淺談“再創(chuàng)造”原理在《組合數(shù)的兩個性質(zhì)》教學(xué)中的運(yùn)用

嚴(yán)麗花

摘 要：在多年的數(shù)學(xué)教學(xué)中，堅(jiān)持融“再創(chuàng)造”原理于日常的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，以《組合數(shù)的兩個性質(zhì)》的課堂教學(xué)為例談?wù)剬Α霸賱?chuàng)造”原理的認(rèn)識和本課型設(shè)計的依據(jù)。

關(guān)鍵詞：再創(chuàng)造；組合數(shù)的性質(zhì)；運(yùn)用

已有研究表明根據(jù)“再創(chuàng)造”教學(xué)理論構(gòu)建的“再創(chuàng)造”數(shù)學(xué)教學(xué)模式和教學(xué)實(shí)踐對于學(xué)生的學(xué)和教師的教能起到如下作用：

1.“再創(chuàng)造”數(shù)學(xué)教學(xué)模式有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣和轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)態(tài)度。

2.“再創(chuàng)造”數(shù)學(xué)教學(xué)模式有利于發(fā)揮學(xué)生的主體作用。

3.“再創(chuàng)造”數(shù)學(xué)教學(xué)模式有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新精神。

4.“再創(chuàng)造”數(shù)學(xué)教學(xué)模式給學(xué)生以成功的體驗(yàn)。

5.“再創(chuàng)造”數(shù)學(xué)教學(xué)模式有利于教師教學(xué)方式和學(xué)生學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變。

筆者在多年的職教數(shù)學(xué)教學(xué)中，堅(jiān)持融“再創(chuàng)造”原理于日常的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，本文以《組合數(shù)的兩個性質(zhì)》的課堂教學(xué)為例談?wù)剬Α霸賱?chuàng)造”原理的認(rèn)識和本課型設(shè)計的依據(jù)。

一、對“再創(chuàng)造”原理的認(rèn)識

“再創(chuàng)造”原理是荷蘭數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾關(guān)于數(shù)學(xué)教學(xué)方法的基本思想。弗賴登塔爾認(rèn)為，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一正確方法是實(shí)行“再創(chuàng)造”，也就是由學(xué)生本人把要學(xué)的東西自己去發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出來；教師的任務(wù)是引導(dǎo)和幫助學(xué)生去進(jìn)行這種再創(chuàng)造的工作，而不是把現(xiàn)成的知識灌輸給學(xué)生。

弗賴登塔爾關(guān)于“再創(chuàng)造”的論述要點(diǎn)如下：

1.數(shù)學(xué)是最容易創(chuàng)造的一種科學(xué)

數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)上是人們常識的系統(tǒng)化。教師不必將各種規(guī)則、定律灌輸給學(xué)生，而應(yīng)該創(chuàng)造合適的條件，提供很多具體的例子，讓學(xué)生在實(shí)踐的過程中，自己進(jìn)行“再創(chuàng)造”出各種運(yùn)算法則，或是發(fā)現(xiàn)有關(guān)的各種公式、定律。

2.每個人都應(yīng)按照自己的特點(diǎn)重新創(chuàng)造數(shù)學(xué)知識

歷史上很多數(shù)學(xué)原理是在世界各個地方由不同學(xué)者分別獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)的。數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史如此，個人學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的進(jìn)程也同樣如此，每個人在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，都可以根據(jù)自己的體驗(yàn)，用自己的思維方式，重新創(chuàng)造有關(guān)的數(shù)學(xué)知識。

3.每個人有不同的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”，因而可達(dá)到不同的水平

由于每個人具有的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”和思維水平不同，因此可以追述并達(dá)到的水平也不相同，每個學(xué)生應(yīng)充分享有“再創(chuàng)造”的自由。教師則應(yīng)通過適當(dāng)?shù)膯l(fā)，引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)反思，使學(xué)生的創(chuàng)造活動由不自覺或盲目的狀態(tài)，發(fā)展為有意識、有目的的創(chuàng)造活動。

4.“再創(chuàng)造”的基本程序

反思是數(shù)學(xué)化過程中的一種重要活動。必須讓學(xué)生學(xué)會反思，對自己的判斷、活動、語言表達(dá)等進(jìn)行思考并加以證實(shí)，以便意識到深藏在自身行為后面的實(shí)質(zhì)，只有這種以反思為核心的數(shù)學(xué)教育才能使學(xué)生實(shí)現(xiàn)“再創(chuàng)造”。

