函數最小值的物理方法求解

魏喜武

（宣城中學 安徽 宣城 24200）

一般大家都認為數學是解決物理問題的工具，解決物理問題離不開數學，其實也不盡然，有時物理也可以解決數學問題，而且解決得簡單明了.因為自然界本身就是一個“精算師”，它的運動與變化，都似乎經過精確的計算，采用了最低的成本.下面我們就用物理方法求幾個函數的最小值.

數學方法：

解得

由此可得函數y的最小值

物理方法：如圖1所示，有兩個定值電阻R1和R2串聯在電壓為U的電路上.設R1兩端的電壓為U1，電路中的電能損失為Q，可得

當有電流流過兩個串聯導體時，會遵循電壓分配定律.根據電壓分配定律分配電壓，恰恰是電能在電路中損失得最少.

由串聯電路中的電壓分配定律，可得

解得

由此可得

數學方法：

解得

由此可得函數y的最小值

物理方法：如圖2所示在空間有兩個相距為2l，帶異種電荷，電荷量都為q的點電荷.

圖2

連接兩個電荷，在兩個電荷連線上距正電荷的距離為x處的電場強度是

從圖2可知，兩個電荷連線的中點O，電場線最疏，電場強度最小.設O點的電場強度為EO

顯然EO就是函數Ex的最小值，即

【例3】如圖3所示，一個物體在MN上方的運動速度在MN下方的運動速度.從距MN的距離h1＝3m的A點出發，到達距MN的距離h2＝4m的B點結束.已知MN的距離l＝7m，求物體從A點運動到B點耗時最短所經歷的路徑.

圖3

數學方法：如圖3所示，物體從A運動到B，必經折線AOB，其所需要的運動時間為

上式要直接解出x的值，有所難度，但根據直角三角形的3個邊滿足“3，4，5”的關系，很容易看出，當x＝4時，等式成立.當x＝4時

物理方法：光的傳播好像有“神靈指路”，它總會沿耗時最少的路徑傳播.要耗時最少，就必須要滿足光的折射定律，即

顯然，物體從A運動到B，要耗時最少，也必須要滿足光的折射定律，從圖3可以看出

由光的折射定律得

解得x＝4，同樣可求出物體從A運動到B的最短時間

以上例舉了3個函數最小值的數學方法與物理方法求解，從數學角度看，要求出這些函數的最小值，還要確定它確實存在最小值，即要確定函數的二階導數大于零；但從物理角度看，以上3個函數只存在一個最小值.從某種意義上講，只要這個函數的建立來自自然的真實情景，并存在一個最小值，我們就可以用物理方法求出這個最小值.

本文的例題所涉及的函數形式和運算都不太復雜，便于學生接受這其中所傳達的真諦.有些數學問題可以用物理方法來解決，使學生能接受這一點，并能從更高的境界去認識和理解.