穩恒磁場中運動導體的能量轉化與守恒特性研究

儲德林 麻曉敏

（陸軍軍官學院物理教研室 安徽 合肥 230031）

江海燕

（合肥工業大學電子科學與應用物理學院 安徽 合肥 230009）

陶宗明

（陸軍軍官學院物理教研室 安徽 合肥 230031）

1 引言

能量守恒與轉化定律跟進化論、細胞學說一道被恩格斯譽為促進人類進步的“三大發現”，是自然界中一個很重要的基本規律.在物理學的不同領域，能量守恒與轉化規律以不同的形式呈現，比如力學部分的機械能守恒定律、伯努利原理，熱學部分的熱力學第一定律，光學部分的干涉原理，近代物理部分的光電效應等.當導體在磁場中切割磁感線產生感應電流時，導體有動能、回路中有焦耳熱、還可能有外力和阻力做功［1］，這里所說的外力是指除摩擦力之外的動力，如拉力（以下同）.

本文研究這一過程中的能量在不同形式之間轉化與守恒特性.

2 物理模型

1831年英國物理學家法拉第發現電磁感應現象，閉合回路中的磁通量發生變化將會在回路中產生感應電動勢，電動勢的大小與磁通量變化率成正比，電動勢的方向由楞次定律給出了一個簡易的判定法則：閉合回路中感應電流的方向總是使得它所激發的磁場來阻礙引起感應電流的磁通量的變化.

不失一般性，計算物理模型如圖1所示［2］.一段長為l，質量為m的導體棒ab與水平平行導軌構成電阻為R的閉合回路，放置在勻強磁場中，導體棒初始速率v0，方向水平向右，受到的阻力為f，外力為T.

圖1 物理模型

3 能量守恒與轉化特性

在上述物理模型中，導體棒可能受到摩擦力、外力和安培力等3種力，在它們的共同作用下運動，下面分情況討論其中的能量轉化與守恒關系.

3.1 無摩擦力 無外力

對于該情況，如果回路中沒有磁場，根據牛頓第一定律，導體棒將會沿著導軌以速率v0一直運動下去.但實際上在磁場作用下，導體棒最終會停止，原有的動能會消耗掉.原因就在于根據法拉第電磁感應定律，回路中將產生逆時針方向的感應電流，該電流在磁場中將產生水平向左的安培力施加在導體棒上，阻礙導體棒的運動，而阻礙作用將通過回路中的焦耳熱耗散掉.

以一維運動的導體棒為研究對象，由于接觸面光滑，只受到安培力作用.由牛頓第二定律得到

分離變量并積分

結果為

從0→t時間內，導體棒動能改變量為

在同一時間內，回路中感應電流產生的焦耳熱為

將式（1）代入，積分并化簡得到

式（2）與式（3）相同，表明任意時間內導體棒的動能改變量都以焦耳熱的形式釋放掉.當t→!時，導體棒最終速度為零，電路焦耳熱意味著導體棒的初始動能全部轉化為回路的熱能，滿足能量守恒與轉化規律.

3.2 外力與安培力等大反向 無摩擦力

如圖2所示，導體棒受到大小相等方向相反的外力和安培力，導體棒在這一對平衡力作用下，保持勻速直線運動狀態，拉力對導體棒做正功，大小為

圖2 受平衡力作用

同一時間內，感應電流產生的焦耳熱為

導體棒做勻速直線運動，即導體棒的動能保持不變，式（4）與式（5）結果相同，表明拉力對導體棒所做的正功全部轉化為回路的焦耳熱.

3.3 恒定摩擦力 無外力

導體棒受到安培力和恒定摩擦阻力作用，方向都與運動方向相反，受力分析如圖3所示.

圖3 摩擦力為恒力

由牛頓第二定律

等式兩邊同乘以dx，得到

將安培力代入并兩邊積分，得

在該過程中感應電流的焦耳熱為

正好與式（6）中等式左邊第一項安培力所做的功相等，替換后得

式（6）中等式左邊第二項為克服摩擦阻力所做的功，等式右邊為導體棒動能改變量，簡化為

即

該式表明導體棒的動能全部轉化為導體棒克服摩擦力所做的功和回路中的焦耳熱.

3.4 線性阻力 無外力

在滑動速率不太大的情況下，導體棒受介質阻

力大小可近似為跟速度成正比f（v）＝kv.

安培力也為阻力，根據牛頓第二定律有

代入有關力的關系式，可得

積分得到

式中

在導體棒從運動到靜止時間內，感應電流產生的焦耳熱為

同時段內，導體棒克服摩擦阻力做功為

將式（8）焦耳熱和式（9）摩擦阻力功相加，得到

其結果恰好等于導體棒剛開始所具有的動能.

3.5 任意阻力 外力與內力平衡

作為一般情況，導體棒既受到拉力作用，又受到安培力、摩擦力及其他耗散力作用，受力分析如圖4所示.

圖4 一般情況

由牛頓第二定律有

作數學變換

對整個過程積分并考慮到安培力的功等于回路中的焦耳熱，得到

即導體棒的動能的變化量取決于外力所做正功與內力所做負功之和.

由于開始外力與摩擦力和安培力平衡，則導體棒做勻速運動，動能保持不變，因此全過程有

即

這表明外力對系統提供的能量全部轉化為焦耳熱和摩擦內能.如果外力為零，可得

這與前面情形相一致.

4 結束語

本文以切割磁感線的導體棒為例，討論了導體棒不受外力、僅受與安培力等大而反向的外力、摩擦力為恒力等特殊情況及摩擦力為變力的一般情況等5種運動情形，結果表明所有情況下導體棒的動能變化量都與外力和摩擦力對系統所做的功與焦耳熱之差相等，能量在機械能與電能、熱能之間轉化，但總量不變，證實了導體在磁場中切割磁感線產生動生電流時，遵守能量守恒與轉化定律，再次表明能量守恒與轉化定律是自然界中的基本規律.

1 金丹青.能量守恒與轉化定律在電磁學中的應用.寧波職業技術學院學報，2003（10）：88～90

2 汪大勇.談楞次定律中能量守恒問題.物理通報，2000（6）：18～19