基于單星觀測的彈道導彈參數估計方法綜述

于大騰，王華，尤岳，陳磊

(國防科學技術大學 航天科學與工程學院，湖南 長沙 410073)

0 引言

隨著導彈技術的不斷向前飛躍，各種戰略、戰術導彈及大規模殺傷性武器也在不斷擴散。天基預警系統作為戰略防御體系的重要組成部分，目前已成為國際前沿研究熱點問題之一[1-4]，其中的典型代表為美國正在研制的天基紅外系統(SBIRS)計劃[5]。在天基預警系統建設與發展過程中，由于衛星部署的階段性和系統前期的驗證與實驗活動，基于單星觀測的彈道導彈預警技術將是任何一個天基預警系統構建過程中必然會遇到的問題[6]。

由于彈道導彈在熄火點處的位置及速度矢量決定了大部分的彈道參數，因此對反導系統來說，這一段時間內天基預警系統能否捕捉目標，關系著反導系統是否能及時做好戰斗準備進行攔截。在彈道導彈助推段，天基預警首先應該提供的是彈道導彈的早期預警，其次才是助推段攔截的目標信息。

經過多年的研究發展，許多學者針對單星觀測導彈參數估計問題提出了估計方法[7-11]，然而關于單星觀測的彈道導彈參數估計方法的綜述文章并不多見，目前尚未發現有相關的綜述性文獻見刊。本文按照先驗信息匹配建模和通用運動建模2個方面對近些年出現的較為典型的單星預警估計方法進行了劃分歸類，并闡述了不同方法的基本原理與優缺點，分析了相關方法的發展趨勢，希望為該方向的研究者提供有益借鑒。

1 單星定位問題簡述

由于預警衛星采用紅外傳感器，只能獲得角度信息，對導彈定位來說屬于不完備觀測[12-13]。要解算導彈的位置需要2顆衛星同時對來襲導彈進行探測。但大部分情況下高軌預警探測處于單星探測情況，因此如何給出單星探測條件下的預警信息成為一個必須解決的問題。

設存在一顆紅外預警衛星S，對于一枚彈道導彈的助推段飛行，衛星S的觀測數據及觀測時間的集合為

U={(ti,Bi,Ei)|i=1,2，…,M}，

(1)

式中：M為觀測數據的數量；Bi和Ei為t時刻衛星對目標觀測所獲得的視線的方位角和仰角。

單星定位問題就是依靠式(1)中的數據對彈道導彈進行參數估算。顯然，若僅依靠這些角度信息是不能確定目標彈道參數的。對于這種主動段不完備觀測的處理方法必須增加約束條件。由于彈道導彈主動段運動服從一定的運動規律，引入一定的假設后將這些運動規律用參數化模型來描述，就得到了除角度信息外的約束條件。目前對主動段的參數化建模主要有2種方法，一是不考慮先驗彈道信息，稱為Profile-free Model方法；另一種方法是利用目標主動段的先驗信息，稱為基于模板(Profile-dependent Model)的方法。在建立模型時，通常基于如下的基本假設：重力加速度為常值；不考慮地球旋轉，導彈在射面內運動；觀測時大攻角轉彎段已結束，導彈處于零攻角飛行狀態。

2 單星觀測導彈參數估計方法研究現狀及趨勢

2.1 先驗模板匹配方法

由于單顆預警衛星的不完備觀測特性，傳統的單星預警參數估計算法需要依賴于標準彈道模板先驗信息[6-11]。該類方法的主要局限性在于數據庫的建立有一定困難，所建立的標準彈道模板庫的質量成為該類方法成敗的關鍵。本節主要就3種典型的模板匹配模型進行闡述，并分析了各自的優缺點。

2.1.1 基本彈道輪廓匹配算法

(1) 概述

在標準彈道模板的支持下可以進行單星彈道導彈參數估計[11,14]，該方法為目前服役的DSP預警系統采用的算法。這種方法是基于當今世界范圍內的彈道導彈基本類型比較有限，特別是在不同的熱點地區彈道導彈的類型是比較固定的，因此可以事先將不同類型的目標主動段彈道模板存儲在數據庫，形成標稱彈道數據庫。

