含多運(yùn)動(dòng)副間隙機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性研究*

丁 鍵，趙 宇，吳洪濤，陳 柏，朱留存，謝亞非

(1.南京航空航天大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，南京 210016；2.常州精銳自動(dòng)化裝備技術(shù)有限公司，江蘇 常州 213032)

含多運(yùn)動(dòng)副間隙機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性研究*

丁 鍵1，趙 宇1，吳洪濤1，陳 柏1，朱留存2，謝亞非2

(1.南京航空航天大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，南京 210016；2.常州精銳自動(dòng)化裝備技術(shù)有限公司，江蘇 常州 213032)

為了研究運(yùn)動(dòng)副間隙對(duì)機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性的影響，文章基于一種非線(xiàn)性接觸碰撞力模型和修正了的庫(kù)侖摩擦力模型，描述含間隙運(yùn)動(dòng)副內(nèi)關(guān)節(jié)元素的接觸碰撞作用，并在動(dòng)力學(xué)仿真軟件ADAMS環(huán)境中，以含運(yùn)動(dòng)副間隙曲柄滑塊機(jī)構(gòu)為例，對(duì)其進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真。分別考慮間隙尺寸、間隙位置和類(lèi)型、曲柄轉(zhuǎn)速以及間隙數(shù)目對(duì)機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性的影響，拓展了間隙碰撞動(dòng)力學(xué)建模與含間隙機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)仿真的研究，為機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)提供了重要的參考依據(jù)，有利于工程實(shí)際應(yīng)用。

多運(yùn)動(dòng)副間隙；接觸碰撞；摩擦；動(dòng)態(tài)特性

0 引言

在傳統(tǒng)的機(jī)械多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析中，運(yùn)動(dòng)副通常是被假設(shè)為理想的，然而工程實(shí)際中，運(yùn)動(dòng)副中的間隙是不可避免的。隨著精密機(jī)械和宇航工程的發(fā)展，含間隙機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)成為該領(lǐng)域迫切需要解決的關(guān)鍵問(wèn)題之一[1-2]。文章以曲柄滑塊機(jī)構(gòu)為例，從轉(zhuǎn)動(dòng)副、移動(dòng)副間隙碰撞模型的正確描述、碰撞力的準(zhǔn)確建模入手，在ADAMS環(huán)境中仿真運(yùn)動(dòng)副元素間的非線(xiàn)性碰撞力作用，研究間隙對(duì)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性的影響。

1 含間隙機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)建模

1.1 運(yùn)動(dòng)副間隙的矢量模型

理想轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)軸和軸承的中心由旋轉(zhuǎn)副連接并重合，間隙使得機(jī)構(gòu)獲得平面內(nèi)兩個(gè)徑向移動(dòng)自由度。如圖1所示，軸和軸承未發(fā)生接觸變形時(shí)，間隙矢量的大小被限制在以軸承中心為圓心，以軸承半徑RB和軸半徑RJ之差c為半徑的間隙圓內(nèi)，即：

c=RB-RJ

(1)

圖1 轉(zhuǎn)動(dòng)副間隙示意圖

圖2 轉(zhuǎn)動(dòng)副間隙矢量圖

(2)

當(dāng)軸和軸承發(fā)生接觸變形時(shí)，如圖3所示，由此引起的接觸形變量δ為間隙矢量大小e和間隙大小c之差：

δ=e-c

(3)

圖3 軸和軸承接觸變形

國(guó)內(nèi)外關(guān)于移動(dòng)副間隙的動(dòng)力學(xué)研究文獻(xiàn)[4-6]相對(duì)較少?；瑝K和導(dǎo)軌被看成兩個(gè)碰撞體，滑塊在導(dǎo)軌內(nèi)存在如圖4所示的四種典型接觸方式: 圖4a自由飛行; 圖4b滑塊的一條棱邊和導(dǎo)軌表面接觸; 圖4c滑塊一個(gè)側(cè)面和導(dǎo)軌表面接觸; 圖4d滑塊相對(duì)棱角和導(dǎo)軌表面接觸。

圖4 滑塊與導(dǎo)軌表面接觸狀態(tài)

