數控機床主軸熱誤差預測模型的修整*

趙昌龍，于 淼

(長春大學 機械工程學院，長春 130022)

數控機床主軸熱誤差預測模型的修整*

趙昌龍，于 淼

(長春大學 機械工程學院，長春 130022)

數控機床熱誤差補償是提高機床加工質量的有效手段，文章針對最小二乘支持向量機法建立的預測模型魯棒性的不足以及稀疏性的缺失問題，對初始的預測模型進行了魯棒性和稀疏性訓練，在保證模型預測精度的同時是整個模型更具魯棒性，并且通過稀疏性訓練大大提高了整個模型的運行速度，為今后更好的進行誤差補償奠定了基礎。

熱誤差建模；魯棒性；稀疏性；數控機床

0 引言

當今社會，數控機床的使用已經深入到生產制造業的各個領域，人們在追求高效率的同時對數控機床的加工精度也越來越重視，但是純粹的靠提高數控機床的制造精度與裝配精度的方法來提高加工精度不僅成本過高而且難于完成，因此，數控機床的誤差補償技術得到廣泛研究。在數控機床的各項誤差因素中，熱誤差特別是主軸部件發熱所引起的熱誤差是影響最大的環節[1-2]。

在對數控機床主軸系統進行熱誤差補償之前，首先要對機床主軸熱誤差進行數學建模，模型預測精度及運行速度直接影響后期補償的效果。目前，國內外研究人員利用專家系統、神經網絡、模糊系統以及多元回歸模型等方法開展了誤差補償方面的研究，本文即針對數控機床主軸熱誤差建立最小二乘支持向量機預測模型，并對初始模型進行魯棒性與稀疏性訓練以提高模型的預測精度。

1 預測模型的建立

1.1 最小二乘支持向量機法

最小二乘支持向量機法[3-4]最用應用于某些簡單的分類問題上，LS-SVM預測模型的建立首先要依賴核函數的選擇以及特征空間方法，在一般情況下，利用LS-SVM建模時要將所用數據進行非線性處理，經過處理的數據反映到某個高維特征空間里并進行第二次的空間線性回歸分析。核函數的選擇至關重要，它影響了整個求解運算的過程，目前核函數應用較多的有三種，分別是多項式核函數、徑向基核函數以及Sigmoid核函數，在數控機床的熱誤差建模過程中，考慮到溫度場數據是線性不可分數據的原因，采用徑向基核函數處理效果最好。

1.2 初始數學模型的建立

在預測模型的建立過程中引入了最小二乘支持向量機法[5-7]，最小二乘支持向量機法(LS-SVM)是最優超平面在線性可分的情況下發展起來的，實用價值很高，將最小二乘線性系統應用到損失函數中，原來復雜的求解過程可以用一個等式方程組來代替，這就使整個建模過程的計算量大大下降，運算速度得到顯著提高，將其應用到非線性函數的估算以及模式識別中都能發揮重要作用。本文就是利用了最小二乘支持向量機法對數控機床主軸的熱誤差進行預測，以機床主軸的溫度場變化為輸入，主軸熱誤差為的輸出端，建立初步模型。

基于最小二乘支持向量機建立機床主軸熱誤差預測模型的步驟：

(1)導入初始建模數據，對程序進行初始的基礎設置；

(2)選擇徑向基函數為模型的核函數；

(3)對核函數參數進行優化，選取最優參數為γ=891.444，σ2=3.031；

(4)對模型進行初始訓練；

(5)輸出最終建模結果，為后期休整做基礎。

圖1 模型的求解過程

圖2 初步建模結果

經過初始建模的擬合曲線可以看出，曲線的重合度較好，模型預測的平均誤差在0.7%左右，但由于LS-SVM算法本身的局限性，數據噪聲對模型精度有影響，并且存在稀疏性的缺失，因此要進行下一步的修整。

2 魯棒性訓練

在利用最小二乘支持向量機法建立模型的過程中，由于這種方法自身的缺點，預測模型的魯棒性明顯降低[8]，這是由于所采用的樣本數據較少崩潰點較小，而且此算法沒有將較小的崩潰點在線性回歸中規則化。因此，在初步模型建立之后需要采用加權的最小二乘支持向量機法對其進行魯棒性訓練，以提高模型的預測精度。

在魯棒性訓練過程中，首先利用初次模型訓練后得到的Lagrange乘子αi的解，并在各個誤差變量ei(ei=αi/γ)中加入一個權重因子νi，然后再進行第二次訓練，經過魯棒性訓練的模型就具備了較好的魯棒性。

經過處理的加權最小二乘支持向量機可以用下式表示：

(1)

其約束條件為

在通常情況下，權值vi的確定方法為：

(2)

