高中數學教學中函數模型的構建

程 勝

（池州一中，安徽 池州247000）

高中數學教學中函數模型的構建

程 勝

（池州一中，安徽 池州247000）

常見的函數模型可以用來解決日常生活中簡單的實際問題，在數學建模的過程中，可以培養和提高學生的分析問題及解決問題的能力，增強學習數學的趣味性與積極性；闡述了針對現實問題如何建立函數模型以及函數模型建立的一般步驟；最后介紹了常見的函數模型。

數學；函數；模型；教學

1如何從實際問題中抽象出函數模型

用函數模型來解決實際問題，首先，要認真審題，確切而完整地理解題意，看透問題的實際背景，也就是第一要弄清楚問題講的是什么、要解決的問題是什么；第二，將現實問題合理地轉化為數學問題，用數學關系式來表達現實問題中每個未知量之間的交互關系；第三，根據相互關系和已知條件來解決現實問題，進而給出答案[1]。

以下舉例來說明。

例1某企業通過引進人才，進行技術革新，新的技術的使用大大提高了產值，下表是技術革新后的月利潤一覽表。

表1月利潤一覽表

（1）根據表中數據，請抽象出適當的函數模型，并求出函數的關系式；

（2）按照所得到的函數模型，求出7，8月份的利潤情況。

解題分析：根據表中所給出的點，在二維坐標系中作出如圖1的散點圖。根據圖像觀察有點象二次函數圖像，所以我們可以假設y=ax2,x為月份y為月利潤，a為常數，但是，將圖中的四個點代入后，發現a的差別太大，故推測不是二次函數。進一步分析推測可能是y=a·bx的模型。

具體解題過程如下：

依據表1中的數據作出相應的圖像[2]（圖1）

圖1 散點圖

(1)假設y=a·bx就是問題的模型，我們取表1的兩點（2，7.5），（4,23）來求a,b的值。

將以上兩點代入y=a·bx，列出關于a,b的方程組

（1）/（2） 得到，b≈1.775,a≈2.319將得到的a,b的值代入模型進行檢驗知當x=3時,y≈12.75;當x=5,y≈39.48，與表1對照相差不大，因此我們所假設的模型比較合理。所以所得的函數關系式為

(2)求出7，8月份利潤也就是將x=6;x=7分別代入(3)式得到的y值，故7，8月份利潤分別為y≈72.7(萬元),y≈128.6(萬元)

2 抽取函數模型的一般步驟

從以上問題的分析解答中，我們可以歸結出從現實問題中抽象函數模型的一般步驟如下[3-4]：

（1）收集數據：找出問題中的有用的相關數據，過濾無用的數據。

（2）畫散點圖：一般在二維坐標系來畫。點與點之間不宜過密；但有些問題的函數模型不是通過散點圖來模擬的，而是通過對具體問題變量關系的分析后建立關系式，則此步可以跳過。

（3）選擇函數模型：先大致觀察，選擇盡可能一致的已知函數或復合函數模型。

（4）求函數模型：利用從問題中收集的數據列出方程（組）來求出函數模型。

（5）將（4）中得到的函數模型代入問題中進行檢驗如果誤差在允許的范圍內，則模型可用，反之轉到（4），重新擬合模型。

（6）用函數模型解答實際問題。

下面舉例來說明。

例2某廠生產一種零件，每個零件的成本為30元，出廠單價為60元，該廠為鼓勵銷售商訂購，出臺一項措施：一次訂購量超過100個時，每多訂購一個，則訂購全部零件的出廠單價就會降低0.02元，但是實際出廠單價不能低于51元。

（1）問一次訂購量為多少時，零件的實際出廠單價剛好降為51元？

（2）如果一次訂購量為X個，零件的實際出廠單價為P元，請推導出函數P=F（X）關系式；

（3）如果銷售商一次訂購500個零件時，則該廠獲得的利潤是多少元？如果訂購1000個，則利潤又是多少元？

解題分析：顯然此問題不能通過畫散點圖來解決，而是通過對具體問題變量關系的分析后再建立函數關系式來解答。具體解題過程如下：

（2）當0＜X≤100時，P=60；

設銷售商一次訂購X個時，廠家獲利為Q元，則

3 常用的函數模型

針對現實問題，正確地擬合函數模型的前提是，我們要熟悉各種函數圖像的基本特征。常見的函數模型有以下種：一次函數模型；二次函數模型；冪函數模型；對數函數模型；指數函數模型；分段函數模型。例如，例1就是指數函數模型；例2就是分段函數模型。

[1]汪學思.關于數學思想方法及其在高中數學教學中的應用[J].中等教育研究，2004（8）:334-337.

[2]張元暉.數學教學中創新思維的培養[J].商場現代化：下旬刊,2006（12):399.

[3]李建妮.淺談數學教學中學生創新思維的培養[J].內江師范學院學報,2008(33):323-324.

[4]徐廣華.數形結合思想在解題中的應用[J].廣東教育，2007（10）18-20.

[責任編輯：桂傳友]

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A

1674-1104(2014)03-0151-02

10.13420/j.cnki.jczu.2014.03.047

2013-09-10

程勝(1973－),男，安徽池州人，安徽省池州一中，高級教師，主要從事中學數學教學與研究。