(4)

1.2 運(yùn)動(dòng)副間隙的接觸碰撞力模型

含間隙機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析在很大程度上取決于接觸碰撞力的建模。Lankarani-Nikravesh(L-N)模型[7]在通用Hertz接觸力表達(dá)式的基礎(chǔ)上，考慮碰撞過(guò)程中由材料阻尼引起的能量損失行為，其表達(dá)式為：

(5)

(6)

其中剛度系數(shù)Kn和阻尼系數(shù)Dmod分別為：

(7)

(8)

式(7)中復(fù)合楊氏模量E*關(guān)于軸承、軸的楊氏模量EB、EJ和泊松比VB、VJ的函數(shù)關(guān)系為：

(9)

圖5 移動(dòng)副間隙矢量模型

移動(dòng)副間隙接觸力模型主要取決于滑塊和導(dǎo)軌的接觸方式。當(dāng)滑塊兩個(gè)相鄰的拐角接觸導(dǎo)軌表面，如圖4c產(chǎn)生面接觸時(shí)的情形，Lankarani于1988年提出了該型接觸碰撞中彈性力FN關(guān)于接觸長(zhǎng)度a、接觸形變?chǔ)暮筒牧瞎逃袑傩驭襥、σj的線(xiàn)性模型表達(dá)式為：

(10)

當(dāng)滑塊產(chǎn)生角接觸，即如圖4(b)、(d)時(shí)，假設(shè)滑塊拐角處有一個(gè)小的曲率半徑,則接觸力產(chǎn)生于弧面和平面之間，Goldsmith通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)得球體i和平面j在碰撞過(guò)程中的接觸碰撞彈性力為關(guān)于球體半徑Ri、材料屬性σi、σj和接觸形變的函數(shù)：

(11)

在這里用于近似計(jì)算滑塊和導(dǎo)軌角接觸時(shí)的接觸彈性力，相應(yīng)的阻尼系數(shù)可由式(8)計(jì)算得到。

1.3 運(yùn)動(dòng)副間隙的摩擦力模型

本文所研究機(jī)構(gòu)中的摩擦不考慮潤(rùn)滑作用，即干摩擦。最為著名的摩擦力模型[9]是Coulomb摩擦模型，較為廣泛地使用于沖擊或碰撞中的摩擦行為。為了更加精準(zhǔn)地描述物體之間的摩擦行為，以及物體相對(duì)低速情況下易發(fā)生的粘滯-微滑現(xiàn)象，本文采用修正[10]了的Coulomb摩擦力模型，其計(jì)算表達(dá)式為：

(12)

式(12)中動(dòng)態(tài)摩擦系數(shù)μ(vt)的函數(shù)表達(dá)式為：

(13)

式中vt為切向滑動(dòng)速度，μd為動(dòng)摩擦系數(shù)，μs為靜摩擦系數(shù)，vs為靜摩擦臨界速度，vd為最大動(dòng)摩擦臨界速度，其函數(shù)曲線(xiàn)如圖6所示。

圖6 動(dòng)態(tài)摩擦系數(shù)隨切向滑動(dòng)速度曲線(xiàn)

2 含間隙機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性研究

2.1 機(jī)構(gòu)幾何參數(shù)與質(zhì)量特性

含間隙曲柄滑塊機(jī)構(gòu)如圖7所示，曲柄-連桿轉(zhuǎn)動(dòng)副A處、連桿-滑塊轉(zhuǎn)動(dòng)副B處以及滑塊-導(dǎo)軌移動(dòng)副C處可以設(shè)置間隙。機(jī)構(gòu)參數(shù)如下：曲柄長(zhǎng)度l1=50mm、質(zhì)量m1=0.58kg、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J1=122.86kg·mm2；連桿長(zhǎng)度l2=120mm、質(zhì)量m2=0.94kg、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J2=141.27kg·mm2；滑塊質(zhì)量m3=0.98kg、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J3=245.74kg·mm2，恢復(fù)系數(shù)Ce=0.9，楊氏模量E=207GPa，泊松比ν=0.29。

圖7 含間隙曲柄滑塊機(jī)構(gòu)

