如何提高線性代數的自考通過率

王文相　夏云

摘 要： 作者分析了線性代數各部分學習內容特點，對如何學好線性代數提出了方法。

關鍵詞： 線性代數 自學考試 線性變換 特征值

線性代數（Linear Algebra）是數學的一個分支，它的研究對象是向量，向量空間（或稱線性空間），線性變換和有限維的線性方程組。向量空間是現代數學的一個重要課題。因而，線性代數被廣泛應用于抽象代數和泛函分析中；通過解析幾何，線性代數得以被具體表示。線性代數的理論已被泛化為算子理論。由于科學研究中的非線性模型通常可以被近似為線性模型，使得線性代數被廣泛應用于自然科學和社會科學中。

線性代數的主要內容是研究代數學中線性關系的經典理論。由于線性關系是變量之間比較簡單的一種關系，而線性問題廣泛存在于科學技術的各個領域，并且一些非線性問題在一定條件下，可以轉化或近似轉化為線性問題，因此線性代數所介紹的思想方法已成為從事科學研究和工程應用工作的必不可少的工具。尤其在計算機高速發展和日益普及的今天，線性代數作為高等學校工科本科各專業的一門重要的基礎理論課，其地位和作用更顯得重要。

線性代數主要研究了三種對象：矩陣、方程組和向量。這三種對象的理論是密切相關的，大部分問題在這三種理論中都有等價說法。因此，熟練地從一種理論的敘述轉移到另一種，是學習線性代數時應養成的重要習慣和形成的重要素質。如果說與實際計算結合最多的是矩陣的觀點的話，那么向量的觀點則著眼于從整體性和結構性考慮問題，因而可以更深刻、更透徹地揭示線性代數中各種問題的內在聯系和本質屬性。學習時應做到心中有數，將內容一步步分解為這些簡單問題的疊加。學習重點應放在理解和運用和計算上，老師上課時的例題很重要，要方便學生課后理解消化，學生要勤做練習加深理解，做題時應分清各類題型，舉一反三。筆者從事線性代數的教學和自考輔導工作多年，對如何學好這門課有自己的認識。

一、注重對基本概念的理解與把握，正確熟練運用基本方法及基本運算。

線性代數的概念很多，重要的有：代數余子式，伴隨矩陣，逆矩陣，初等變換與初等矩陣，正交變換與正交矩陣，秩（矩陣、向量組、二次型），等價（矩陣、向量組），線性組合與線性表出，線性相關與線性無關，極大線性無關組，基礎解系與通解，解的結構與解空間，特征值與特征向量，相似與相似對角化，二次型的標準形與規范形，正定，合同變換與合同矩陣。

我們不僅要準確把握住概念的內涵，而且要注意相關概念之間的區別與聯系。線性代數中運算法則多，應整理清楚不要混淆，基本運算與基本方法要過關，重要的有：行列式（數字型、字母型）的計算，求逆矩陣，求矩陣的秩，求方陣的冪，求向量組的秩與極大線性無關組，線性相關的判定或求參數，求基礎解系，求非齊次線性方程組的通解，求特征值與特征向量（定義法，特征多項式基礎解系法），判斷與求相似對角矩陣，用正交變換化實對稱矩陣為對角矩陣（亦即用正交變換化二次型為標準形）。

二、注重知識點的銜接與轉換，知識要成網，努力提高綜合分析能力。

線性代數從內容上看縱橫交錯，前后聯系緊密，環環相扣，相互滲透，因此解題方法靈活多變，學習時應當常問自己做得對不對，再問做得好不好。只有不斷地歸納總結，努力搞清內在聯系，使所學知識融會貫通，接口與切入點多了，熟悉了，思路自然就開闊了。例如：設A是m×n矩陣，B是n×s矩陣，且AB=0，那么用分塊矩陣可知B的列向量都是齊次方程組Ax=0的解，再根據基礎解系的理論和矩陣的秩與向量組秩的關系，可以有r（B）≤n-r（A），即r（A）+r（B）≤n，進而可求矩陣A或B中的一些參數。上述例題說明，線性代數各知識點之間有著千絲萬縷的聯系，代數題的綜合性與靈活性較大，同學們整理時要注重串聯、銜接與轉換。

三、注重邏輯性與敘述表述。

線性代數對于抽象性與邏輯性有較高的要求，通過證明題可以了解考生對數學主要原理、定理的理解與掌握程度，考查考生的抽象思維能力、邏輯推理能力。復習整理時，應當搞清公式、定理成立的條件，不能張冠李戴，同時還要注意語言的敘述表達應準確、簡明。

自學考試的特點是難度不大，考點廣泛，要求基礎扎實，面面俱到。每年的考卷內容變化不是太大，基礎題重復出現的機會較大。在學習過程中，把概念搞清楚、內容理順后，對往年的真題進行大量的強化練習，相信一定會取得好成績。

參考文獻：

[1]雷晉干，陳銘俊，匡蛟勛，沈祖和.數值分析的泛函方法[M].高等教育出版社，1996.

[2]王文相，后六生.利用吸引盆推廣Hadamard-Levy定理[J].池州師專學報，2005-5.endprint