淺談“再創造”原理在《組合數的兩個性質》教學中的運用

嚴麗花

摘 要：在多年的數學教學中，堅持融“再創造”原理于日常的數學課堂教學中，以《組合數的兩個性質》的課堂教學為例談談對“再創造”原理的認識和本課型設計的依據。

關鍵詞：再創造；組合數的性質；運用

已有研究表明根據“再創造”教學理論構建的“再創造”數學教學模式和教學實踐對于學生的學和教師的教能起到如下作用：

1.“再創造”數學教學模式有利于提高學生的數學學習興趣和轉變學習態度。

2.“再創造”數學教學模式有利于發揮學生的主體作用。

3.“再創造”數學教學模式有利于培養學生的創新意識和創新精神。

4.“再創造”數學教學模式給學生以成功的體驗。

5.“再創造”數學教學模式有利于教師教學方式和學生學習方式的轉變。

筆者在多年的職教數學教學中，堅持融“再創造”原理于日常的數學課堂教學中，本文以《組合數的兩個性質》的課堂教學為例談談對“再創造”原理的認識和本課型設計的依據。

一、對“再創造”原理的認識

“再創造”原理是荷蘭數學家弗賴登塔爾關于數學教學方法的基本思想。弗賴登塔爾認為，學生學習數學的唯一正確方法是實行“再創造”，也就是由學生本人把要學的東西自己去發現或創造出來；教師的任務是引導和幫助學生去進行這種再創造的工作，而不是把現成的知識灌輸給學生。

弗賴登塔爾關于“再創造”的論述要點如下：

1.數學是最容易創造的一種科學

數學實質上是人們常識的系統化。教師不必將各種規則、定律灌輸給學生，而應該創造合適的條件，提供很多具體的例子，讓學生在實踐的過程中，自己進行“再創造”出各種運算法則，或是發現有關的各種公式、定律。

2.每個人都應按照自己的特點重新創造數學知識

歷史上很多數學原理是在世界各個地方由不同學者分別獨立地發現的。數學發展的歷史如此，個人學習數學的進程也同樣如此，每個人在學習數學的過程中，都可以根據自己的體驗，用自己的思維方式，重新創造有關的數學知識。

3.每個人有不同的“數學現實”，因而可達到不同的水平

由于每個人具有的“數學現實”和思維水平不同，因此可以追述并達到的水平也不相同，每個學生應充分享有“再創造”的自由。教師則應通過適當的啟發，引導學生加強反思，使學生的創造活動由不自覺或盲目的狀態，發展為有意識、有目的的創造活動。

4.“再創造”的基本程序

反思是數學化過程中的一種重要活動。必須讓學生學會反思，對自己的判斷、活動、語言表達等進行思考并加以證實，以便意識到深藏在自身行為后面的實質，只有這種以反思為核心的數學教育才能使學生實現“再創造”。

5.“再創造”應貫穿于數學教育的全過程

應將數學教育作為一個活動過程來加以分析。在整個過程中，學生應該始終積極參與，感覺到創造的需要，才有可能進行“再創造”。教師的任務就是為學生提供廠闊的天地，聽任各種不同思維、不同方法自由發展，決不可對內容作任何限制，更不應對其發現設置任何預先的“圈套”。

二、《組合數的兩個性質》教學案例設計片段

生4：第二個式子中的分子、分母約去7，6，5，4就和第一個式子一樣了。

師：有沒有不一樣的地方？

生5：第一個式子計算簡單。

師：答案一樣是巧合？還是……

生6：是規律。因為C310=C710。

師：你怎么知道的？

生6：我看了書。

師：你能不能再說出幾個和它類似的規律？

生7：能。C38=C58，C29=C79…

師：大家驗證一下，看看這個規律對不對？

（請兩位學生板演，其余學生在本子上演算）

生（齊）：對的。

師：如果兩個式子的答案一樣，你愿意用哪一個式子來進行計算？

生7：肯定是數字小的那個式子。

師：哪個數字小？說具體點。

生7：上標的數字小。

師：也就是選出的人數少的那個式子。

生（齊）：對。

師：下面請同學們結合實際問題解釋一下兩個式子的答案為什么一樣？

生8：因為（1）是從一個小組10個人中選出3個人后，還剩下7個人，每次選3個人的組合與每次選剩下的7個人的組合是一一對應的；同理（2）是從一個小組10個人中選出7個人后，還剩下3個人，每次選7個人的組合與每次選剩下的3個人的組合是一一對應的。