圖1 彈道匹配原理示意圖Fig.1 Ballistic matching theory scheme

彈道導彈主動段的彈道近似位于一個平面內，標準彈道模板庫主要描述了從發射時刻到關機時刻彈道導彈飛行高度、水平距離與發射時間的函數關系。在獲得觀測數據后，將彈道主動段建立的模型與彈道庫中的彈道進行匹配，進而確定導彈的主動段運動狀態。

為了更好地對彈道參數進行匹配，學者們提出了很多考慮彈道實際情況的假設，并以此進行主動段建模與彈道修正。梁新剛[15]和Jilkov[16]等基于“重力轉彎假設”建立目標主動段運動狀態方程。王雪峰等[17]分析了地球自轉對彈道主動段的影響，并對基于彈道輪廓模板的匹配算法進行了改進，修正了關機點估計與速度，減小了彈道主動段非平面性引起的誤差，使得系統精度有一定提升。但實際中需要完備的彈道模板數據庫和高精度模板配準方案作為基本的技術支持。

(2) 特點

1) 優點：

在模板數據庫規模足夠大且數據較為真實可信的情況下，匹配得到的模板庫中的標準彈道包含了大量真實彈道參數信息，利用它進行參數估計精度較高，可以獲得具有較高實用價值的導彈估計參數。

2) 缺點：

由于彈道導彈的彈道各個國家都列為高機密信息，因此其獲取十分困難，需要長時間的積累且不能保證獲取信息的正確性，在一定程度上限制了其應用。實際上目前只有美國建有規模可觀的彈道模板數據庫(約7 200多個模板[11])。同時，大數據量的模板會導致運算量大，對系統實時性產生影響。在處理單星觀測問題時，還有可能出現數據處理不收斂的情況。

2.1.2 考慮主動段運動特征的匹配算法

(1) 概述

由于基本彈道輪廓匹配算法的彈道模板數據庫建立較為困難，實際操作中面臨諸多問題，因此部分學者開始思考對匹配算法進行改進。文獻[18]和[19]結合文獻[7]的工作提出了一種針對單星問題的改進建模方法，即射向平面匹配方法，該方法避免了使用常見方法處理單星觀測數據時遇到的不收斂問題。所建立的彈道庫數據是導彈主動段的當前位置到發射點的飛行高度、水平距離以及導彈尾焰的紅外輻射強度。對于任意時刻的標準數據處理，采用一個4次多項式擬合方法對數據進行處理。

同時該方法還考慮了拋射角不同時對彈道的修正，引入無量綱參數L表征實際彈道與數據庫標稱彈道的差異。該方法引入彈道近似所在的地心直角坐標系下的平面axd+byd-zd=0(其中，a，b表示平面的法向量參數；xd,yd,zd分別表示彈道的地心坐標)。則若能找到該平面參數、發射點的時刻t0以及修正參數L，便可以確定發射點的經度、緯度、射向，因此將待估參數從文獻[7]的ξ=(t0,L,φ0,λ0,h0,α0)T變換為ξ=(a,b,t0,L)T。由星載傳感器的角測量值A，E(俯仰角、方位角)和上述彈道平面方程，便可以匹配出a，b，t0，L。

(2) 特點

1) 優點：

通過改進傳統的導彈模板匹配算法，避免了對于單顆星條件下的預警時，傳統方法方法所建立的模型中的非線性濾波器不穩定、矩陣條件數較大和嚴重病態的問題；考慮了拋射角修正問題，增強了模型的適應性，提高了估計精度。

2) 缺點：

繼承了傳統匹配建模方法的缺點，結果的準確性與否同樣嚴重依賴于模板數據庫的容量以及數據可靠性，實際應用受到很大限制。

2.1.3 彈道特征參數模板匹配算法

(1) 概述

針對以往模板庫中彈道參數信息難以獲取的問題，有的學者嘗試以某些導彈設計參數來表征彈道特征參數并構建模板庫。導彈推力主要由火箭發動機和燃料類型決定，且同一類型導彈主動段推力相對固定[20-22]，因此一些文獻考慮采用構造導彈推力[8]或者推力加速度模板[23]的方法來表征導彈的運動特性。整個方法的核心是利用同一型號導彈設計參數相對固定這一基本情況來構建推力或者推力加速度模板庫。

