Filiform李超代數Ln,m的保積Hom-結構當且僅當任意基元素均滿足(2)式-(3)式.

首先,(2)式中x,y,z取遍標準基{X0,X1,···,Xn|Y1,Y2,···,Ym}中所有元素,分五種情況討論:(1)x,y,z均不為X0;(2)x,y,z均為X0;(3)x,y,z中有兩個為X0;(4)x,y,z中有且只有一個為X0,且其余兩個基相同;(5)x,y,z中有且只有一個為X0,且其余兩個基不同.得

其次,(3)式中x,y取遍標準基{X0,X1,···,Xn|Y1,Y2,···,Ym}中所有元素,分三種情況討論:(1)x,y均不為X0;(2)x,y均為X0;(3)x,y中有且只有一個為X0.得

由(18)式-(22)式,Filiform李超代數Ln,m的保積Hom-結構

其中,O為零矩陣,

這里a,a1,···,an,b1,···,bn,c1,···,cm是任意的,且

[1] Larsson D,Silvesrov S.Quasi-Hom-derformations of sl2(F)using twisted derivations[J].Comm.Algebra, 2007,35:4303-4318.

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The derivations and the multiplicative Hom-structures of Filiform Lie superalgebras Ln,m

Jiao Yang,Liu Wende
(Department of Mathematics,Harbin Normal University,Harbin150025,China)

Let F be an algebraically closed fi eld of characteristic zero.In this paper,we characterize the derivations and the multiplicative Hom-structures of Filiform Lie superalgebras Ln,mover F in terms of matrices.

Filiform Lie superalgebras,derivations,Hom-structures

O152.5

A

1008-5513(2014)05-0534-09

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.05.015

2014-08-11.

國家自然科學基金(11171055,11471090);黑龍江省教育廳科學技術研究項目(12541246,12541184);黑龍江省自然科學基金(A201412).

焦陽(1990-),碩士,研究方向:李超代數.

2010 MSC:22E