5.“再創(chuàng)造”應(yīng)貫穿于數(shù)學(xué)教育的全過程

應(yīng)將數(shù)學(xué)教育作為一個活動過程來加以分析。在整個過程中，學(xué)生應(yīng)該始終積極參與，感覺到創(chuàng)造的需要，才有可能進(jìn)行“再創(chuàng)造”。教師的任務(wù)就是為學(xué)生提供廠闊的天地，聽任各種不同思維、不同方法自由發(fā)展，決不可對內(nèi)容作任何限制，更不應(yīng)對其發(fā)現(xiàn)設(shè)置任何預(yù)先的“圈套”。

二、《組合數(shù)的兩個性質(zhì)》教學(xué)案例設(shè)計片段

生4：第二個式子中的分子、分母約去7，6，5，4就和第一個式子一樣了。

師：有沒有不一樣的地方？

生5：第一個式子計算簡單。

師：答案一樣是巧合？還是……

生6：是規(guī)律。因?yàn)镃310=C710。

師：你怎么知道的？

生6：我看了書。

師：你能不能再說出幾個和它類似的規(guī)律？

生7：能。C38=C58，C29=C79…

師：大家驗(yàn)證一下，看看這個規(guī)律對不對？

（請兩位學(xué)生板演，其余學(xué)生在本子上演算）

生（齊）：對的。

師：如果兩個式子的答案一樣，你愿意用哪一個式子來進(jìn)行計算？

生7：肯定是數(shù)字小的那個式子。

師：哪個數(shù)字小？說具體點(diǎn)。

生7：上標(biāo)的數(shù)字小。

師：也就是選出的人數(shù)少的那個式子。

生（齊）：對。

師：下面請同學(xué)們結(jié)合實(shí)際問題解釋一下兩個式子的答案為什么一樣？

生8：因?yàn)椋?）是從一個小組10個人中選出3個人后，還剩下7個人，每次選3個人的組合與每次選剩下的7個人的組合是一一對應(yīng)的；同理（2）是從一個小組10個人中選出7個人后，還剩下3個人，每次選7個人的組合與每次選剩下的3個人的組合是一一對應(yīng)的。

師：把問題的實(shí)際意義去掉，成了什么問題？

生9：（1）就是從10個元素中取出3個元素后，還剩下（10-3）個元素，每次選3個元素的組合與每次選剩下的（10-3）個元素的組合是一一對應(yīng)的；同理（2）就是從10個元素中選出7個元素后，還剩下（10-7）個元素，每次選7個元素的組合與每次選剩下的（10-7）個元素的組合是一一對應(yīng)的。

師：用什么式子來表示？

生（齊）：C310=C10-310或C710=C10-710。

師：能不能更一般化？

生10：能，就是從n個元素中取出m個元素后，還剩下（n-m）個元素，每次選m個元素的組合與每次選剩下的（n-m）個元素的組合是一一對應(yīng)的。

師：用式子怎么表示？

生（齊）：即Cmn=Cn-mn。

至此，水到渠成，學(xué)生不僅自己得出了組合數(shù)的性質(zhì)1，還知道了在什么情況下如何來利用性質(zhì)1進(jìn)行簡化計算，學(xué)生在自然完成水平數(shù)學(xué)化以后，就能以組合數(shù)的計算公式來進(jìn)行證明，達(dá)到垂直數(shù)學(xué)化的程度，這也正是數(shù)學(xué)教育的目的所在，即不能停留在直觀層面上，應(yīng)上升為理性的邏輯推理。

片段二：

師：有紅、黃、藍(lán)、白、黑小球各1只，

（1）任取3只放入一個盒子里，有多少種不同的盛球方法？

生21：加法原理。

在性質(zhì)2的學(xué)習(xí)中，更多的創(chuàng)設(shè)了現(xiàn)實(shí)情景，學(xué)生不僅從不同的情景中獲得了知識，而且學(xué)會了分析問題的分類的思想方法，體現(xiàn)了“現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)”的原則，這是“再創(chuàng)造”原理的理論依據(jù)。

最后，性質(zhì)2也同樣要進(jìn)行證明并會進(jìn)行變形應(yīng)用。因?yàn)閿?shù)學(xué)教學(xué)不能停留在直觀和操作水平，必須發(fā)展到“形式化”階段，在抽象層次上思維。

引申片段：組合數(shù)求和公式C1n+C2n+…+Cnn=2n-1的“再創(chuàng)造”教學(xué)現(xiàn)實(shí)情景：教室里有6盞電燈，開燈照明有幾種不同的方法？

三、對教學(xué)案例的再思考

1.數(shù)學(xué)教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生自己重新發(fā)現(xiàn)那些客觀上已經(jīng)存在，但對學(xué)生來說是“新”的數(shù)學(xué)概念、公式、定理、法則等。

2.本課例體現(xiàn)“再創(chuàng)造”教學(xué)的作用

（1）通過自身活動所獲得的知識與能力，遠(yuǎn)比別人強(qiáng)加的要理解得透徹、掌握得更好，也更具有實(shí)用性，一般來說還可以保持較長久的記憶。