文獻[16]和[24]考慮2級彈道式導彈目標，分級和關機分別連接第1級、第2級主動段和自由段，文章建立了3個階段的目標運動模型，將第1級主動段模型中的λ取為指數遞減模型，將第2級建模為非零常值模型，而自由段的λ取常值為0。

文獻[23]提出了一種基于彈體旋轉的主動段動力學運動方程，文中根據導彈受力情況，將導彈加速度在2個垂直矢量方向上進行分解，通過合理的假設，解析表達了導彈推力加速度值和導彈在重力作用下姿態變化特性，得到推力加速度值與導彈設計參數的關系，從而確定了模板庫構建的基本算法。

(2) 特點

1) 優點

①采用自推算方式的推力加速度模板在一定程度上減少了對先驗信息的依賴程度，同時由于采用部分導彈參數來進行加速度估算，降低了資料搜集和模板庫建立的難度；②由彈道射面的表面特征轉向關注導彈的本質特性，可避免由于發射程序改變引起的模板庫不匹配問題。

2) 缺點

由于其本質上只是標準彈道模板二階微分的某種等價形式，同時失去了標準彈道模板的直觀性把握，因此該方法沒有從根本上解決單星預警導彈參數估計對先驗信息的嚴重依賴性。特別是對于單星預警情況，該方法有可能導致濾波器濾波失敗，不能得到收斂結果。

2.2 通用運動模型方法

另一種單星預警問題的解決方法是采用運動建模方式，不考慮可能的先驗彈道輪廓信息。針對導彈主動段的運動特性，國內外有很多文獻提出了機動目標運動建模的方法，如簡單線性模型(CA)[25]，3階JERK模型，Singer模型，重力模型等[26-27]。一些學者提出了多態重力轉彎模型[28-30]，但是由于測量數據點較少的限制，容易出現方程欠定不可解的問題。一些文獻為避免模型的復雜化采用了高階多項式函數來擬合彈道參數[31-32]，但很難抑制截斷誤差；另一些研究了帶約束條件下對主動段目標運動建模的問題[33]，該類方法的優點在于不需要導彈的先驗知識，可以通過天基預警系統中多星測元來估計彈道，但是上述方法由于建模復雜、參數較多，并不適用于直接單顆預警衛星觀測下的彈道導彈參數估計。本節選取了3種典型的單星預警通用運動建模方法，并對各自特點進行了闡述。

2.2.1 成像關系約束參數估計算法

(1) 概述

文獻[34]提出了一種在單相機觀測條件下，不需要導彈軌跡先驗模板，以較小運算量獲得滿足一定精度的射向估計方法。文獻考慮衛星相機成像可用針孔模型來近似表達，則對成像面上像點坐標進行逆變換(廣義逆)，便可以得到其在地球坐標系下的三維坐標X。若已知導彈飛行高度，則目標像點和相機光心f所成的直線與半徑為r的球面相交，交點s記為像點對應的彈道軌跡點。文獻中該方法選取第一個觀測點來替代發射點。

通過交點坐標的幾何關系可以確定一個包含多條軌跡的軌跡平面，在這些軌跡中選取3條合適的軌跡r1，r2，r3，利用共面軌跡法向量平行這一幾何規律進行約束，可形成一組非線性方程組，再利用蒙特卡羅法求解該方程組，便可以得到r1，r2，r3的值。

(2) 特點

1) 優點

建立了彈道觀測成像模型，將第一個觀測點假設為發射點，通過幾何關系推算，擺脫了對先驗信息的依賴，可以獨立地在單星預警的情況下進行導彈射向估算。

2) 缺點

①誤差來源較多，結果可靠性較差。誤差來源主要包括：檢測點代替發射點引起的射向估算誤差；蒙特卡羅方法求解非線性方程組引起的誤差；相機自身的觀測數據誤差等；②仿真結果精度差異化明顯。文獻結果顯示，低緯度地區射向估計精度較高；高緯度地區射向估計誤差較大。

2.2.2 主動段模型約束參數估計算法

(1) 概述

對于單星觀測來說，一般會選擇首發高程為已知量h0代入運算。但僅利用這些信息獲得的彈道導彈的發射方位角與真實的發射方位角差別極大。對此，文獻[35]構建了主動段簡化模型，并以此進一步計算得到了彈道估計參數。