魯棒性訓練的程序運行結果以及經過魯棒性訓練的數控機床主軸預測模型如圖3與圖4所示。

圖3 魯棒性訓練程序運行結果

圖4 Weight LS-SVM預測模型

經過魯棒性訓練我們可以看出圖4中擬合曲線的重合度要高于圖2所擬合的曲線，這充分說明了經過魯棒性訓練的模型減少了數據噪聲的影響，提高了LS-SVM預測模型的魯棒性。

3 稀疏性訓練

在對初始模型進行魯棒性訓練之后，整個模型的魯棒性得到顯著的提高，精度也有所保證，但是由于整個模型的建立階段數據的稀疏性問題的存在，要對模型進行進一步的稀疏性訓練，以提高模型的運算速度[9-10]。本文在魯棒性訓練之后利用最小二乘支持向量機算法中所支持向量的權重與Lagrange乘子αi的絕對值大小成正比的原理，使用最小二乘支持向量機中的修剪算法對魯棒性訓練后的模型進行第二步的稀疏性訓練處理，從而解決了整個模型的稀疏性缺失的問題，大大的提高模型的運算速度。

圖5 稀疏性訓練結果

在對模型進行稀疏性訓練時，首先需要求解出αk，在模型中αk是支持值，其絕對值的大小直接反映了訓練中每個樣本的重要程度，之后將支持值的絕對值按從大到小的順序排序得到αk的圖譜，在圖譜中較小的值就是對整個向量影響相對較小的點，在稀疏性訓練中，這些點就是要被去除掉的。

圖6 建模效果對比

圖5即為稀疏性訓練過程的運行結果，模型中具有稀疏性的數據點用圓圈標記。

經過魯棒性及稀疏性訓練的模型，最終運行結果如圖

6所示，由圖可以清晰的看到，經過兩次訓練修剪過的模型，其擬合曲線與真實值的平均誤差非常小，預測精度可以控制在2%以下而且模型的魯棒性及運行速度得到了有效的提高。

4 總結

本文為了提高數控機床主軸系統的熱誤差初始預測模型的預測精度以及運算速度，在基于最小二乘支持向量機的預測模型基礎上，對初始模型進行了魯棒性以及稀疏性訓練，改善了由于最小二乘支持機算法中魯棒性不足的問題，并且通過后期模型的修剪避免了因為LS-SVM算法中利用等式約束代替不等式約束所導致的該模型稀疏性的損失問題。進過分析，該模型在經過后期修整后，在保證預測精度的同時大大的提高了運行速度，為今后的數控機床熱誤差補償提供了堅實的基礎。

[1] 李永祥,楊建國,郭前建,等. 數控機床熱誤差的混合預測模型及應用[J].上海交通大學學報,2006(12):30-33.

[2] 李小力. 數控機床綜合幾何誤差的建模及補償技術[D].武漢：華中科技大學,2006.

[3] 閻威武,邵惠鶴.支持向量機和最小二乘支持向量機的比較及應用研究[J].控制與決策,2003,18(3):358-360.

[4] 劉解放,陳娜,趙磊,等.最小二乘支持向量機及其數學原理和應用研究[J].河南科技學院學報(自然科學版),2008(9):127-129.

[5] 孟杰,陳小安,何燁.高速電主軸電動機-主軸系統的機電耦合動力學建模[J].機械工程學報, 2007, 43(12): 160-165.

[6] 劉煥牢.數控機床幾何誤差測量及誤差補償技術的研究[D].武漢:華中科技大學,2005.

[7] 任永強.數控機床誤差高效測量、建模及補償應用研究[D].上海:上海交通大學,2004.

[8] 劉京禮.魯棒最小二乘支持向量機研究與應用[D].合肥:中國科技大學,2010.

[9] 甘良志,孫宗海,孫優賢.稀疏最小二乘支持向量[J].浙江大學學報(工學版),2007(2):245-247.

[10]MSJS,THETLER J,PERKINS S. Accurate on-line support vector regression[J]. Neural Computation. 2013,15:2683-2704.

(編輯 李秀敏)

The Model’s Dressing of Thermal Error on the Spindle of the CNC Machining

ZHAO Chang-long , YU Miao

(College of Mechanical Engineering，Changchun University，Changchun 130022，China)

The compensation of CNC machine tool thermal error is the effective measure to improve the quality of machine tool processing, the initial model of LS-SVM on spindle thermal error is lack of robustness and sparse, so in the paper we train the model with robustness and sparse, after training the model have more robustness and sparse, and guarantee the accuracy, and improve the speed of model with the sparse training, the work lay the foundation for error compensation.

the model of thermal error; robustness; sparse; CNC machine

1001-2265(2014)07-0100-03

10.13462/j.cnki.mmtamt.2014.07.028

2013-11-12；

2013-12-20

吉林省科技廳自然科學基金項目(201215114)

趙昌龍(1979—)，男，長春人，長春大學講師，博士，主要研究方向是精密加工技術、數控裝備與數字制造技術，(E-mial)zhao19790204@126.com。

TH166;TG502

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