彈簧勁度系數精確測量研究

有四普 夏清華 左 偉 曾 軍

（湖北文理學院物理與電子工程學院 湖北 襄陽 441053）

彈簧是一種常見的物體，在實際生活中的應用范圍比較廣且非常重要，彈簧也經常出現在精密儀器中，因此能準確知道彈簧的勁度系數在實際生產應用中是很有意義的.故而如何精確測量彈簧勁度系數也成了一個很有意義的工作，本文對傳統實驗教學方法進行了改進和創新，利用彈簧振子做簡諧振動的特性來實現對彈簧勁度系數的測量.

1 教學中傳統實驗法對彈簧勁度系數測量的缺陷

教學中對彈簧勁度系數測量的傳統實驗法缺陷分別為：

（1）利用胡克定律測彈簧勁度系數的缺陷是彈簧自身重力和長度測量對實驗精度的影響；

（2）傳統的利用彈簧振子在氣墊導軌上做簡諧振動測彈簧勁度系數的缺陷是彈簧振子來回做簡諧振動時受到氣流粘滯阻力的影響，使實驗得到的數據并不精準.

2 彈簧質量對振子運動周期影響的理論分析

對于一個確定的彈簧其勁度系數是確定的，為κ，振子與彈簧本身的質量分別為M和m，而彈簧的圓頻率ω和κ滿足以下表達式［1，2］

對式（1）進行極限分析得到彈簧振子的周期關系式

可見對于已知彈簧來說彈簧振子的質量對彈簧振子的振動周期有著決定性的作用，因此在利用彈簧振子做簡諧運動來測彈簧的勁度系數時要根據選擇的振子的質量來選擇實驗的原理公式，即要對理想情況下做簡諧運動的彈簧振子的周期公式做相應的修正.一般來說彈簧的簧絲越細、簧圈的節高越小、彈簧的形變越小、彈簧的匝數越多，彈簧的彈性性質越接近理想彈性狀態［3］.

3 改進后實驗的優點

在同等實驗環境的情況下對實驗方法與原理做了如下改進，使得傳統實驗法中的缺陷得到了克服.新實驗原理采用簡諧振動法測彈簧勁度系數，克服了胡克法實驗中彈簧自身重力和長度測量對實驗精度的影響.新實驗法雖然也是利用簡諧振動測彈簧的勁度系數，但是在實驗過程中我們做了兩個改進使得新法要優于傳統方法，而且實驗消耗更小，

（1）對實驗原理中簡諧振動的周期表達式進行了一級和二級修正，這在原理上就已經優于傳統的實驗方法；

（2）改進了實驗操作方法，使振子在豎直方向上振動，克服了氣墊導軌氣流粘滯力對實驗數據的影響.實驗中還是使用相同的實驗儀器進行數據觀測，卻得到了更為精確的結果.

4 改進后實驗的原理

在忽略空氣阻力的情況下，彈簧振子諧振周期的一、二級修正公式分別為

則由（3）、（4）兩式彈簧的勁度系數分別為

5 改進后的實驗

本實驗采用MUJ－6B型電腦通用計數器來記錄彈簧振子的周期精度為10－1ms，采用JY2002型電子天平來測量振子的質量精度為10－2g，振子是由密度較大的銅制成，使得空氣阻力對本實驗測量精度的影響更小，彈簧勁度系數未知.實驗中的彈簧質量為11.19g.

本實驗將彈簧振子豎直懸掛，突破了傳統法中將彈簧振子水平放置的方式，因為水平放置的彈簧振子不嚴格滿足胡克定律，測出的數據比彈簧豎直放置測出的數據誤差要大［4］.將彈簧振子上端固定在鐵架臺上，在振子平衡位置附近安裝MUJ－6B型電腦通用計數器的數據采集端，安裝完成后調試好實驗儀器后進行實驗.實驗裝置如圖1所示.

圖1 測量彈簧勁度系數的實驗裝置

采用如圖1所示實驗裝置進行實驗測得的實驗數據如表1.

表1 實驗測得的數據

5.1 彈簧的勁度系數

利用貝塞爾公式對表1數據進行處理并根據拉依達準則和肖維涅準則對數據進行驗證處理知實驗所得數據全部合格，可信度很高.為了能直觀反映出彈簧勁度系數大小以及對無修正、一級修正、二級修正后得到的數據進行對比，于是對表1數據經過處理后得到彈簧的勁度系數κ，一級修正和二級修正之差a，無修正和二級修正之差b，a占二級修正的百分比c，b占二級修正的百分比d，具體處理數據如表2所示.

表2 彈簧的勁度系數

5.2 實驗分析

不妨設彈簧振子的質量M與彈簧的質量m之比為λn，其中n取1，2，3，4分別表示實驗中振子的質量為54.50g，64.44g，84.34g，104.59g這幾種情況，將實驗數據代入得

分析上式得：λ1＜λ2＜λ3＜λ4，而且根據實驗觀測數據得到的a，b，c，d值的變化趨勢剛好相反為

a，b，c，d值變化的趨勢正好反映了實驗數據的精確性隨著λn值的增大而變得更加精確，這與文獻［5］中得到的結論是一致的，同時也檢驗了本實驗觀測數據的可信度.結合實驗中的觀測數據與文獻［5］中的相關分析我們也可以得出同樣的結論：彈簧振子和彈簧的質量之比越大，彈簧振子的運動越接近于簡諧振動.

6 結論

分析表2中的數據我們可以得出如下結論：

（1）無修正和二級修正之差b是一級修正和二級修正之差a的5～10倍；

（2）修正后的數據要比無修正的數據精確度高一個數量級；

（3）無修正的實驗結果與二級修正后的實驗結果之間的浮動在10%以內，而一級修正和二級修正后的實驗結果之間的浮動在1%以內，這說明無修正的實驗結果與修正后的實驗結果相差很大，因此要做精度在10－2N／m級別的實驗，必須要對實驗原理進行修正，而在這個級別上一級和二級修正則對觀測結果影響不大；

（4）在彈簧的彈性形變內振子的質量越大，實驗觀測的數據復現率越高，即環境對本實驗的影響越小實驗的精度越高；

（5）當彈簧振子的質量大于彈簧質量的5倍時，彈簧可以近似認為是輕質彈簧［6］，但是沒有修正的傳統方法得到的數據與修正后得到的數據差別仍然很大而且這個差別在5%左右；

（6）綜合前5個結論來看，實驗原理的改進的確使實驗觀測數據的精度得到了提高，這說明改進后的實驗從原理和實際操作結果來看都是優于傳統實驗的.

1 沈鐘偉，張峰.彈簧質量對振動周期的影響.大學物理，2013，32（3）：44～45

2 Robert Weinstock.Oscillations of a particle attached to a heavy spring：An application of the Stieltjes integral.American Journal of Physics，1979，47（6）：508～514

3 江昌龍.能量法求解彈簧的彈性系數.力學與實踐，2008，30（6）：93

4 蔣毅.也談彈簧振子計及彈簧質量的問題.昭通師專學報（自然科學版），1987（5）

5 康文秀.彈簧質量對振子運動的影響.保定師范專科學校學報，2004，17（2）：25～27

6 徐月明.彈簧質量對振子振動周期影響的實驗研究.物理通報，2011（11）：64～65