師：把問題的實際意義去掉，成了什么問題？

生9：（1）就是從10個元素中取出3個元素后，還剩下（10-3）個元素，每次選3個元素的組合與每次選剩下的（10-3）個元素的組合是一一對應的；同理（2）就是從10個元素中選出7個元素后，還剩下（10-7）個元素，每次選7個元素的組合與每次選剩下的（10-7）個元素的組合是一一對應的。

師：用什么式子來表示？

生（齊）：C310=C10-310或C710=C10-710。

師：能不能更一般化？

生10：能，就是從n個元素中取出m個元素后，還剩下（n-m）個元素，每次選m個元素的組合與每次選剩下的（n-m）個元素的組合是一一對應的。

師：用式子怎么表示？

生（齊）：即Cmn=Cn-mn。

至此，水到渠成，學生不僅自己得出了組合數的性質1，還知道了在什么情況下如何來利用性質1進行簡化計算，學生在自然完成水平數學化以后，就能以組合數的計算公式來進行證明，達到垂直數學化的程度，這也正是數學教育的目的所在，即不能停留在直觀層面上，應上升為理性的邏輯推理。

片段二：

師：有紅、黃、藍、白、黑小球各1只，

（1）任取3只放入一個盒子里，有多少種不同的盛球方法？

生21：加法原理。

在性質2的學習中，更多的創設了現實情景，學生不僅從不同的情景中獲得了知識，而且學會了分析問題的分類的思想方法，體現了“現實數學”的原則，這是“再創造”原理的理論依據。

最后，性質2也同樣要進行證明并會進行變形應用。因為數學教學不能停留在直觀和操作水平，必須發展到“形式化”階段，在抽象層次上思維。

引申片段：組合數求和公式C1n+C2n+…+Cnn=2n-1的“再創造”教學現實情景：教室里有6盞電燈，開燈照明有幾種不同的方法？

三、對教學案例的再思考

1.數學教學引導學生自己重新發現那些客觀上已經存在，但對學生來說是“新”的數學概念、公式、定理、法則等。

2.本課例體現“再創造”教學的作用

（1）通過自身活動所獲得的知識與能力，遠比別人強加的要理解得透徹、掌握得更好，也更具有實用性，一般來說還可以保持較長久的記憶。

（2）“再創造”包含了發現，而發現是一種樂趣，因而通過“再創造”來進行學習能引起學生的興趣，并激發學生深入探索研究的學習動力。

（3）通過“再創造”方式，可以進一步促使人們借助自身的體驗形成這樣的觀念：數學是一種人類活動，數學教學也是一種人類的活動。

（4）再創造教學注重展示教師的原創和學生的原創，師生情感交融，課堂氣氛融洽。民主寬松的學習氛圍保護了學生的興趣的增長。

（5）再創造教學注重運用元認知提問的策略，促進學生構建新的知識結構和認知結構，使學生能有效地進行學習。

（6）再創造教學注重學生對知識、規律的再發現、再創造，因而學生在碰到變式的問題和新問題時，更具有創造力和遷移知識的能力。

當然，在學生創造的自由性和教師的指導性之間，在學生學習的自主性和教師的強迫性之間以及在學生取得自己的樂趣和滿足教師的要求之間，怎樣達到一種平衡，還是有待進一步探索的問題。

參考文獻：

[1]李秋嘉.再創造數學教學模式的實踐[D].東北師范大學，2003.

[2]唐瑞芬.數學教學理論選講[M].華東師范大學出版社，2000.