2.2 動(dòng)態(tài)仿真分析

為研究運(yùn)動(dòng)副間隙對(duì)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)特性影響，取間隙c=0.5mm，曲柄轉(zhuǎn)速為ω=200rpm，進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真，分別僅考慮機(jī)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)副A,B和C處存在間隙，系統(tǒng)穩(wěn)定后的兩個(gè)完整周期內(nèi)，含間隙機(jī)構(gòu)和理想機(jī)構(gòu)的滑塊運(yùn)動(dòng)特性曲線(xiàn)對(duì)比如圖8～10所示。

通過(guò)上述對(duì)比結(jié)果可知，間隙對(duì)滑塊的位移幾乎沒(méi)有影響，對(duì)滑塊速度影響較小，而對(duì)滑塊加速度影響最大。圖8和圖9表明，轉(zhuǎn)動(dòng)副A處間隙對(duì)滑塊運(yùn)動(dòng)的影響相對(duì)B處間隙的影響要大，這說(shuō)明間隙離曲柄越近對(duì)機(jī)構(gòu)的影響越大，這與文獻(xiàn)[11]的實(shí)驗(yàn)結(jié)論一致。對(duì)比圖8～10發(fā)現(xiàn)，移動(dòng)副間隙對(duì)滑塊運(yùn)動(dòng)的影響要比轉(zhuǎn)動(dòng)副間隙的影響更明顯，這是由于滑塊在導(dǎo)軌內(nèi)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)相對(duì)軸在軸承內(nèi)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)較復(fù)雜導(dǎo)致的。

進(jìn)而研究間隙尺寸對(duì)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)性能的影響，以運(yùn)動(dòng)副B存在間隙為例，取間隙分別為0.5mm，0.2mm以及0.05mm，在同一轉(zhuǎn)速200rpm下進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真，將其動(dòng)態(tài)特性曲線(xiàn)與理想機(jī)構(gòu)作對(duì)比如圖11～13所示，圖中a、b、c和d分別描述系統(tǒng)穩(wěn)定后的兩個(gè)完整周期內(nèi)，滑塊加速度、曲柄驅(qū)動(dòng)扭矩、Poincaré 映射(滑塊加速度關(guān)于速度的函數(shù)曲線(xiàn)，其光滑程度表示系統(tǒng)的穩(wěn)定程度)和第一個(gè)周期內(nèi)間隙關(guān)節(jié)碰撞力曲線(xiàn)。

對(duì)比發(fā)現(xiàn)，間隙越小，表征系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的曲線(xiàn)越光滑，即系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性越趨于理想機(jī)構(gòu)，這與文獻(xiàn)[11]的實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致；對(duì)比圖11～13中d可見(jiàn)，間隙的存在使得關(guān)節(jié)接觸碰撞力大幅提高并且在系統(tǒng)穩(wěn)定前呈高頻振蕩，間隙越小，碰撞力越小，但振蕩頻率越高，而系統(tǒng)建立穩(wěn)定越快。

其次研究曲柄轉(zhuǎn)速對(duì)含間隙機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)性能的影響。仍以運(yùn)動(dòng)副B處間隙為例，取間隙大小C=0.2mm，分別設(shè)置曲柄轉(zhuǎn)速為350rpm、300rpm和250rpm對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真，結(jié)果如圖14～16所示，a、b、d分別為系統(tǒng)穩(wěn)定后兩個(gè)完整周期內(nèi)的滑塊加速度、曲柄驅(qū)動(dòng)扭矩、軸中心相對(duì)軸承參考坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)軌跡曲線(xiàn)，圖14～16中c為系統(tǒng)穩(wěn)定前間隙關(guān)節(jié)碰撞力曲線(xiàn)。

對(duì)比圖14～16發(fā)現(xiàn)，曲柄轉(zhuǎn)速越高，滑塊加速度、曲柄扭矩以及碰撞力曲線(xiàn)振蕩越厲害并且幅值越大，系統(tǒng)到達(dá)穩(wěn)定的時(shí)間越長(zhǎng)，圖14～16中d表明系統(tǒng)穩(wěn)定后，在沒(méi)有外部沖擊載荷的情況下，軸總是緊貼軸承內(nèi)圈表面做圓周運(yùn)動(dòng)的，這些結(jié)論也都與文獻(xiàn)[11]的實(shí)驗(yàn)結(jié)果相吻合。

