用類比法講解熱傳導過程及熱傳導系數＊

邢祥軍

（溫州大學物理與電子信息工程學院 浙江 溫州 325035）

1 引言

大學物理實驗是面向大學理工科學生開設的一門基礎類實驗課程，授課對象覆蓋從一類本科至三類本科、不同層次的學生.該課程通常與大學物理同期開設，所以在修大學物理實驗時，學生還沒有足夠的相關理論知識儲備.另外，某些實驗項目所涉及知識并未包含在大學物理課程中，而是屬于專業物理課程的范疇.以上事實導致，對于某些實驗課程，大部分學生在做完實驗后仍不能理解所測物理量的意義，最終“糊里糊涂”修完了相關實驗.如此一來，修完實驗實際上等價于記錄并處理了一堆陌生的數據，學生對所測量結果的內涵一無所知.這一事實的存在不利于學生學習興趣的培養，甚至對學生動手能力的提高產生了消極影響.

文獻［1，2］中導熱系數測量實驗即屬于上述實驗類型.在授課過程中，我們發現學生對熱傳導過程十分陌生.這大概由于中學物理課程側重力學以及電磁學現象與規律，對熱學方面涉及較少，導致學生普遍對熱學現象了解不足，而對電學知識相對比較熟悉.受實驗課程的特點所限，指導教師不可能花費大量時間系統地介紹熱傳導過程的相關概念與理論，同時學生亦不具備相應的知識基礎.因此，我們提出，從學生中學階段學習的歐姆定律出發推導出電傳導方程，并通過比較電傳導方程與熱傳導方程數學形式的相似性，采用類比法［3］，引導學生理解熱傳導過程以及導熱系數（熱導率）的物理意義，從而提升該實驗課的整體教學效果.

2 從歐姆定律到電傳導方程

中學物理教材中［4］，歐姆定律表述為

其中R為樣品的電阻，U為施加于樣品兩端的電壓，I為通過樣品的電流.

電阻公式為

其中ρ，l和S分別為樣品的電阻率、長度與橫截面積.

以上兩式的一般形式為

聯立可得

其中dU為樣品中相距dl，面積為dS的兩橫截面間的電勢差.

根據電流的定義

代入上式，可得

此即歐姆定律的微分形式，我們稱之為電傳導方程，其中dQe為dt時間內通過橫截面dS的電荷量，σ為樣品材料的電導率.該方程表明，單位時間內通過單位橫截面積的電荷量與樣品兩端的電勢差以及樣品材料的電導率成正比，而與樣品的長度成反比.

如圖1所示，對于長度為L，橫截面積為S，均勻材料組成的圓柱形樣品，假設通過樣品側面散失的電荷量為零，則

圖1 樣品長度為L，橫截面積為S.在穩定流動狀態下，橫截面S1的電勢為V1，橫截面S2的電勢為V2

3 熱傳導過程與電傳導過程數學描述形式的相似性

根據傅立葉熱傳導方程，在穩定流動狀態下，dt時間內通過橫截面積dS的熱量為

其中dQh為dt時間內通過橫截面dS的熱量，dT為相距dl的兩橫截面間的溫度差，λ為樣品材料的導熱系數.該方程表明，單位時間內通過單位橫截面積的熱量與樣品兩端的溫度差以及樣品材料的導熱系數成正比，而與樣品的長度成反比.

如圖2所示，對于長度為L，橫截面積為S，均勻材料組成的圓柱形樣品，假設通過樣品側面散失的熱量為零，有

圖2 樣品長度為L，橫截面積為S.在穩定流動狀態下，橫截面S1的溫度為T1，橫截面S2的溫度為T2

方程（1）和（2）表明，熱傳導過程和電傳導過程具有完全相似的數學形式.

4 結語

正如電導率（電阻率的倒數）衡量了物質導電能力的強弱，熱導率表征了物質導熱能力的大小.它們的數值與物質的種類和狀態等因素有關.以上兩種過程之所以具有完全相似的宏觀數學形式，是由于二者在微觀物理機制上的相似性，實際上它們都包含了電子、聲子與雜質的貢獻［5］.對具體細節的理解需要更多量子物理等方面的知識，超出了實驗課程的討論范圍，在高等物理課程中會有詳細的介紹.

1 楊述武.普通物理實驗一（第三版）.北京：高等教育出版社 ，2000.248

2 金清理，黃曉虹.普通物理實驗（第二版）.杭州：浙江大學出版社，2007.143

3 杜新滿.用類比法講解電勢能、電勢.技術物理教學，2013（3）：82～83

4 人民教育出版社課程教材研究所，物理課程教材研究開發中心.物理·選修3－1（第三版）.北京：人民教育出版社，2010

5 閻守勝.固體物理基礎（第三版）.北京：北京大學出版社，2011