小球在圓弧形滑塊上運(yùn)動(dòng)的力學(xué)問(wèn)題研究

何述平

（西北師范大學(xué)教育學(xué)院物理教育研究所 甘肅 蘭州 730070）

1 引言

一個(gè)典型力學(xué)問(wèn)題如下：如圖1，質(zhì)量為M，具有半徑為R的圓弧形面的物塊位于光滑水平面上，質(zhì)量為m的小球自光滑圓弧面頂端滑下，最初物塊和小球都處于靜止?fàn)顟B(tài).求小球脫離物塊時(shí)小球和物塊的速度［1，2］.其解答為：水平面為參照系，m脫離M時(shí)的速度方向均沿水平方向，由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒求得速度大小［1］.

圖1

然而，m和M分別相對(duì)于水平面做何種運(yùn)動(dòng)？速度如何？位移如何？作用力怎樣？功–能又怎樣？似乎避而不談，以致不甚明確；再者，解決此問(wèn)題的物理學(xué)方法論有何特色？中學(xué)物理可合理解決到什么程度？

本文就此進(jìn)行相應(yīng)的探究，以期獲得較完備的解答，并為此問(wèn)題的開(kāi)放式教學(xué)奠定堅(jiān)實(shí)的物理理論基礎(chǔ).

2 探究

為了更加明晰起見(jiàn)，探究不局限于此題設(shè)問(wèn)題，以獲得此問(wèn)題的盡可能完備的信息.

以水平面為參照系（慣性系），分別以小球、物塊為研究對(duì)象，受力如圖2所示.

圖2

在水平面沿水平x方向、豎直y方向建立坐標(biāo)系O－xy.依據(jù)牛頓第二定律，分別對(duì)m和M有

依據(jù)牛頓第三定律有（大小關(guān)系）

由式（1）～ （5）知，m和M分別相對(duì)水平面可能做非勻變速直線運(yùn)動(dòng)（x，y方向）.

2.1 速度特點(diǎn)

設(shè)u為m相對(duì)M的速度大小（方向沿圓弧切向），vm與vM分別為m與M相對(duì)水平面的速度大小；則有

由式（1）、（3）和（5）得

式（9）對(duì)時(shí)間0～t積分，得

式（10）也可直接由質(zhì)點(diǎn)系（m＋M）的水平方向動(dòng)量守恒推得.由式（7）、（10）得

由式（7）、（8）和圖2可知，m相對(duì)M的元位移udt與m受M的彈性力N正交；依據(jù)質(zhì)點(diǎn)系一對(duì)內(nèi)力做功的特點(diǎn)——一對(duì)內(nèi)力做的總功僅決定于相互作用力和相對(duì)位移［3］，可定性推知，一對(duì)彈性內(nèi)力N和N′做的總功等于零；則質(zhì)點(diǎn)系（m＋M＋地球）的機(jī)械能守恒，有

由式（11）、（8）、（12）、（13）得

將式（14）分別代入（8）、（11）、（12）得

式（14）、（15）、（16）、（17）表明，u，vmx，vmy，vMx均是位置角參量的函數(shù)，即隨θ的變化而變化；特別當(dāng)m脫離M時(shí)，有

式（19）、（21）同運(yùn)用質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒推得的結(jié)果［1］.

由式（14）、（15）、（16）、（17）通過(guò)數(shù)學(xué)可嚴(yán)格推證（由相應(yīng)速度對(duì)位置角的一階導(dǎo)數(shù)等于零，得合理的極值位置角；再由二階導(dǎo)數(shù)的極值位置角的值小于零和位置角的變化范圍，可推知此位置角對(duì)應(yīng)最大值均取最大值；而當(dāng)θ取最大值

由式（6）、（14）得

式（22）表明，不僅θ是t的函數(shù)，而且隨θ的變化而變化.因此，由式（14）、（22）知，m相對(duì)M做變速圓周運(yùn)動(dòng)；由式（15）、（16）、（17）、（22）知，m和M分別相對(duì)水平面做非勻變速直線運(yùn)動(dòng)（x和y方向）.

2.2 位移特點(diǎn)

m相對(duì)水平面的水平元位移大小為

由式（6）、（11）、（23）得

同理，由式（6）、（8）、（12）得

式（24）、（25）、（26）分別對(duì)0～θ積分，得

式（27）、（28）、（29）表明，xm，ym，xM均隨θ變化；特別有

由式（27）、（28）、（29）和θ的變化范圍可直接知時(shí)，xm，ym，xM均取最大值.

2.3 加速度特點(diǎn)

式（14）、（15）、（16）、（17）分別對(duì)t求導(dǎo)，再結(jié)合式（22）得

由式（33）、（34）、（35）、（36）通過(guò)數(shù)學(xué)可嚴(yán)格推證（由相應(yīng)加速度對(duì)位置角的一階導(dǎo)數(shù)等于零，得合理的極值位置角；再由二階導(dǎo)數(shù)的極值位置角的值小于零和位置角的變化范圍，可推知此位置角對(duì)應(yīng)最大值）.當(dāng)k＜5，

時(shí)，amx，aMx取最大值時(shí)，amy分別取最大值和最小值；

2.4 作用力特點(diǎn)

由式（1）、（4）、（5）及式（34）得

式（41）、（42）表明，N，F(xiàn)均隨θ變化；因而再次說(shuō)明m，M分別相對(duì)水平面做非勻變速直線運(yùn)動(dòng)（x，y方向）；特別有

由式（41）、（42）通過(guò)數(shù)學(xué)可嚴(yán)格推證（由相應(yīng)作用力對(duì)位置角的一階導(dǎo)數(shù)等于零，得合理的極值位置角；再由二階導(dǎo)數(shù)的極值位置角的值小于零和位置角的變化范圍，可推知此位置角對(duì)應(yīng)最大值）：當(dāng)時(shí)，N，F(xiàn)均取最大值.