（2）“再創(chuàng)造”包含了發(fā)現(xiàn)，而發(fā)現(xiàn)是一種樂趣，因而通過“再創(chuàng)造”來進(jìn)行學(xué)習(xí)能引起學(xué)生的興趣，并激發(fā)學(xué)生深入探索研究的學(xué)習(xí)動力。

（3）通過“再創(chuàng)造”方式，可以進(jìn)一步促使人們借助自身的體驗(yàn)形成這樣的觀念：數(shù)學(xué)是一種人類活動，數(shù)學(xué)教學(xué)也是一種人類的活動。

（4）再創(chuàng)造教學(xué)注重展示教師的原創(chuàng)和學(xué)生的原創(chuàng)，師生情感交融，課堂氣氛融洽。民主寬松的學(xué)習(xí)氛圍保護(hù)了學(xué)生的興趣的增長。

（5）再創(chuàng)造教學(xué)注重運(yùn)用元認(rèn)知提問的策略，促進(jìn)學(xué)生構(gòu)建新的知識結(jié)構(gòu)和認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使學(xué)生能有效地進(jìn)行學(xué)習(xí)。

（6）再創(chuàng)造教學(xué)注重學(xué)生對知識、規(guī)律的再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造，因而學(xué)生在碰到變式的問題和新問題時，更具有創(chuàng)造力和遷移知識的能力。

當(dāng)然，在學(xué)生創(chuàng)造的自由性和教師的指導(dǎo)性之間，在學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性和教師的強(qiáng)迫性之間以及在學(xué)生取得自己的樂趣和滿足教師的要求之間，怎樣達(dá)到一種平衡，還是有待進(jìn)一步探索的問題。

參考文獻(xiàn)：

[1]李秋嘉.再創(chuàng)造數(shù)學(xué)教學(xué)模式的實(shí)踐[D].東北師范大學(xué)，2003.

[2]唐瑞芬.數(shù)學(xué)教學(xué)理論選講[M].華東師范大學(xué)出版社，2000.

（作者單位 江蘇省常熟市白茆中學(xué)）

片段二：

師：有紅、黃、藍(lán)、白、黑小球各1只，

（1）任取3只放入一個盒子里，有多少種不同的盛球方法？

生21：加法原理。

在性質(zhì)2的學(xué)習(xí)中，更多的創(chuàng)設(shè)了現(xiàn)實(shí)情景，學(xué)生不僅從不同的情景中獲得了知識，而且學(xué)會了分析問題的分類的思想方法，體現(xiàn)了“現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)”的原則，這是“再創(chuàng)造”原理的理論依據(jù)。

最后，性質(zhì)2也同樣要進(jìn)行證明并會進(jìn)行變形應(yīng)用。因?yàn)閿?shù)學(xué)教學(xué)不能停留在直觀和操作水平，必須發(fā)展到“形式化”階段，在抽象層次上思維。

引申片段：組合數(shù)求和公式C1n+C2n+…+Cnn=2n-1的“再創(chuàng)造”教學(xué)現(xiàn)實(shí)情景：教室里有6盞電燈，開燈照明有幾種不同的方法？

三、對教學(xué)案例的再思考

1.數(shù)學(xué)教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生自己重新發(fā)現(xiàn)那些客觀上已經(jīng)存在，但對學(xué)生來說是“新”的數(shù)學(xué)概念、公式、定理、法則等。

2.本課例體現(xiàn)“再創(chuàng)造”教學(xué)的作用

（1）通過自身活動所獲得的知識與能力，遠(yuǎn)比別人強(qiáng)加的要理解得透徹、掌握得更好，也更具有實(shí)用性，一般來說還可以保持較長久的記憶。

（2）“再創(chuàng)造”包含了發(fā)現(xiàn)，而發(fā)現(xiàn)是一種樂趣，因而通過“再創(chuàng)造”來進(jìn)行學(xué)習(xí)能引起學(xué)生的興趣，并激發(fā)學(xué)生深入探索研究的學(xué)習(xí)動力。

（3）通過“再創(chuàng)造”方式，可以進(jìn)一步促使人們借助自身的體驗(yàn)形成這樣的觀念：數(shù)學(xué)是一種人類活動，數(shù)學(xué)教學(xué)也是一種人類的活動。

（4）再創(chuàng)造教學(xué)注重展示教師的原創(chuàng)和學(xué)生的原創(chuàng)，師生情感交融，課堂氣氛融洽。民主寬松的學(xué)習(xí)氛圍保護(hù)了學(xué)生的興趣的增長。

