時間C0-連續一次有限元法的先驗誤差分析

賴軍將

（閩江學院 數學系,福建 福州350108）

時間C0-連續一次有限元法的先驗誤差分析

賴軍將

（閩江學院 數學系,福建 福州350108）

對于變系數二階常微分方程的初值問題，應用時間C0-連續一次有限元方法數值求解。在對網格剖分的適當限制下，獲得了數值方法的穩定性結果。賦以有限元空間相應的范數，證明了在該范數意義下方法的先驗誤差估計。數值實驗結果驗證了該方法的收斂率。

連續一次有限元；誤差分析；穩定性；收斂性

引言

時間連續有限元方法是數值求解微分方程的一種有效算法[1-3].對于二階常微分方程初值問題,文獻[4]給出了相應的時間C0-連續有限元法計算格式,并且得到了時間C0-連續m(m≥2)次有限元方法的先驗誤差估計.文獻[5]對于一類二階常系數齊次線性常微分方程,采用直接計算的方法獲得了時間C0-連續一次有限元法的先驗誤差估計.文獻[3]采用時間連續有限元法數值求解二階發展問題，進行了后驗誤差分析并提出了一個自適應算法.

本文對于一般情形的變系數二階常微分方程的初值問題,在文獻[5-7]的基礎上,利用回收技巧[1]和離散Gronwall引理[8],獲得了時間C0-連續一次有限元法對初值的穩定性.并且對有限元空間賦以相應的范數,證明了在此范數意義下的先驗誤差估計結果.

本文使用Sobolev空間的標準符號[9].對于ν(t)∈H2（0，T）,定義

將“≤C…”簡記為“^…”,其中正常數C在不同地方可取不同的值,它與方程右端項,真解函數以及網格剖分尺寸無關.

1 求解格式與相容性

討論二階常微分方程的初值問題[7]:

初值u0與ν0事先給定，已知函數p,q,f適當光滑,并設

其中C0,C1,C2,及C3都為正常數.

對求解區間I=（0，T）進行擬一致剖分:t0=0

這里,空間P1(In)由In上所有次數不超過1的多項式組成.于是數值求解問題(1)的時間C0-連續一次有限元法為[4-5]:求U(t)∈Sk使得從這里開始,分別用u和U表示方程(1)及(3)的解,并假設有正則性u∈H2（I）.于是下式恒成立,

在式（3）中,對n從1到N求和得到

從而由式（4）-（5）可知

即時間C0-連續一次有限元法具有相容性.

2 穩定性分析

賦以有限元空間Sk以下范數,

引理1對w∈Sk以下等式成立,

綜合式（6）和式（9）-（11）得證引理.

引理2對w∈Sk以下不等式成立,

證明 由于w∈Sk,在任一區間In上w可線性表示成

由直接積分,且應用算術幾何平均值不等式可獲得證明.

利用引理1,(5)式和式(7),若f(t)=0,則有

由T的任意性,得到了下述穩定性定理.

定理1 設U∈Sk為方程(3)的解,f=0且條件(2)滿足.則當k

3 誤差估計

記u在Sk中的分段線性插值函數為πu,即有

4 數值實驗

考慮二階常微分方程初值問題

采用時間C0-連續一次有限元法求解以上問題并取均勻剖分計算.表1列出了取不同步長時的誤差,表明都小于某一有界常數,而且在||·||||意義下此方法具有階的收斂速度[11].

表1 取不同步長的誤差

由表1中的誤差結果,可獲得圖1所示的雙對數誤差圖,從圖1可知,經取對數后的誤差結果落在斜率為－的一條線段上,即驗證了在意義下此方法收斂階為階,與定理2的結論相吻合.

圖1 取不同步長的雙對數誤差

以下采用時間C0-連續一次有限元法（18）(簡稱CG1)及幾類典型的時間離散化格式[12]求解初值問題

分別采用CG1方法,三層格式 （θ=0）[12],兩層格式（θ1=1，θ2=1/2）[12]及兩層格式（θ1=θ2=1）[12]進行數值計算,記以上方法在T=1處數值解的誤差絕對值分別為e1，e2，e3和e4， 自由度數 (未知量數)為NDOF，表2給出了不同方法的誤差結果,表明在自由度數相同的情況下求解以上問題,CG1方法獲得的數值解在時間節點處較其它方法準確.圖2給出了相同自由度數時由不同方法獲得的解曲線,從此圖可知,用CG1方法求解以上問題獲得的數值解較其它方法更逼近精確解.

表2 不同方法的節點誤差

圖2 不同方法獲得的解曲線,NDOF=60

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[責任編輯：桂傳友]

O241

A

1674-1102(2014)06-0025-04

10.13420/j.cnki.jczu.2014.06.006

2014-07-06

國家自然科學基金資助項目(11101199);福建省高等學校新世紀優秀人才支持計劃資助(JA12260)。

賴軍將(1977-),男,湖南攸縣人,閩江學院數學系副教授，博士，主要從事科學計算研究。