2.5 功-能特點(diǎn)

由式（24）、（25）、（26）及式（41）、（5）推得，質(zhì)點(diǎn)系（m＋M）的一對(duì)彈性內(nèi)力N和N′的元功和等于零，即

由式（45）知，雖然一對(duì)彈性內(nèi)力N和N′做的總功等于零，但卻做了功，其效果僅使質(zhì)點(diǎn)系（m＋M＋地球）的機(jī)械能轉(zhuǎn)化（m的重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為豎直方向m的動(dòng)能和水平方向m，M的動(dòng)能），從而使質(zhì)點(diǎn)系的機(jī)械能守恒［式（45）是一對(duì)彈性內(nèi)力N和N′做的總功等于零的定量推證］.

3 討論

3.1 方法

上述探究借鑒了相似力學(xué)問(wèn)題的解法［4］，概括上述探究運(yùn)用的物理學(xué)方法，主要有隔離法、理想模型法、運(yùn)動(dòng)分解法、相對(duì)運(yùn)動(dòng)法、系統(tǒng)法、微分法、積分法（數(shù)學(xué)方法）.

從上述速度特點(diǎn)的探究中可明顯看出，涉及運(yùn)動(dòng)分解法、相對(duì)運(yùn)動(dòng)法、系統(tǒng)法，并以系統(tǒng)法（僅考慮動(dòng)量、能量，表現(xiàn)為簡(jiǎn)捷性）為主；因不細(xì)致考慮質(zhì)點(diǎn)系的彈力內(nèi)力，從而運(yùn)用系統(tǒng)法無(wú)法確定彈力內(nèi)力.從上述作用力特點(diǎn)的探究中可明顯看到，涉及隔離法、理想模型法、運(yùn)動(dòng)分解法，并以隔離法（考慮作用力、加速度，表現(xiàn)為精細(xì)性）為主；因細(xì)致考慮各質(zhì)點(diǎn)的各作用力，從而運(yùn)用隔離法精細(xì)確定各作用力.

3.2 教學(xué)

就大學(xué)普通物理而言，不應(yīng)僅僅滿足于此典型力學(xué)問(wèn)題的解決，而應(yīng)盡可能達(dá)到全面、深入的認(rèn)識(shí)，更應(yīng)從物理學(xué)方法論方面提升.

或許，從大學(xué)普通物理居高臨下地審視中學(xué)基礎(chǔ)物理，可使物理問(wèn)題的認(rèn)識(shí)更深、更廣.若從中學(xué)基礎(chǔ)物理層次僅僅求此典型力學(xué)問(wèn)題的水平位移大小［5］，則目前基本無(wú)能為力.因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)間的相互作用力是變力，兩質(zhì)點(diǎn)分別相對(duì)水平面沿水平方向做初速為零的非勻變速直線運(yùn)動(dòng)，要求水平位移大小，就不得不涉及微積分；而中學(xué)基礎(chǔ)物理目前不涉及微積分，這就使得從中學(xué)基礎(chǔ)物理層次合理求此問(wèn)題的水平位移大小成為不可能.然而，就中學(xué)基礎(chǔ)物理而言，可有理有據(jù)地解決此問(wèn)題中的速度問(wèn)題；可理解、可操作的推理有式（7）、（8）、（10）、（11）、（12）、（13）以及式（14）、（15）、（16）、（17）和式（18）、（19）、（20）、（21）；運(yùn)用的物理學(xué)方法主要有理想模型法、運(yùn)動(dòng)分解法、相對(duì)運(yùn)動(dòng)法、系統(tǒng)法.

4 結(jié)語(yǔ)

本文深入、細(xì)致地探究了一個(gè)看似簡(jiǎn)單的典型力學(xué)問(wèn)題，不僅獲得了此問(wèn)題的盡可能完備的信息——速度、位移、加速度、作用力、功–能的特點(diǎn)，深化了對(duì)此問(wèn)題的理性認(rèn)識(shí)；而且討論了解決此問(wèn)題運(yùn)用的主要物理學(xué)方法，從大學(xué)普通物理、中學(xué)基礎(chǔ)物理兩個(gè)層次討論了此典型力學(xué)問(wèn)題教學(xué)的可行的要點(diǎn)，從而為此問(wèn)題的開(kāi)放式教學(xué)奠定了堅(jiān)實(shí)的物理理論基礎(chǔ).本文不但提供了解決非勻變速直線運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的實(shí)例，而且可作為從大學(xué)普通物理看待中學(xué)基礎(chǔ)物理問(wèn)題的實(shí)例.

1 胡盤(pán)新，孫迺疆.普通物理學(xué)（第5版）習(xí)題分析與解答.北京：高等教育出版社，2003.87～88

2 Kleppner D，Kolenkow R J.力學(xué)引論.寧遠(yuǎn)源，等譯.北京：人民教育出版社，1980.236

3 漆安慎，杜嬋英.力學(xué)基礎(chǔ).北京：高等教育出版社，1982.195～196

4 謝寶田，周友明，馮麟保.理論力學(xué)教程習(xí)題解.北京：中國(guó)科學(xué)技術(shù)出版社，1991.93～95

5 劉炳昇.走進(jìn)高中新課改：物理教師必讀.南京：南京師范大學(xué)出版社，2005.151