線性阻尼拋體運動問題探究

鄭 金

（凌源市職教中心 遼寧 朝陽 122500）

在線性阻力作用下的拋體運動過程屬于瞬態過程，而線性力的沖量具有某一特性，因此對這類拋體運動問題的解答有規可循.

下面將利用兩個結論對3種不同形式的線性阻尼拋體運動問題進行探究.

1 瞬態過程的結論

對于一個變量x＝f（t），設其初始值為x0＝f（0），穩態值為x∞＝f（∞），若滿足一階常系數線性微分方程

則其解為

即

若變量x＝f（t）是關于時間的函數，則式中的常系數τ為時間常量，其國際單位是s.

由此可見，瞬態過程變量x隨時間t按指數規律變化.

2 線性力沖量的結論

與速度成正比的力稱為正比例線性力，形如f＝kv.當力與速度共線時，力在一段時間Δt內的平均值為則其沖量為

這表明與速度共線的正比例線性力的沖量跟位移成正比.

3 結論應用

【例1】一質量為m的物體，由地面以初速度v0豎直向上拋出，空氣阻力為f＝－kv.求：

（1）物體到達最大高度所需時間；

（2）最大高度；

（3）位移與時間的關系式.

解析：（1）取地面為原點，以豎直向上為正方向，由牛頓第二定律有

由此得關于v的一階常系數線性微分方程的標準形式為

當物體到達最大高度時，速度v＝0，則有

即

所以時間為

若kv0mg，則由公式

（2）對上升過程由動量定理有

可得最大高度為

若kv0mg，則由公式

得

（3）對上升到任意高度y的過程由動量定理有

將該式與速度關系式聯立，得位移關系式為

對于豎直上拋運動物體所受阻力與重力方向相同；而對于豎直下拋運動物體所受阻力與重力方向相反.因此在由牛頓第二定律和動量定理列方程時要注意物理量的正負號.

【例2】將一質量為m的物體以初速度v0豎直向上拋出，已知物體在運動過程中所受空氣阻力的大小與其運動速率成正比，比例系數為k.若物體能夠上升的最大高度為H，則其上升過程所用的時間應為

解法1：與例1的解法相同，由牛頓第二定律列微分方程

由瞬態過程的結論得速度隨時間變化的關系式

令v＝0，得時間為，題中沒有該選項.

解法2：對上升過程由動量定理有

得時間為

所以選項B正確.

利用例1的結果可知物體上升的最大高度為

將此式變形為

可見該題兩種解法所得結果是等價的，只是形式不同.

【例3】如圖1所示，質量為m的小球在高度為h處自A點以水平速度v0拋出，在重力和空氣阻力作用下，經一段時間后落在地面上B點，設到達B點時的速度為vt，其方向與水平方向成θ角，小球在運動中受到的空氣阻力為f＝－kv，其中k為正常量，v為小球在運動中的速度，試求：

（1）落地時的速度vt的大小；

（2）水平位移x的大小；

（3）運動時間t的大小.

圖1

解析：（1）把運動沿著水平方向和豎直方向進行分解，分別以初速度方向和豎直向下為正方向，由牛頓第二定律分別列微分方程為

將之化為標準形式為

則有

已知v0x＝v0，v0y＝0，由瞬態過程的結論可知速度隨時間變化的關系式為

分運動速度變化的瞬態過程如圖2所示.

圖2

（2）對水平分運動由動量定理有

所以水平位移為

（3）對豎直分運動由動量定理有

可得運動時間為

所以

【例4】設質量為m的拋射體初速度為v0，拋射角為α，在空氣中運動時，所受阻力與速率成正比，比例系數為k，即f＝kv.取平面直角坐標系xOy如圖3所示，起拋點為坐標原點O，x軸沿水平方向，y軸垂直于地面向上.求

（1）速度變化規律；

（2）位移變化規律；

（3）運動軌跡方程；

（4）最高點坐標.

圖3

解析：（1）速度求解方法與例3相同，水平速度隨時間變化的關系式為

以豎直向上為正方向，由牛頓第二定律列微分方程為

化為標準形式為

則

已知v0y＝v0sinα，由瞬態過程的結論可知豎直分速度為

（2）對水平分運動由動量定理有

得水平位移為

對豎直分運動由動量定理有

得豎直位移為

（3）由水平位移關系式得

則

可得時間為

把上述關系式代入豎直位移關系式中得拋射體軌跡方程為

（4）上升到最大高度時，豎直分速度為零，由vy＝0，得

經歷的時間為

對豎直分運動由動量定理有

所以最高點的縱坐標為

綜上可見，在線性阻力作用下的拋體運動包括豎拋運動、平拋運動和斜拋運動，對于曲線運動需分解為直線運動.解題的關鍵是列出兩種方程，即由牛頓第二定律列合外力與加速度關系的微分方程；由動量定理列沖量與動量變化關系的方程.由于線性阻尼拋體運動過程為瞬態過程，因此可利用瞬態過程的結論和線性力沖量的結論使問題化繁為簡，避免了微積分運算，使解題思路和過程顯得非常清晰、簡捷.

1 陽喜元，蔣彬.有關大學物理微積分應用的若干問題.物理通報，2011（6）：16

2 周青春.考慮空氣阻力時的上拋運動.物理通報，2002（6）：11

3 趙堅.一道高三統一測試題引發的思考與爭議.物理通報，2004（10）：39～40

4 陸興中.阻尼斜拋運動的物理規律分析.物理通報，2004（7）：7～8