該方法首先對主動段進行了簡化，設首發高程為定值，且導彈零攻角飛行。隨后對彈道進行分段，將每段的視加速度視為一個定值，進一步可獲得所建立動力學模型的解析表達式。由于整個彈道位置參數較多、數據量偏少，該方法先利用切貝舍夫多項式[36]對數據進行擬合擴展，隨后分段逐步求解未知估計參數來獲得導彈主動段的參數。

文獻[37]通過動量守恒建立動力學模型，并對觀測彈道進行約束，進而建立相應的估計算法。文獻[38]對李英良的算法(方法1)進行了改進，隨后提出了基于切割平面內的積分彈道匹配算法(方法2)和基于Levenberg-Marquard-Fletcher的積分彈道匹配算法(方法3)，通過仿真給出了各算法的精度并進行比較，得出方法2和方法3精度上都比方法一有所提高

(2) 特點

1) 優點

在首發高程確定的假設下，研究并構建了分段式主動段模型，擺脫了現有匹配算法對先驗模板的依賴，可以獨立求解單星預警彈道估計問題。該算法為其之后的文獻提供了建模思路。

2) 缺點

該算法采用固定首發高程的假設，由此必然會產生模型誤差，同時主動段模型的構建雖然進行了分段考慮，但仍然較為簡單，這些都可能會使最終的參數估計產生偏差。若再考慮觀測量的固有偏差，最終的結果將較難達到理想水平。

2.2.3 模型合理性約束參數估計算法

(1) 概述

文獻[39]從另一種角度對單星預警問題進行了嘗試。通過建立彈道導彈主動段飛行動量模型和彈道平面切割模型，構建了單星預警觀測視線對目標導彈射向的估計算法，通過迭代計算得到一組切割彈道，最后利用模型合理性約束體系對結果進行篩選，最終得出的射向估計值較其它類型的通用運動模型約束所得到的結果精度有所提高。

算法主要步驟為：

①確定首次發現高程區間和發動機關機高程區間；②遍歷所有切割彈道，同時計算各切割彈道的參數。③對彈道的合理性進行判定。④計算最小期望偏差最優解。

(2) 特點

1) 優點

在沒有標準彈道先驗模板的情況下，建立了目標主動段模型，利用彈道參數合理性對遍歷彈道進行約束篩選，從一種較新的角度對如何進行單星彈道參數估算問題進行了嘗試，得到的結果優于其他的通用建模方法。

2) 缺點

所建立的主動段模型過于簡化、未考慮因素較多。同時由于算法采用雙層迭代，其計算速度可能并不理想，會對系統的實時性造成影響。該方法還有較大的改進空間。

3 結束語

單星預警技術是在我國建設自主天基預警體系階段內不可缺少的重要一環，是整個天基紅外預警系統十分重要的一部分，本文分兩大部分綜述了當前已有的國內外單星觀測導彈參數估計方法，同時闡述了各個方法的優缺點，整理出了單星預警技術的發展脈絡。

第1類先驗模板匹配建模法主要采用的是事先構建先驗模板庫的方式對對不完備觀測量進行補充，在所構建的模板庫容量足夠大且庫中模板信息可靠性有一定保障的情況下，利用該類方法能夠達到較高的精度，具有實際應用價值。但是精度也很大程度上取決于模板庫容量與信息準確性，同時模板庫的構建本身也是一項艱巨的工程。

第2類通用運動建模主要是通過構建各種約束模型來對導彈主動段進行約束，其本質上仍屬于補充先驗信息，但是以模型約束替代模板匹配。目前該類的幾種典型算法還都很不完善，主要問題是主動段運動受力復雜，同時自身模型也較為復雜，因此如何合理簡化主動段模型、組成合理的約束體系成為影響該類方法結果精度的關鍵性因素

對于上述2類方法存在的主要問題，作者認為以后各自可能的努力方向為：

(1) 盡可能地合理簡化單星參數估計算法所依賴的先驗信息，在保證精度要求的前提下，提取可以代表彈道核心特質的參數，并給出切實可行的先驗信息獲取方法。

(2) 繼續深入研究彈道導彈主動段的合理模型約束，將開放假設與多種實際約束相結合，從根本上解決單星彈道導彈參數估計算法對導彈相關先驗信息依賴。

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