最后，考慮機(jī)構(gòu)在轉(zhuǎn)動(dòng)副B處和移動(dòng)副C處同時(shí)存在間隙C=0.2mm，曲柄轉(zhuǎn)速200rpm的情況下，對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真。取系統(tǒng)穩(wěn)定后的兩個(gè)完整周期作研究，機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性參數(shù)曲線(xiàn)如圖17所示。圖17a、b分別為滑塊加速度和曲柄驅(qū)動(dòng)扭矩曲線(xiàn)，圖17c、d分別為軸中心在軸承參考坐標(biāo)系中和滑塊中心在導(dǎo)軌參考坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)軌跡曲線(xiàn)。

由圖17a、b可見(jiàn)，本文研究的含多運(yùn)動(dòng)副間隙機(jī)構(gòu)總體運(yùn)行平穩(wěn)，但滑塊運(yùn)動(dòng)到上、下死點(diǎn)位置時(shí)，機(jī)構(gòu)振動(dòng)明顯，表現(xiàn)出機(jī)構(gòu)的局部混沌[12]現(xiàn)象，且相比只含轉(zhuǎn)動(dòng)副或移動(dòng)副的情況要?jiǎng)×业亩?，顯然是轉(zhuǎn)動(dòng)副和移動(dòng)副間隙之間產(chǎn)生相互耦合影響。圖17c、d說(shuō)明隨著機(jī)構(gòu)的運(yùn)行，間隙鉸元素間可以分為三種狀態(tài)：軸(滑塊)沿軸承(導(dǎo)軌)內(nèi)壁滑移、自由飛行和反彈碰撞。

3 結(jié)論

機(jī)構(gòu)運(yùn)行過(guò)程中，間隙不可避免地存在于各活動(dòng)鉸接處，并使得機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性偏離理想機(jī)構(gòu)。文章基于一種非線(xiàn)性混合碰撞力模型和改進(jìn)了的Coulomb摩擦力模型，以曲柄滑塊機(jī)構(gòu)為對(duì)象，在動(dòng)力學(xué)仿真軟件ADAMS中對(duì)其進(jìn)行動(dòng)態(tài)特性分析。所得結(jié)論與國(guó)外早前的實(shí)驗(yàn)研究結(jié)果吻合，說(shuō)明了本文所采用研究方法的可行性，可用于較好地預(yù)測(cè)含間隙機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)行為特征，有一定的工程指導(dǎo)價(jià)值。

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(編輯 李秀敏)

Dynamic Characteristics of Mechanisms with Multi-clearance Joints

DING Jian1,ZHAO Yu1,WU Hong-tao1, CHEN bai1,ZHU Liu-cun2, XIE Ya-fei2

(1. College of Mechatronics, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016, China；2. Changzhou Jingrui Automatic Equipment and Technology Co. , Ltd , Changzhou Jiangsu 213032, China)

In order to study the dynamic characteristics of mechanisms with joint clearance, the work based on a nonlinear contact model and an improved Coulomb friction model. In the environment of dynamics simulation software ADAMS, the slider-crank mechanism is chosen as an example to be demonstrated. Consider the influence of dynamic performance due to clearance size, clearance type and clearance position, rotation speed of crank and clearance numbers respectively, which expands the dynamics modeling of mechanism with clearance, and gives the basis of mechanism design.

multi-clearance joints; contact; friction; dynamic characteristic

1001-2265(2014)05-0009-05

10.13462/j.cnki.mmtamt.2014.05.003

2013-09-10;

2013-09-25

國(guó)家自然基金(51375230)；江蘇省科技支撐計(jì)劃(BE2012052)

丁鍵(1987—)，男，江蘇鹽城人，南京航空航天大學(xué)碩士研究生，研究方向?yàn)槎囿w系統(tǒng)，(E-mail)nuaa_ding@163.com。

TH112；TG65

A