雨滴下落過程中的運動圖像究竟如何

顧俊琪

（鹽城市教育科學研究院 江蘇 鹽城 224002）

在鹽城市2013年高三調研考試中，有這樣一道題.

題目：已知雨滴在空中運動時所受的空氣阻力為f＝kr2v2，其中k為比例系數，r為雨滴半徑，v為其運動速率.t＝0時，雨滴由靜止開始下落，加速度用a表示.落地前雨滴已做勻速運動，速率為v0.下列圖像中正確的是

圖1

命題教師給出的參考答案是A，B，C.在評講這道題時，有學生對A，B答案產生疑問.本文擬對這個問題從兩種不同情況展開討論.

1 雨滴受到的空氣阻力與下落速率成正比

假設雨滴的質量為m，下落過程中t時刻的速率為v，如果雨滴受到的空氣阻力與下落的速率成正比，即f＝kv（k為常量），根據牛頓第二定律可寫出動力學方程為

常量C應由初始條件決定.因t＝0時，v＝0，故C＝mg.于是

進一步求得雨滴在t時刻的a滿足

同樣得到

如果假設

則雨滴速度v與時間t的函數關系式為

加速度a與時間t的函數式為

根據這兩個關系式可以在幾何畫板中畫出雨滴下落的v－t和a－t圖像分別如圖2（a）和圖2（b）所示.

圖2

這兩個圖像與原題中的B與A是吻合的，但是上述討論過程中所設定的條件與原題中給出的條件是明顯不同的.

2 雨滴受到的空氣阻力與下落速率的平方成正比

如果雨滴受到的空氣阻力與下落速率的平方成正比，仍可用上述方法求解其速度v，加速度a與時間t的關系，由于求解過程非常煩瑣，現直接使用結果 畫出相應的圖像.假設m＝0.1×1 0－3k g，k′＝2.5×10－6N·s2／m2，根據所得的關系式可以在幾何畫板中畫出該情況下雨滴下落的v－t和a－t圖像分別如圖3（a）和圖3（b）所示.

圖3（a）與原題中的B相比，形狀接近，如果只是定性描述，可以忽略其差異.圖3（b）與原題中的A相比，有很大區別，不能混淆.現在用另一方法對圖3（b）的物理意義做進一步分析.

圖3

雨滴受到的空氣阻力與下落速率平方成正比，即f＝k′v2（k′為常量），根據牛頓第二定律可寫出相應的動力學方程為

對式（4）兩邊求導，得

亦即

由式（5）也可以知道，當v與a乘積最大時，該點切線斜率的值最大，過該點的切線最陡.可以通過數學方法進一步求得v與a乘積最大時的條件.

用f（v）表示a－t圖像切線斜率隨速率變化的函數，把式（4）得到的加速度表達式代入式（5）得

對函數f（v）求一階導數，并令f′（v）＝0得

即

由式（5）還可以知道，當雨滴下落速率達到最大時，其加速度為零，a－t圖像上過該點的切線斜率為零.此時

所以

3 小結

事實上，雨滴在空氣中下落的情況是非常復雜的.如果雨滴剛下落的高度比較高，則運動過程中重力加速度是不會保持不變的.雨滴的質量也要隨著高度的降低而變化，有的要吸附其他的小雨滴而變大，有的要因為汽化而減小.雨滴受到的空氣阻力也不是一成不變的，速率小時可看成與速率成正比，速率大時則與速率平方成正比.正因為如此，本文討論的兩種情況是從實際情景中抽象出的理想化模型.