一種曲線運動規律的研究

姜付錦

（武漢市黃陂一中 湖北 武漢 430030）

文獻［1］從運動的微分動力學方程角度對小球2的軌道進行了分析：小球2會不斷地離心、近心……并求出了小球2到圓心點的距離范圍.文獻［2，3］運用角動量守恒定律和機械能守恒定律求出了小球2運動過程中到圓心的距離范圍，但他們都沒有對軌道進行分析.筆者認為這個模型可等效成小球2的質量不變而速度變化，利用軟件MathCAD對這它進行了如下分析，文中若有不當之處，請各位同仁批評指正.

1 建立模型

如圖1所示 ，光滑水平面上O點有一小孔，不可伸長的輕質光滑細線穿過該孔，兩端系上質量分別為m1和m2的小球.小球2始終限制在水平面內運動，小球1始終限制在豎直方向運動，試分析兩小球的運動規律.

圖1

1.1 小球2離圓心O的最大距離和最小距離

若小球1的重力恰好可以提供小球2的向心力，則小球2做勻速圓周運動.設此時小球2的速度為v0，半徑為r0，則有

設小球2的初速度為

若n＞1，則小球2要做離心運動；若n＜1，則小球2要做近心運動.當小球2與圓心O點的距離有最值時，小球2只有垂直于線的速度（切向速度），沿線方向的速度（徑向速度）為零.由于細繩長度不變，小球1的速度與小球2的徑向速度相等，故此時小球1的速度為零.由于小球2受到的合外力為細線的拉力，拉力是有心力，故小球2的角動量守恒.設此時小球2的速度為v，到圓心的距離為r，則有

若把兩個小球組成一個系統，由于只有小球1的重力做功，故系統的機械能守恒，設細線的長度為l，取水平面為零勢能面，則有

聯立式（1）～ （4），得

此方程的解為

將r3＜0舍去，式中

當n＞1時，f（n）＞1，小球2到圓心的最近距離為r0，最遠距離為

當n＜1時，f（n）＜1，小球2到圓心距離的最近距離為

最遠距離為r0.若則小球2到是圓心的最遠距離為

最近距離為r0.

圖2

1.2 對小球2軌道的分析

圖3

建立如圖3所示的柱坐標系（ρ，φ，z），小球1所受內力、外力沿z方向，初始靜止，運動只能在z軸上.兩小球組成的系統受如下外力作用：重力m1g和m2g、水平面對小球2的支持力均平行于z軸，則有M（e）＝0，故小球2的角動量守恒

m2g和支持力不做功，內力為線的張力，m1g為保守力，故系統機械能守恒

依線不可伸長條件

聯立式（5）～ （7）得

與平方反比中心力場不同的是，上述方程一般情況下不可解.但可通過圖4分析解的特征.可等價為質量m＝m1＋m2的小球在如下勢場中的一維運動

圖4

當E0＝E0C時，與勢能曲線只有一個交點ρ＝ρ0.小球“靜止”對應實際運動為小球2以半徑ρ0做勻速圓周運動，小球1靜止.

當E0＞E0C時，與勢能曲線有兩個交點ρ1，ρ2，小球1“在ρ1和ρ2之間往復運動”.對應實際運動為小球2做復雜的軌道運動，如圖5所示（可能閉合也可能不閉合），軌道極徑在ρ1和ρ2之間；小球1沿豎直方向做往復運動，z軸坐標在ρ1～l0和ρ2～l0之間.

圖5

2 用MathCAD進行數值模擬

2.1 建立模型

如圖6所示，以水平面上的小孔O為原點，建立平面直角坐標系xOy.在某一時刻小球2的位置坐標為P（x，y），小球2受到的合力為繩子的拉力，動力微分方程如下

式中

圖6

圖7

小球1受力如圖7，動力學微分方程如下

由于小球2在運動過程中細繩的長度不變，所以有

設兩球質量相等，則有

2.2 數值模擬

為了研究的方便，設兩個物體的質量m＝1kg，小球2到圓心的距離為10m，重力加速度g＝10m／s2.小球2的初速度為得到以下圖像［3］.

圖8

圖9

圖10

圖11

2.3 圖形分析

圖8是小球2的運動軌跡；圖9是系統的機械能與時間的關系，機械能總量為E＝100J；圖10是小球2到圓心距離與時間關系，小球2與圓心的最近距離為10m，最遠距離為16.177m；圖11是小球2的角動量與時間關系，小球2的角動量守恒

在理論上，兩小球的總機械能為

小球2的角動量為

小球2到圓心的最遠距離為

即最遠距離為16.18m，通過對比可以發現MathCAD數值模擬與理論分析相同.

3 結語

通過以上3種方法的分析，不難發現兩個小球的運動規律與小球1的初速度有密切關系.當v＝v0時，小球1做勻速圓周運動，小球2不動；當v＞v0或v＜v0時，小球1限制在r1和r2之間范圍內運動，小球2在豎直方向上往復運動.

1 魏永政，於恒永.圓周運動過程中向心力的變化.中學物理，2011（1）：42～43

2 王文濤，龍玉梅.對“圓周運動過程中向心力的變化”一文的再研究.中學物理，2013（1）：71

3 周柏衍.理論力學教程2版.北京：高等教育出版社，1986.99～100

4 姜付錦，朱木清.MathCAD在物理研究中的應用http：／／www.pep.com.cn／gzwl／jszx／ztts／2011hybd／2z／201202／t20120223＿1102974.htm