偽攻角反饋駕駛儀的極點配置設計方法*

鄭鹍鵬，陳星陽，李海峰

(中國空空導彈研究院，河南 洛陽 471009)

0 引言

偽攻角反饋駕駛儀是三回路過載駕駛儀的一種典型結構[1]。與經典的Raytheon三回路駕駛儀[2-5]相比，其增穩(wěn)回路采用偽攻角反饋，可以消除經典三回路駕駛儀的靜差，使閉環(huán)增益精確為1，同時能保持較好的時域、頻域響應特性以及魯棒性能，因此在戰(zhàn)術導彈上得到廣泛的應用。

三回路駕駛儀具有加速度、姿態(tài)角(或偽攻角)、姿態(tài)角速率3個反饋回路，可以應用極點配置法進行設計[6-9]。若忽略舵機、濾波器等高頻部件動態(tài)特性的影響，則可以建立閉環(huán)極點與系統控制增益的解析關系，從而形成便于工程應用的駕駛儀設計方法。但是目前已有的設計方法主要是針對經典三回路駕駛儀[2-10]，文獻[1]給出了偽攻角反饋駕駛儀的結構特點分析和極點配置設計方案，但并未給出控制增益與閉環(huán)極點的解析關系；同時，現有的駕駛儀設計方法普遍缺少閉環(huán)極點參數與帶寬選擇的指導性原則。

本文首先從偽攻角反饋駕駛儀的數學模型出發(fā)，給出了控制增益與閉環(huán)極點、開環(huán)截止頻率的解析關系式。然后分別闡述了系統時域響應、高頻部件帶寬、舵機角速率極限及穩(wěn)定裕度指標對系統截止頻率、閉環(huán)極點配置形成的約束，進而給出了設計參數選擇的指導原則，形成了自洽的駕駛儀設計方案。

1 導彈自動駕駛儀數學模型

1.1 開環(huán)系統

若忽略舵機、結構傳感器、陀螺及加速度計等高頻部件的動態(tài)特性，可得到簡化的駕駛儀框圖如圖1所示。

圖1 偽攻角反饋自動駕駛儀簡化框圖 Fig.1 Simplified structure diagram of autopilot with pseudo angle of attack feedback

導彈本體傳遞函數為

(1)

式中：Ba=a1+a4；Ca=a2+a1a4；ωα=(a3a4-a2a5)/a3；Cz=(a3a4-a2a5)/a5；a1～a5為彈體動力學系數[11]。

將系統在舵機處斷開，得到系統開環(huán)傳遞函數為

(2)

一般取A4≈ωα，則開環(huán)傳遞函數為3階函數，一般形式為

(3)

式中：

(4)

由開環(huán)傳函HG的幅值為1，可獲得系統截止頻率ωcr，即

HG(jωcr)=1.

(5)

一般來說，系統開環(huán)截止頻率遠大于導彈本體特征頻率，從而可得

ωcr≈N2=Ida3-IdK4va5.

(6)

工程設計中通常將ωcr作為系統帶寬的指標[7-9]。

1.2 閉環(huán)系統

結合式(3)可得到系統閉環(huán)傳遞函數為

(7)

理想三階系統的極點配置形式通常是1個實極點與1對共軛極點，即有

s3+(Ba+N2)s2+(Ca+N1)s+N0=
(s+A)(s2+2ξωs+ω2)=
s3+(A+2ξω)s2+(w2+2Aξω)s+Aω2.

(8)

a1+a4+ωcr=A+2ξω,

(9)

a2+a1a4+Ida3ωα+IdK0a3-IdK4va5a1=
ω2+2Aξω,

(10)

IdK4va5Cz=Aω2.

(11)

值得注意的是式(9)建立了系統開環(huán)截止頻率ωcr與閉環(huán)極點之間的關系，即閉環(huán)極點的實部之和近似等于ωcr。

在駕駛儀設計過程中，開環(huán)截止頻率ωcr通常比共軛極點自然頻率ω更具實際意義，因此將ωcr、阻尼比ξ、實極點-A作為取定的期望參數，ω以及3個控制增益Id,K0，K4作為未知量，綜合式(6)及式(9)～(11)可得到控制增益的解析表達式：

(12)

2 參數選擇原則

第1節(jié)建立了自動駕駛儀控制增益與系統開環(huán)截止頻率、閉環(huán)極點之間的解析關系。本節(jié)將主要討論閉環(huán)極點與開環(huán)截止頻率的選取原則。

2.1 極點配置共圓準則

三階系統的閉環(huán)等效時間常數(響應至指令63%的時間)近似為[3]

(13)

將式(9)代入式(13)，可得

(14)

(15)

進而可得τt的最小值為

(16)

