概率論極限理論的研究

黃兆霞

(安康學院 數學與統計系，陜西 安康 725000)

0 引言

概率論是從數量上研究隨機現象的規律性的數學學科，它在自然科學、技術科學、社會科學和管理科學中都有廣泛的應用，因此從20世紀三十年代以來，發展非常迅速，而且不斷地有新的分支學科出現。概率極限理論就是其中一個主要的分支，也是概率統計學科中極為重要的基礎理論。關于經典的獨立隨機變量的概率極限理論，在20世紀三四十年代已獲得完善的發展，其基本結果被總結在Gnedenko和Kolmogorov的專著《相互獨立隨機變量和的極限分布》[1]及Petrov的專著《獨立隨機變量和的極限定理》[2]中。事實上，非獨立的隨機變量和的極限分布也曾被若干概率統計學家所研究，如Hopf[3]，Hoeffding和Robbins[4]等。但由于在許多實際問題中，經常會遇到非獨立隨機變量的情形。因此，在50年代，隨機變量的相依性概念就已在概率論和數理統計的某些分支中被提了出來，并引起了許多概率統計學家的興趣和研究，取得了不少研究成果，1997年以前的許多結果被總結在陸傳榮、林正炎的專著《混合相依變量的極限理論》[5]中。而其中的隨機變量可交換性已成為當前概率極限理論研究的重要的方向之一。

1 可交換隨機變量的研究進展

隨機變量可交換性的概念最早是由De Finetti[6]在1930年提出來的，可交換隨機變量無限序列著名的特性是其基本結構定理De Finetti定理，即可交換隨機變量的無限列以其尾σ-代數為條件是獨立同分布的。但在早期隨機變量的可交換性并沒有引起概率學者們的注意，人們對可交換性了解還很片面。正如Alouds所指出的那樣：“如果你在1970年問及一概率學者，可交換性講些什么內容？你得到的回答很可能是，除了De Finetti定理外，還有什么呢？”人們利用De Finetti定理已作出了一些結果。但是值得指出的是De Finetti定理僅對可交換隨機變量無限列成立，Chernoff和Teicher已經給出了例子說明：存在這樣的可交換隨機變量有限列，它不能嵌入到可交換隨機變量無限列中去，因此，對于可交換的有限列，必須尋找另外的辦法解決其漸近性質的問題，人們利用逆鞅的方法已給出了這方面的一些結果。

既然可交換隨機變量無限列是條件獨立同分布的，當然可以期望可交換隨機變量無限列具有類似于獨立同分布列的一些性質。許多學者已經把獨立同分布隨機變量的一些結論推廣到了可交換隨機變量。

概率論既是觀察世界的一種基本方法，也象幾何、代數和分析一樣是一門核心數學學科，最近幾年，作為科學探索的一種獨具特色的方法，概率推理的顯著功效已經導致了概率理論在科學研究中的重要性的增加，并且一直在統計學中起中心作用。在物理學、遺傳學和信息論中所常見的概率方法，最近已經在許多其他學科，包括金融、地球科學、神經學、人工智能和通訊網絡中成為不可缺少的方法，概率論的影響越來越大。概率極限理論是概率論的主要分支之一，也是概率論的其它分支和數理統計的重要基礎。前蘇聯著名數學家科爾莫戈羅夫和格涅堅科在評論概率論極限理論時曾說過：“概率論的認識論的價值只有通過極限定理才能被揭示，沒有極限定理就不可能去理解概率基本概念的真正含義。”極限理論的基本內容是每一個概率統計工作者必須掌握的知識與工具。19世紀20年代以前，中心極限定理是概率論研究的中心課題，經典極限理論是概率論發展史上的重要成果。近代極限理論得研究方興未艾，它不僅深化了經典理論的許多基本結果，也極大地拓展了自己的研究領域，極限理論仍是眾多學者研究的重要課題之一。

2 國內外研究現狀及分析

概率極限理論一直以來就是眾多學者研究的課題，得到了許多深刻而有實際意義的結果。由于獨立隨機變量有著優良的極限性質，因此人們對這類隨機變量已獲得許多經典的結果，象Talor，Katz和Baum，Robbins和Hsu等，另外Petrov的專著《獨立隨機變量和的極限理論》，Gnedenko，Kolmogorov的專著 《相互獨立隨機變量和的極限分布》也都介紹了有關獨立隨機變量極限理論方面的豐富內容。隨著概率極限理論方面的不斷完善和發展，概率測度收斂和強逼近理論等現代極限理論也被許多學者研究；源于實際問題的需要，相依隨機變量引起了人們廣泛的關注， 如 Bernstein，Hopf，Blum，Chernoff，Teicher，Weber，Peligrad，Joag-Dev和Lai等學者對此做過系統而深入的研究。與此同時，國內許多學者像林正炎，邵啟滿，張立新，蘇中根，蘇淳等也做了大量深入地研究，并獲得了一系列完美的結果。

De Finetti在1930年最早提出了可交換性的概念，并且給出了可交換隨機變量無限序列的基本結構定理De Finetti定理，它指出可交換隨機變量無限序列以代數為條件是獨立同分布的。之后許多學者對可交換做了一系列研究，Blum等得到了可交換隨機變量序列滿足中心極限定理的充要條件，Taylor給出了按行可交換 (即對固定的每一行，都是一列可交換隨機變量序列)隨機變量組列的大數定律，以及配重和的極限定理，Taylor和Hu也給出了可交換隨機變量的強大數定律成立的充要條件，利用Berry-Esseen方法討論了可交換隨機變量序列部分和的中心極限問題，得到了可交換隨機變量序列部分和的分布收斂到正態分布的最優收斂速度。鞅方法和逆鞅方法在概率極限理論中是很重要的，自從Weber首先利用鞅方法研究可交換隨機變量列的中心極限定理以來，人們普遍注意到了鞅方法的重要性，Partterson和Taylor利用逆鞅方法討論了實值和B-值可交換列的大數定律，Eagleson利用鞅方法討論了可交換列的弱收斂性，李應富和王向忱利用了逆鞅和截尾方法在較弱的矩條件下討論了行－列可交換隨機變量組列的大數定律，由此也得出了類似于Mcginley和Sibsoh的結果。

［1］B.V.Gnedenko,A.M.Kolmogorov.LimitDistributionsforSumsof Independent Random Variables.Nauka,Moscow(Russion),1949,English Edition:Reading,Mass:Addision-wesley,1954[M].

［2］A.Gut.Precise Asympototics for Record Times and the Associated Counding Process[J].Stoch Proc Appl,2002(101):233-239.

［3］E.Hopf,Ergodentheorie,Ergebnisse der Math[M].Springer-Verlag,Berlin,1937,5.