向心力公式在不同參考系中的正確應用

王化銀

（安徽省淮北市第一中學 安徽 淮北 235000）

1 軌道作用力的一般求解方法

【例題】如圖1所示，一質量為M的帶有光滑半圓弧軌道的滑塊靜止在光滑水平地面上，半圓弧軌道半徑為R.現將一個質量為m的小球從圓弧軌道右端由靜止釋放，當小球滑至軌道最低點時，軌道對小球的支持力為多大？

圖1

解析：當小球運動到最低點時，系統在水平方向不受外力，由動量守恒定律有

對系統，由機械能守恒定律有

聯立可解得小球、滑塊的速度大小分別為

由于二者速度反向，則小球相對滑塊的速度大小為

當小球在最低點時滑塊的加速度為零，所以滑塊是慣性參考系，對小球有

得軌道對小球的支持力為

（2）小球在最低點時M的加速度為零，滑塊是慣性參考系，牛頓第二定律成立.

2 以地面為參考系 求解軌道作用力

2.1 小球軌道方程

建立兩個參考坐標系：一是固定在地面的直角坐標系xOy（取小球在最低點時滑塊的圓心對地位置為原點），二是固定在滑塊M上并隨之一起運動的坐標系x′O′y′.設m相對坐標系Oxy的水平位移為x，m相對坐標系x′O′y′的水平位移為s，以地面為參考，系統水平方向動量守恒

而小球相對滑塊M運動軌跡是圓，在坐標系x′O′y′有幾何關系s2＋y2＝R2，從而得到小球在地面坐標系xOy中的軌跡是橢圓，方程為

2.2 曲率半徑

如圖2所示，太陽系中某行星繞太陽公轉的軌道為橢圓，太陽位于其中的一個焦點F上，橢圓的半長軸為a，半短軸為b，半焦距為c，太陽質量為M.試求行星在近日點A和遠日點B的速度表達式.

圖2

設行星質量為m，以vA和vB分別表示在兩點的速度，它們的方向均與橢圓長軸垂直，且A和B兩點離太陽的距離分別為

根據開普勒第二定律

行星經過A，B兩點時的機械能分別為

由機械能守恒定律EA＝EB，聯立解得

利用a2－b2＝c2得

由牛頓第二定律

得橢圓在A點的曲率半徑

將上式用于小球的橢圓軌道方程，得到最低點的曲率半徑為

2.3 軌道彈力

對最低點的小球用牛頓第二定律，有

其中

為小球相對于地面的速度.所以軌道對小球的支持力為

3 當小球滑至軌道任一位置處（以與水平方向夾角θ表示）時軌道的壓力

如圖1所示，設小球在地面坐標系中的水平分速度為vx，滑塊的速度大小為u，系統在水平方向動量守恒，有

又系統機械能守恒，有

在滑塊參考系中，約束關系式為

解以上各式得

小球相對于滑塊的速度v′大小為

設滑塊在小球壓力的水平分力作用下的加速度為a，則

在滑塊參考系中，需考慮小球所受的慣性力，得小球的法向動力學方程為

聯立得軌道對小球的支持力為

即小球滑至軌道最低點時，軌道對小球的支持力.

由以上可以看出，求解小球滑至軌道任一位置處時軌道的壓力，向心力公式中用小球相對于滑塊的速度v′，巧妙地避開了橢圓上任意點曲率半徑的復雜求解問題，從而使本問題的求解變得簡捷、清晰.

1 程稼夫.中學奧林匹克競賽物理教程力學篇，合肥：中國科學技術大學出版社，2012

2 鄭金.非圓周運動中的向心力.物理教學探討，2013（2）