鋼管下料問題的Mathematica求解及分析

隋英 孫常春 艾瑛

沈陽建筑大學(xué)理學(xué)院 遼寧沈陽 110168

鋼管下料問題的Mathematica求解及分析

隋英 孫常春 艾瑛

沈陽建筑大學(xué)理學(xué)院 遼寧沈陽 110168

針對鋼管切割加工的問題，分別以余料最少和用料最省為目標(biāo)，建立了該問題的整數(shù)規(guī)劃模型，并用Mathemaica軟件進(jìn)行求解。同時，對兩個模型進(jìn)行了比較分析，得出了以用料最省為目標(biāo)建立的模型優(yōu)于以余料最少為目標(biāo)建立的模型的結(jié)論，尋求出了鋼管下料的最佳處理方案。

線性規(guī)劃；整數(shù)規(guī)劃；Mathemaica

生活中常會遇到切割、裁剪、沖壓等手段，將原材料加工成所需大小，這種工藝過程稱為原料下料問題。按照進(jìn)一步的工藝要求，確定下料方案，使用料最省或利潤最大。本文針對一類鋼管的切割加工問題，建立了數(shù)學(xué)模型，并用Mathemaica軟件進(jìn)行了求解。

問題提出

某鋼管零售商從鋼管廠進(jìn)貨，將鋼管按照顧客的要求切割后售出。從鋼管廠進(jìn)的原料鋼管都是19米長，現(xiàn)有一客戶需要50根4米長、20根6米長、15根8米長的鋼管，應(yīng)如何下料最節(jié)省？

問題分析

首先，應(yīng)當(dāng)確定哪些切割模式是可行的。所謂一個可行的切割模式，是指能按照客戶需要在原料鋼管上安排切割的一種組合。例如：將19米長的鋼管切割成3根4米長的鋼管，余料為7米；或者將19米長的鋼管切割成4米、6米和8米長的鋼管各1根，余料為1米。通常，可行的切割模式是只要能按照客戶的要求進(jìn)行切割就行，而不必考慮該切割模式是否合理。顯然，可行的切割模式是很多的。

其次，應(yīng)當(dāng)確定哪些切割模式是合理的。通常假設(shè)一個合理的切割模式的余料不應(yīng)該大于或等于客戶需要的鋼管的最小尺寸。例如：將19米長的鋼管切割成3根4米長的鋼管的切割模式是可行的，但余料為7米，可以進(jìn)一步將7米的余料切割成4米鋼管余料為3米，或?qū)?米的余料切割成6米的鋼管余料為1米。在這種假設(shè)下，合理的切割模式一共有7種，如表1所示：

表1 鋼管下料的合理切割模式

問題化為在滿足客戶需要的條件下，按照哪種合理的模式，切割多少根原料鋼管，最為節(jié)省的問題。所謂的節(jié)省，可以有兩種標(biāo)準(zhǔn)，一是切割后剩余的總余料量最小，二是切割原料鋼管的總根數(shù)最少。以此為目標(biāo)，可建立下述模型。

模型的建立和求解

決策變量：設(shè)xi表示按第i種模式i=1，2，L，7切割的原料鋼管的數(shù)量，xi為非負(fù)的整數(shù)。

約束條件：4米的鋼管要50根，則：4x1+3x2+2x3+x4+x5≥50；

6 米的鋼管要20根，則：x2+2x4+x5+3x6≥20；

8 米的鋼管要15根，則：x3+x5+2x7≥15；

整數(shù)約束：xi為非負(fù)的整數(shù)，i=1，2，L，7。

目標(biāo)函數(shù)：如果以切割后剩余的總余料量最小為目標(biāo)，可得：

minz =3x1+x2+3x3+3x4+x5+x6+3x7于是以切割后剩余的總余料量最小為目標(biāo)，可得模型（1）

xi為非負(fù)的整數(shù)，i=1，2，L，7

利用Mathematica求解模型

即：按照模式2切割12根原料鋼管，按照模式5切割15根原料鋼管，共27根，總余料為27米。

目標(biāo)函數(shù)：如果以切割原料鋼管的總根數(shù)最少為目標(biāo)，則有

于是以切割原料鋼管的總根數(shù)最少為目標(biāo)，可得模型（2）：

xi為非負(fù)的整數(shù)，i=1，2，L，7

利用Mathematica求解模型

即：按照模式2切割15根原料鋼管，按照模式5切割5根原料鋼管，按照模式7切割5根原料鋼管，共25根，總余料量為35米。

模型的比較分析

經(jīng)計(jì)算得：模型（1）按照模式2切割12根原料鋼管，按照模式5切割15根原料鋼管，共用料27根，總余料為27米。按照模型（1）的切割方式，共得到了36+15=51根4米長的鋼管，12+15=27根6米長的鋼管，15根8米長的鋼管。而實(shí)際客戶需要的是50根4米長、20根6米長、15根8米長的鋼管。因此，模型（1）實(shí)際用料27根，多生產(chǎn)了1根4米長的鋼管、7根6米長的鋼管，實(shí)際的總余料為27+4+42=73米。

經(jīng)計(jì)算得：模型（2）按照模式2切割15根原料鋼管，按照模式5切割5根原料鋼管，按照模式7切割5根原料鋼管，共用料25根，總余料量為35米。按照模型（2）的切割方式，共得到了45+5=50根4米長的鋼管，15+5=20根6米長的鋼管，5+10=15根8米長的鋼管。剛好滿足客戶的要求，僅用料25根，余料35米。

經(jīng)分析可得：僅在一次的供貨時，在余料沒有什么用途的情況下，無論是以切割后實(shí)際剩余的總余料量最小為目標(biāo)，還是以切割原料鋼管的總根數(shù)最少為目標(biāo)，模型（2）都較模型（1）更好。

結(jié)論

本文針對鋼管切割加工的問題，分別以余料最少和用料最省為目標(biāo)，建立了該問題的整數(shù)規(guī)劃模型，用Mathemaica軟件進(jìn)行求解。同時，對兩個模型進(jìn)行了比較分析，得出了以用料最省為目標(biāo)建立的模型優(yōu)于以余料最少為目標(biāo)建立的模型的結(jié)論，尋求出了求解鋼管下料的最佳處理方案。

[1]姜啟源,謝金星,葉俊.數(shù)學(xué)模型(第3版).北京:高等教育出版社,2003

[2]謝金星,薛毅.優(yōu)化模型與LINDO/LINGO軟件.北京:清華大學(xué)出版社,2005

[3]李漢龍,繆淑賢,韓婷.Mathematica基礎(chǔ)及其在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用.北京:國防工業(yè)出版社,2013

隋英（1974-），女，遼寧丹東人，副教授，主要從事金融工程和數(shù)學(xué)建模的研究。