一種電熱式MEMS微鏡多自由度模型解析方法

章 皓，徐大誠，陳 巧，謝會開

(1.蘇州大學 電子信息學院，江蘇 蘇州 215000；2.無錫微奧科技有限公司，江蘇 無錫 214000；3.美國佛羅里達大學 電氣與計算機工程系，美國 佛羅里達州 32306)

一種電熱式MEMS微鏡多自由度模型解析方法

章 皓1,2，徐大誠1，陳 巧2，謝會開3

(1.蘇州大學 電子信息學院，江蘇 蘇州 215000；2.無錫微奧科技有限公司，江蘇 無錫 214000；3.美國佛羅里達大學 電氣與計算機工程系，美國 佛羅里達州 32306)

結合微鏡驅動器結構，通過引入熱導和彈簧剛體模型分析了多驅動器間熱傳導和相互作用力導致的形變原因，并建立了多自由度微鏡的數學模型。仿真與實驗數據對比說明：建立的模型與實驗結果具有較好的一致性，能夠預測4個驅動器的輸入響應特性。

MEMS微鏡；數學建模；驅動器

0 引 言

MEMS微鏡是一種利用微驅動器控制鏡面位移或轉動，從而實現調整入射光空間分布的調制器，主要應用在光通信、顯示和投影成像等技術領域[1]。其中，微驅動器的研制是關鍵，相比通常的電磁式、靜電式和壓電式驅動，電熱式Bimorph驅動器利用材料應力差異能夠大幅提升位移并且降低功耗[1,2],因而，電熱結構普遍應用于微鏡設計中。對于此類器件，其運動是驅動器電—熱—機械三者能量之間轉換過程[3]，建立相應模型對研究微鏡的靜瞬態特性有重要意義。

電熱驅動器利用熱形變原理，針對不同的加熱方式，如微橋加熱和自由端加熱，通常采用電熱模型[4，5]。其中，等效電路集總元件模型用于電阻加熱元件結構，對加熱器溫度分布不均勻和非零溫度系數電阻率引起的電氣輸入與電熱輸出之間復雜關系的問題，采用有限元分析法。將加熱器分解為有限數量的電熱耦合網絡元素，每個元素包含溫度電壓節點、等效熱功率源和熱電阻器[6];再采用仿真軟件SPICE處理分析模型數據。此方法精度高，但建模時間長且無法對器件進行系統級仿真。文獻[6，7]針對單個驅動器建立電熱模型，但是多自由度MEMS微鏡存在多驅動結構，沒有考慮驅動器之間存在的耦合影響。

本文基于電熱式Bimorph驅動器結構，結合熱阻模型對多驅動器間的熱傳導加以分析，給出熱應力形變的具體表示，再通過彈簧剛體模型求解驅動器間相互作用力引起的形變關系，進而利用線性疊加原理建立了一種熱電式雙S形Bimorph二維微鏡模型。同時將模型仿真與實驗數據比較，對比結果驗證了此方法的合理性。

1 雙S形Bimorph微鏡結構

電熱式二維微鏡的結構如圖1所示，主要包括：Al鏡面、Si襯底和4個驅動器。驅動器連接襯底與鏡面，起支撐和控制鏡面轉動作用。基于折疊式雙S形(FDS)結構設計的驅動器由3層材料組成：Al,SiO2和Pt。電壓輸入時，Pt層作為加熱電阻器產生熱量，并傳導到Al和SiO2層。由于材料熱膨脹系數的差異，Al層產生的熱變形遠大于SiO2層，因此，驅動器產生面外的垂直運動。同時，該結構利用Al/ SiO2和SiO2/Al正反Bimorph層補償設計[8]，使驅動器只產生垂直位移而不存在橫向偏移。由輸入電壓可以控制微鏡的二維轉動，電壓與鏡面偏角呈線性關系[9]。

圖1 微鏡示意圖Fig 1 Schematic view of micro-mirror

2 微鏡的靜態模型

2.1 角度與溫度

驅動器是由4個對稱S形結構組成，如圖2所示。驅動器的每段S結構由3部分組成：Al/ SiO2層、SiO2/Al/SiO2層和SiO2/Al層。

圖2 驅動器截面圖Fig 2 Sectional view of actuator

因為微鏡的轉角是由驅動器的變化量決定的，由圖2推導Al/SiO2層和SiO2/Al/SiO2層的位移變化量

(1)

(2)

其中，Δd1為Al/SiO2層的位移變化量，l為弧長，ρ為曲率半徑，Δθ為角弧度變化量，d2,la分別為SiO2/Al/SiO2層的位移量和長度。由于Al/SiO2層和SiO2/Al層對稱，所以，它們的位移變化相同。驅動器的高度與角度變化量為