由式(15)可知，當系統開環(huán)截止頻率ωcr確定后，為使系統時間常數達到最小，通常將3個極點配置于同一圓上，該圓半徑與ωcr及阻尼比ξ相關。

由式(16)可知，系統響應快速性與ωcr成反比，ωcr越大，系統響應越快。但ωcr不能無限制取大值，其取值受到高頻部件帶寬及舵機角速率限制等因素的制約。

2.2 高頻部件帶寬的約束

系統開環(huán)截止頻率ωcr的選擇首先受到舵機等高頻部件響應特性的制約。為保證系統穩(wěn)定性，且高頻部件特性不對系統響應造成較大影響，工程上一般將駕駛儀開環(huán)截止頻率ωcr取為高頻部件等效帶寬ωact的1/5～1/3[8]，保證高頻部件在頻率ωcr處引起的相移不超過30°。

2.3 舵機角速率極限的約束

作為執(zhí)行機構的舵機在跟隨指令過程中，舵偏轉速率是有限的。自動駕駛儀設計時需要考慮這一約束。由式(7)出發(fā)，可得到加速度指令到舵偏角速率的閉環(huán)傳遞函數

(17)

將式(8)，(11)帶入式(17)，歸一化得到

(18)

式中：τ=1/A；T=1/ω；K=Ca/(va5Cz)；n2=1/Ca；n1=1/Ba。

記δc=Kayc，即δc為加速度指令ayc對應的穩(wěn)態(tài)舵偏。若對式(18)進行部分分式分解，則有

(19)

式中：k0，k1，k2分別為不同模態(tài)的系數，顯然有k0T2+k2τ=n2，k02ξT+k1τ+k2=n1，k0+k1=n0。通過拉普拉斯反變換可得到輸入為階躍響應指令時的舵偏角時域響應函數，即有

(20)

對式(20)求導，可得到舵偏角速率的時域響應函數

(21)

典型階躍響應下舵偏角速率最大值[12]出現在初始時刻，由式(21)，并結合式(17)～(19)可得

(22)

按照共圓原則配置極點，將Ca=a2+a1a4以及式(15)代入式(22)，可得

(23)

(24)

式中:δc max為最大需用舵偏，進一步可得到對于ωcr的約束公式

(25)

2.4 開環(huán)相位裕度

導彈自動駕駛儀設計必須保證魯棒性，一般要求系統相位裕度>40°。對于圖1所示的簡化三回路駕駛儀，若其在穿越頻率處具有70°左右的相位超前，一般就能保證滿足考慮舵機、結構濾波器等部件后完整系統的穩(wěn)定裕度要求。

將式(6),(9)～(11)代入式(3),則系統開環(huán)函數可表達為

(26)

將s=jωcr代入式(18),可得

(27)

(28)

進而可得到簡化系統相位裕度的近似值為

(29)

若要求系統開環(huán)裕度>γ(rad)，則有

(30)

將式(9)代入式(30),可得

(u-1)x2+ωcrx-a2-k<0,

(31)

求解不等式(31),可得

(32)

2.5 小結

綜上所述，可以對系統帶寬參數及極點選擇的設計準則歸納如下：

(1) 系統開環(huán)截止頻率的選擇應考慮舵機等高頻部件帶寬ωact及舵機角速率極限的約束，其選取準則為

ωcr=min(ωcr1,ωcr2).

(33)

(2) 為保證制導大回路的穩(wěn)定性，自動駕駛儀應具有足夠的阻尼[3]。一般將其共軛極點阻尼比ξ取>0.7的數值。

(3) 3個閉環(huán)極點按共圓配置，配置圓半徑由式(15)確定，這樣可以保證同樣帶寬下系統時域響應最快。

(4) 為滿足系統穩(wěn)定裕度要求，系統帶寬、阻尼比和極點選擇應滿足式(32)。

3 算例驗證

表1 不同工況下設計約束與設計結果

圖2 加速度響應 Fig.2 Response of acceleration

圖3 舵偏角響應Fig.3 Response of fin deflection angle

圖4 舵偏角速度響應Fig.4 Response of fin rate

從圖2～4和表1中可以看出：

(1) 低空大動壓條件下需用舵偏小，系統帶寬主要受舵機等高頻部件帶寬約束；高空小動壓條件下需用舵偏大，舵偏角速率限制為主導約束。

(2) 與工況1相比，工況2的時域響應明顯較快，表明相同帶寬下，閉環(huán)極點按2.1節(jié)共圓準則配置，可以保證更快的響應時間。

(3) 設計結果具有較好的時域和頻域性能，表明本文所提出的駕駛儀設計方法有效。

4 結束語

本文首先建立了偽攻角反饋駕駛儀控制增益與開環(huán)截止頻率及閉環(huán)極點的解析關系，然后提出了系統極點配置及開環(huán)截止頻率選取的指導原則，指出在系統開環(huán)截止頻率一定的前提下，閉環(huán)極點按共圓配置，可獲得最快時域響應特性；開環(huán)截止頻率選擇則受到高頻部件帶寬及舵偏角速率極限的約束。基于此形成了自洽的駕駛儀設計方法，本方法兼顧了系統的時域與頻域性能，其有效性通過算例得以驗證。

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