（作者單位 江蘇省常熟市白茆中學）

片段二：

師：有紅、黃、藍、白、黑小球各1只，

（1）任取3只放入一個盒子里，有多少種不同的盛球方法？

生21：加法原理。

在性質2的學習中，更多的創設了現實情景，學生不僅從不同的情景中獲得了知識，而且學會了分析問題的分類的思想方法，體現了“現實數學”的原則，這是“再創造”原理的理論依據。

最后，性質2也同樣要進行證明并會進行變形應用。因為數學教學不能停留在直觀和操作水平，必須發展到“形式化”階段，在抽象層次上思維。

引申片段：組合數求和公式C1n+C2n+…+Cnn=2n-1的“再創造”教學現實情景：教室里有6盞電燈，開燈照明有幾種不同的方法？

三、對教學案例的再思考

1.數學教學引導學生自己重新發現那些客觀上已經存在，但對學生來說是“新”的數學概念、公式、定理、法則等。

2.本課例體現“再創造”教學的作用

（1）通過自身活動所獲得的知識與能力，遠比別人強加的要理解得透徹、掌握得更好，也更具有實用性，一般來說還可以保持較長久的記憶。

（2）“再創造”包含了發現，而發現是一種樂趣，因而通過“再創造”來進行學習能引起學生的興趣，并激發學生深入探索研究的學習動力。

（3）通過“再創造”方式，可以進一步促使人們借助自身的體驗形成這樣的觀念：數學是一種人類活動，數學教學也是一種人類的活動。

（4）再創造教學注重展示教師的原創和學生的原創，師生情感交融，課堂氣氛融洽。民主寬松的學習氛圍保護了學生的興趣的增長。

（5）再創造教學注重運用元認知提問的策略，促進學生構建新的知識結構和認知結構，使學生能有效地進行學習。

（6）再創造教學注重學生對知識、規律的再發現、再創造，因而學生在碰到變式的問題和新問題時，更具有創造力和遷移知識的能力。

當然，在學生創造的自由性和教師的指導性之間，在學生學習的自主性和教師的強迫性之間以及在學生取得自己的樂趣和滿足教師的要求之間，怎樣達到一種平衡，還是有待進一步探索的問題。

參考文獻：

[1]李秋嘉.再創造數學教學模式的實踐[D].東北師范大學，2003.

[2]唐瑞芬.數學教學理論選講[M].華東師范大學出版社，2000.

（作者單位 江蘇省常熟市白茆中學）

片段二：

師：有紅、黃、藍、白、黑小球各1只，

（1）任取3只放入一個盒子里，有多少種不同的盛球方法？

生21：加法原理。

在性質2的學習中，更多的創設了現實情景，學生不僅從不同的情景中獲得了知識，而且學會了分析問題的分類的思想方法，體現了“現實數學”的原則，這是“再創造”原理的理論依據。

最后，性質2也同樣要進行證明并會進行變形應用。因為數學教學不能停留在直觀和操作水平，必須發展到“形式化”階段，在抽象層次上思維。

引申片段：組合數求和公式C1n+C2n+…+Cnn=2n-1的“再創造”教學現實情景：教室里有6盞電燈，開燈照明有幾種不同的方法？

三、對教學案例的再思考

1.數學教學引導學生自己重新發現那些客觀上已經存在，但對學生來說是“新”的數學概念、公式、定理、法則等。

2.本課例體現“再創造”教學的作用

（1）通過自身活動所獲得的知識與能力，遠比別人強加的要理解得透徹、掌握得更好，也更具有實用性，一般來說還可以保持較長久的記憶。

（2）“再創造”包含了發現，而發現是一種樂趣，因而通過“再創造”來進行學習能引起學生的興趣，并激發學生深入探索研究的學習動力。

（3）通過“再創造”方式，可以進一步促使人們借助自身的體驗形成這樣的觀念：數學是一種人類活動，數學教學也是一種人類的活動。

（4）再創造教學注重展示教師的原創和學生的原創，師生情感交融，課堂氣氛融洽。民主寬松的學習氛圍保護了學生的興趣的增長。

（5）再創造教學注重運用元認知提問的策略，促進學生構建新的知識結構和認知結構，使學生能有效地進行學習。

（6）再創造教學注重學生對知識、規律的再發現、再創造，因而學生在碰到變式的問題和新問題時，更具有創造力和遷移知識的能力。

當然，在學生創造的自由性和教師的指導性之間，在學生學習的自主性和教師的強迫性之間以及在學生取得自己的樂趣和滿足教師的要求之間，怎樣達到一種平衡，還是有待進一步探索的問題。

參考文獻：

[1]李秋嘉.再創造數學教學模式的實踐[D].東北師范大學，2003.

[2]唐瑞芬.數學教學理論選講[M].華東師范大學出版社，2000.

（作者單位 江蘇省常熟市白茆中學）