（5）再創(chuàng)造教學(xué)注重運(yùn)用元認(rèn)知提問的策略，促進(jìn)學(xué)生構(gòu)建新的知識結(jié)構(gòu)和認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使學(xué)生能有效地進(jìn)行學(xué)習(xí)。

（6）再創(chuàng)造教學(xué)注重學(xué)生對知識、規(guī)律的再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造，因而學(xué)生在碰到變式的問題和新問題時，更具有創(chuàng)造力和遷移知識的能力。

當(dāng)然，在學(xué)生創(chuàng)造的自由性和教師的指導(dǎo)性之間，在學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性和教師的強(qiáng)迫性之間以及在學(xué)生取得自己的樂趣和滿足教師的要求之間，怎樣達(dá)到一種平衡，還是有待進(jìn)一步探索的問題。

參考文獻(xiàn)：

[1]李秋嘉.再創(chuàng)造數(shù)學(xué)教學(xué)模式的實(shí)踐[D].東北師范大學(xué)，2003.

[2]唐瑞芬.數(shù)學(xué)教學(xué)理論選講[M].華東師范大學(xué)出版社，2000.

（作者單位 江蘇省常熟市白茆中學(xué)）

片段二：

師：有紅、黃、藍(lán)、白、黑小球各1只，

（1）任取3只放入一個盒子里，有多少種不同的盛球方法？

生21：加法原理。

在性質(zhì)2的學(xué)習(xí)中，更多的創(chuàng)設(shè)了現(xiàn)實(shí)情景，學(xué)生不僅從不同的情景中獲得了知識，而且學(xué)會了分析問題的分類的思想方法，體現(xiàn)了“現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)”的原則，這是“再創(chuàng)造”原理的理論依據(jù)。

最后，性質(zhì)2也同樣要進(jìn)行證明并會進(jìn)行變形應(yīng)用。因?yàn)閿?shù)學(xué)教學(xué)不能停留在直觀和操作水平，必須發(fā)展到“形式化”階段，在抽象層次上思維。

引申片段：組合數(shù)求和公式C1n+C2n+…+Cnn=2n-1的“再創(chuàng)造”教學(xué)現(xiàn)實(shí)情景：教室里有6盞電燈，開燈照明有幾種不同的方法？

三、對教學(xué)案例的再思考

1.數(shù)學(xué)教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生自己重新發(fā)現(xiàn)那些客觀上已經(jīng)存在，但對學(xué)生來說是“新”的數(shù)學(xué)概念、公式、定理、法則等。

2.本課例體現(xiàn)“再創(chuàng)造”教學(xué)的作用

（1）通過自身活動所獲得的知識與能力，遠(yuǎn)比別人強(qiáng)加的要理解得透徹、掌握得更好，也更具有實(shí)用性，一般來說還可以保持較長久的記憶。

（2）“再創(chuàng)造”包含了發(fā)現(xiàn)，而發(fā)現(xiàn)是一種樂趣，因而通過“再創(chuàng)造”來進(jìn)行學(xué)習(xí)能引起學(xué)生的興趣，并激發(fā)學(xué)生深入探索研究的學(xué)習(xí)動力。

（3）通過“再創(chuàng)造”方式，可以進(jìn)一步促使人們借助自身的體驗(yàn)形成這樣的觀念：數(shù)學(xué)是一種人類活動，數(shù)學(xué)教學(xué)也是一種人類的活動。

（4）再創(chuàng)造教學(xué)注重展示教師的原創(chuàng)和學(xué)生的原創(chuàng)，師生情感交融，課堂氣氛融洽。民主寬松的學(xué)習(xí)氛圍保護(hù)了學(xué)生的興趣的增長。

（5）再創(chuàng)造教學(xué)注重運(yùn)用元認(rèn)知提問的策略，促進(jìn)學(xué)生構(gòu)建新的知識結(jié)構(gòu)和認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使學(xué)生能有效地進(jìn)行學(xué)習(xí)。

（6）再創(chuàng)造教學(xué)注重學(xué)生對知識、規(guī)律的再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造，因而學(xué)生在碰到變式的問題和新問題時，更具有創(chuàng)造力和遷移知識的能力。

當(dāng)然，在學(xué)生創(chuàng)造的自由性和教師的指導(dǎo)性之間，在學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性和教師的強(qiáng)迫性之間以及在學(xué)生取得自己的樂趣和滿足教師的要求之間，怎樣達(dá)到一種平衡，還是有待進(jìn)一步探索的問題。

參考文獻(xiàn)：

[1]李秋嘉.再創(chuàng)造數(shù)學(xué)教學(xué)模式的實(shí)踐[D].東北師范大學(xué)，2003.

[2]唐瑞芬.數(shù)學(xué)教學(xué)理論選講[M].華東師范大學(xué)出版社，2000.

（作者單位 江蘇省常熟市白茆中學(xué)）