多重分形海雜波建模新方法*

司文濤，童寧寧，邱程

(空軍工程大學 防空反導學院，陜西 西安 710051)

0 引言

研究表明：散射表面的分維特性將攜帶到散射信號中。在此基礎上1993年研究人員將分形理論引入復雜背景的信號檢測中，并得到了迅速的發展。許多文獻研究了分形理論在雷達目標檢測中應用[1-6]。這些研究都以實測數據來對理論和方法進行驗證和說明，具有很強的說服力，但卻不具有普遍性，并且對于大多數科研人員來說實測數據是難以獲得的，不利于分形理論在雷達信號檢測領域的進一步深入研究和推廣。因此，應用分形理論建立海雜波模型顯得尤為必要。

基于分形理論的海雜波建模，分為基于散射機理模型和簡單的時域模型2類。文獻[7]給出了海雜波散射機理模型，但是這種模型的計算量巨大。相比于散射機理建模簡單時域建模可以用一個比較簡單的迭代函數系統(Iterated Function System,IFS)和較少的參數來產生復雜的雜波信號。在已知雜波背景具有的分形特性和分形參數的基礎上，可以反演出海雜波的時間序列。王紅光等利用分數Brown運動(FBM)模型為海雜波建模。但是，研究表明海雜波背景往往具有多重分形特性[8]，文獻[9-10]并通過加權組合的方法產生了具有多重分形特征的高頻雷達海雜波。但是其仿真流程比較復雜，需要多次判決尋優。本文通過對多重分形特征和分式布朗運動模型的研究，提出了一種在分式布朗運動模型上隨機抽取一組序列，組成一個近似多重分形的隨機過程來模擬海雜波序列。最后通過Matlab仿真說明了仿真得到的隨機序列具有多重分形的性質，可以很好地模擬海雜波。

1 分式布朗運動模型

具有自相似性連續隨機過程X=xt,t≥0，在 X0=0，滿足如下冪律規律

Xλt=λHXt, t≥0，

(1)

式中：λ為比例系數且λ>0；H為Hurst指數。這個表達式被普遍視為自相似隨機過程的定義式[11]。

分形理論表明了事物內部以及事物之間的相似性，分式布朗運動模型是分形理論研究中常用的數學模型，于1968由Mandelbort和Van Ness提出，并作如下定義：

(2)

式中：BHt為分式布朗運動；Bt為標準布朗運動；s為時間延遲；

(3)

H=TD+1-D，

(4)

式中：TD為拓撲維數，對于一維時間序列，TD=1，所以H=2-D。

分式布朗運動的增量為具有自相似性質的高斯噪聲，滿足

(5)

式中：

(6)

分式布朗運動模型的自相關函數為

(7)

其功率譜密度具有如下性質:

Ff～1/fα,

(8)

其中：α=2H+1，并且滿足1<α<3。

文獻[12]提出了一種基于分形積分模型的分式布朗運動時間序列模型產生方法：將所要得到的時間序列模型看作有一個高斯白噪聲輸入到某一線性系統中所產生的輸出。以ht作為系統的階躍響應，所以輸出為

(9)

根據分式布朗運動的性質得到傳遞函數的階躍響應序列迭代表達式為

(10)

2 海雜波多重分形序列模型

Mandelbort等于1997年提出構造一個復合的分式布朗運動Xt=BHTt來模擬具有多重分形性質的隨機過程，其中BHt是一個分式布朗運動，Tt是一個關于t的連續非減隨機函數，并且Tt與BHt相互獨立。

本文采用對分式布朗運動隨機序列進行隨機抽樣的方法，抽樣時間是遞增的，但是增量Δt(對于離散序列Δt=m)是隨機的，即

(11)

式中：mk在1,M(M為正整數)區間內取整數。

為了保證抽樣之后得到的序列具有長程相關性，所以M的取值不宜過大。采用以上模型，通過Matlab仿真得到圖1～4。圖1為仿真得到的時間序列；圖2為對仿真得到的時間序列的幅度進行歸一化得到的波形圖；圖3為圖2中歸一化幅度的分布圖；圖4為仿真得到的時間序列的功率譜密度。圖3中圓點代表時間序列歸一化幅度的分布情況，實線代表高斯分布的理論曲線，所以從圖中可見仿真得到的時間序列相比標準高斯分布有較長的拖尾，具有明顯的非高斯性。

圖1 時間序列波形圖Fig.1 Simulation sequence oscillogram

圖2 時間序列的幅度歸一化波形圖Fig.2 Ampitude uniformization oscillogram

圖3 時間序列的歸一化幅度分布圖Fig.3 Uniformization amplitude distribution graph

圖4 時間序列功率譜密度圖Fig.4 PSD distribution graph

3 多重分形特性分析

多重分形的重要標志有2個：非高斯性(圖3可以說明)和長程相關性。仿真得到的時間序列的時間相關性可以由時間相關函數(auto-correlation function，ACF)來表征，其定義為

(12)

時間序列(如圖1)的相關函數曲線如圖5所示。圖中分別畫出了隨機序列在50點和500點范圍內的相關函數曲線，從圖5可以看出仿真得到的時間序列具有長程相關性。

由隨機乘法模型得到配分函數

χqr∝rτq.

(13)

對式(13)兩邊取對數得到

lnχqr≈τqlnr+C,

(14)

式中：τq為q次相關指數；C為常量。

圖5 仿真序列的時間相關函數Fig.5 Sequence time correlation

τq與Dq(廣義維數)存在如下關系：

τq=q-1Dq.

(15)

如果式(13)成立，并且τq不是q的線性函數，即認為測度是多重分形的[13]。對幅度進行歸一化(如圖2所示)

(16)

式中： N=2n為數據長度。所以配分函數

(17)

為了驗證式(13)是否成立，可以驗證式(14)是否成立。用q階矩結構函數分割法對仿真數據進行處理得到圖6,7。

圖6 ln r～ln χqr曲線Fig.6 ln r～ln χqr curve graph

圖7 q～τq曲線Fig.7 q～τq curve graph

圖6為lnr ～ln(χq(r))曲線，從圖中可見在lnr取4到9時表現比較好的線性關系，說明在一定尺度變化范圍內仿真模型具有無標度性。圖7為q～τq曲線圖，從圖中可見曲線有一個明顯的折點，說明τq不是q的線性函數，所以根據多重分形判定準則，可以判定仿真得到的時間序列具有多重分形性質。仿真結果與文獻[6，9-10]中研究的實測海雜波數據進行對比發現，其性質十分相似。說明了本文模型可以很好地模擬海雜波。

4 結束語

利用分形理論建模海雜波具有非常大的潛力，本文在研究多重分形特征和分式布朗運動模型的基礎上，提出了一種在分式布朗運動模型上隨機抽取一組序列，組成一個近似多重分形的隨機過程來模擬海雜波序列的海雜波建模方法。并通過Matlab仿真說明了仿真得到的海雜波序列具有多重分形的性質。需要指出的是，本文模型與文獻中研究的實測數據的分形性質具有很好的相似性，說明了模型的合理性。對于海雜波分形性質及相關檢測方法的深入研究，具有一定的意義。

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