利用方程根的對稱性來解決幾個問題

劉超

數學中的方程，簡單地說是人們為了求解一些數之間的關系，因為直接求需要復雜的邏輯推理關系，而用代數和方程就很容易求解，從而降低難度.學生經過小學初中高中的學習，已經具備了列方程解決問題的意識，一般情況，列出式子終止分析，認為接下來只是枯燥的計算，而忽略了方程式子本身再次向我們發出的信號.若做進一步轉化，或知識點的遷移，則可以達開闊眼界，換來靈感，簡便運算之目的.高中階段問題的設計經常涉及求值，求范圍，而求值問題經常在方程思想的引領下將問題展開，通過直譯法巧妙地設參數，將文字語言轉化成代數式子，即設出一個量作為已知量，其他關系自然順理.但是學生對轉化出的方程再加工，再理解上遇到問題，主要原因是對于方程根的特點理解不夠，研究方程最終轉化到研究方程的根.因此我們處理方程時，應緊緊圍繞根的特點（對稱性，范圍等），從而體現出研究目標量的終極目的.下面以一道高三復習課中利用方程根的對稱性特點處理的題目為突破口，淺談教學中利用方程根的對稱性解題技巧的幾點認識.

一、函數問題中涉及的方程根的對稱美

問題1：函數f（x）的定義域為D，若滿足①f（x）在D內是單調函數，②存在[a，b]？哿D，使f（x）在[a，b]上的值域為[-b，-a]，那么y=f（x）叫做對稱函數，現有f（x）= -k是對稱函數，求k的取值范圍.

此題是道信息題（對稱函數的概念），學生在條件的指示（單調性，定義域共同決定值域）下，套用概念很快地梳理出等式組 -l=-a -k=-b，但是接下來無從下手.

師：此等式組有變化元，也有非變化元，等式的特點從直觀上給我們一個非常完美的對稱性展示，把握好此信息源，我們能否對此等式組信息再加工提煉轉化出新的信息嗎？

學生思考片刻，很快發現原來a，b是方程 -k=-x的兩個不同的實根.

師：提煉出此信息，那么我們如何刻畫此方程有“兩個”不同的實根呢？

學生甲：轉化為兩個函數圖像交點進行體現.

學生乙：移項平方轉化為實根分布處理（注意方程的等價性，注意根式大于等于零）.

學生?。簩⒏綋Q元構造新的方程再利用新方程實根分布處理.

師：以上方法都很好，歸根結底，本題利用一般概念轉化為兩個特殊方程，從而再次轉化出一般的結論，體現出我們認識事物的發展規律，由方程根的對稱性得出解題方向.

二、解析幾何問題中涉及的方程根的對稱美

解析幾何內容關鍵在于數形結合思想，用代數推理研究幾何圖形性質.而代數推理又與方程思想緊密相連，下面通過幾道習題感受方程根的對稱性給我們幾點提示.

1.利用方程根的對稱性推到特殊直線方程

問題2：若A（2，-3）是直線a x+b y+1=0和a x+b y+1=0的公共點，則經過相異兩點（a ，b ），（a ，b ）的直線方程是什么？

學生采用直譯法，很快得到方程組2a -3b +1=02a -3b +1=0.通過觀察變量元的對稱性，很快得出答案2x-3y+1=0.

問題3：設橢圓 + =1，p（x ，y ）是橢圓外一點，切點弦方程是什么？

解：設切點A（x ，y ），B（x ，y ），在圓的復習中，我們類比出過橢圓上點（m，n）的切線方程 + =1，p（x ，y ）是兩條切線的交點同問題2處理得出切點弦方程 + =1.此結論可推廣到圓與圓錐曲線中.

問題4：P（x ，y ）是橢圓中的點，過P點做弦，再過弦兩端點做橢圓的兩條切線，則兩條切線的交點的軌跡是什么？

簡證：一般情況下，設端點A（x ，y ），B（x ，y ），交點（x ，y ）， =

有 = + =1 + =1要求出交點橫縱坐標關系貌似很復雜，但是我們觀察方程的對稱性之后發現利用方程（1）對方程（2）（3）進行構造利用這種對稱美會輕松求解此方程.過程如下：

由方程（2） + =1

得 + =1- + ，

兩邊同除x -x 有 + =（1- - ）

同理有 + =（1- - ） ，等式右邊相等得出交點軌跡方程為： + =1.此結論也可推廣到圓與雙曲線中.

師：解析幾何內容的解題思路往往具有很強的程序性，但是，盲目操作經常會帶來繁雜的計算.只要我們善于發現利用方程中根的對稱性，巧妙地構造方程就可以簡化運算.

2.利用方程根的對稱性巧妙簡化運算

問題3：已知橢圓 +y =1，過原點O作兩條互相垂直的弦OM，ON交橢圓于M，N兩點，求三角形OMN面積的最大值？

傳統做法：當直線OM，ON斜率存在時，設直線OM為y=kx，直線ON為y=- x，有y=kx +y =1得x = y = ，同理將k換成- 得x = y = ，所以S = （x +y ）（x +y ），代入有S = （ + ）（ + ），式子化簡得關于k的函數，將k換成- ，然后進行整理化簡，顯然式子太繁瑣，究其原因這里我們進行了重復運算.分析求兩點M，N方法，只是簡單地類比，因此我們只要把握好方程根的對稱性就可以簡化式子形式，避免重復運算.

改進：設直線OM為y=k x，直線ON為y=k x，得x = y = ，x = y = ，得S = （ + ）（ + ）

即：S = （ ）（ ）

化簡有S = （ ）.因為k k =-1（只要式子中出現k k 就整體消掉），所以原式化為S = （ ）.令t=k +k ，則S = （ ），通過求t范圍，從而求出S 的范圍.此處處理使運算式子清晰簡約，使學生運算起來感覺更有趣，達到運算簡便、運算外化的目的.

問題4：過曲線C： + =1的左頂點A作兩條斜率分別為k ，k 的直線交橢圓于D，E兩點，且k k =-n（n為常數），求證：直線DE恒過一個定點.

簡證：（只考慮一般情況），由圖形的對稱性可判斷出定點在x軸上，設直線DE：x=my+p，只需研究m，n等量關系即可.設D（x ，y ），E（x ，y ），有 =-n，把握好此方程的對稱性只需構造出形如A（ ） +B（ ）+C=0的方程，利用韋達定理輕松得出m，p等量關系.構造如下： =1，巧妙利用1得方程 + =[ ] 化簡整理得 + + - =0.

由 =-n，得（ - ）b =-n得p=- ，所以直線DE恒過定點（- ，0）.

補充：當兩條兩條直線的斜率和k +k 為常數，兩條直線的斜率倒數和 + 為常數，都可以構造方程，利用韋達定理，根據方程根的對稱性，簡化運算，從而求出直線DE恒過一個定點.

數學是什么？數學是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫、逐步抽象概括、形成方法和理論，并廣泛應用的過程.“數學風格以簡潔和完美的形式作為其目標”，數學知識原理、數學符號語言等本身就蘊含簡潔對稱之美，只要我們善于觀察、發現、總結，就能發現數學中更多的潛在美.

參考文獻：

[1]陳小鵬.談談簡約化數學課堂教學.中學數學參考，2009年第12期上旬.

[2]龔新平.構造齊次方程探究定點問題.中學數學參考，2009年第8期上旬.