Δd=2(2Δd1+Δd2)

(3)

微鏡加電后，驅動器溫度上升引起應力失配導致變形。假設驅動器上溫度等效為均勻分布[8]，角度變化由驅動器上的溫度變化表示

(4)

將式(4)帶入式(3)可以得驅動器的高度變化與溫度變化之間的關系

(5)

2.2 熱阻模型

驅動器兩端由SiO2熱阻塊連接到鏡面與襯底，在熱傳遞作用下部分熱量會傳到襯底與鏡面，導致熱量損失。由于熱傳遞有3種形式：熱傳導、熱對流和熱輻射。其中，熱傳導對驅動器溫度變化起主導作用[10]。因此，只考慮熱傳導因素，溫度與輸入電壓的關系可表示為

(6)

式中P為輸入功率，RT為驅動器的聯合熱阻，U為輸入電壓，Re(T)為驅動器在溫度T下的電阻值。微鏡的熱傳導模型如圖3所示，單個驅動器加電后，部分熱量通過熱阻RT1和RT2分別傳遞到襯底和鏡面，而鏡面上的熱量經其余驅動器再傳遞到襯底。

圖3 微鏡熱阻模型Fig 3 Thermal resistance model of micro-mirror

假設驅動器1的輸入功率為P，這部分功率分別流向襯底和鏡面(P1和P2)。相對驅動器1，其余3個驅動器的熱阻并聯，由溫度功率關系可得熱量向兩邊傳遞表達式

ΔT=RT1P1,

(7)

(8)

(9)

與式(6)對比發現驅動器的聯合熱阻如下

(10)

對于單個驅動器整體熱阻分為四部分：連接襯底熱阻RT1、連接鏡面熱阻RT2、驅動器自身熱阻RT0和鏡面熱阻(如圖3所示)。其中，鏡面由于是Al料，熱阻相對其他3部分可以忽略。連接鏡面、襯底的SiO2的熱阻相等(RT1=RT2)。驅動器整體熱阻為

(11)

(12)

Re(T)=R0(1+γΔT).

(13)

其中，γ為電阻溫度系數，R0為初始阻值，ΔT為溫度變化。電壓輸入時，功率會引起溫度增加，從而導致驅動器電阻上升；在穩定輸入下，電阻上升必然引起溫度變化減小，導致電阻下降，同時電阻下降會引起溫度變化增加。如此形成了溫度與電阻之間的負反饋，把這個過程分解成n個部分，計算如下

Rn-1=R0(1+γΔTn-1)，

(14)

(15)

(16)

綜上所述，由式(5)、式(16)可以得到單個驅動器高度變化與輸入電壓的關系

(17)

2.3 彈簧剛體模型

微鏡依靠驅動器受熱形變轉動，系統可以簡化成彈簧剛體模型，如圖4所示。鏡面位置取決于4個彈簧的受力形變程度，把形變認為外力F對彈簧的作用。

圖4 微鏡模型Fig 4 Micro-mirror model

驅動器1(Act-1)加電時，A點即受到壓力F，鏡面繞C點產生轉動。以驅動器1為研究對象，受力分析如圖5(a)所示。根據力平衡可得

F=Fk+Fx=kΔx+Fx,

(18)

(19)

由式(18)、式(19)可得

F=1.5kΔx.

(20)

圖5 微鏡受力示意圖Fig 5 Force diagram of micro-mirror

當驅動器受力而無相鄰驅動器影響時，使鏡面偏轉θ，驅動器受到的壓力為

F1=kΔx.

(21)

比較式(20)、式(21)發現F=1.5F1，即鏡面達到相同偏轉角度，存在相鄰驅動器結構的作用力是無相鄰驅動器結構的1.5倍。因此，由胡可定理可知，在相同作用力下，微鏡系統中驅動器的變形量應是單個驅動器的2/3倍。

驅動器的形變主要受到2個因素的影響：1)電壓引起的熱形變應力；2)相鄰驅動器間的相互作用力。單驅動器加電時，鏡面繞對邊轉動，得到高度變化量Δd。由于鏡面內力作用，相鄰2個驅動器會產生高度變化量Δd/2。假設微鏡為線性系統，4個驅動器的形變為熱應力形變與相互作用力形變疊加的結果。利用線性疊加原理可以通過矩陣得到輸入信號與驅動器形變的關系

(22)

其中，f(u)為式(17)，Δdi為驅動器i的高度變化量，ui為驅動器i輸入電壓值。微鏡4個驅動器高度的變化會引起鏡面的二維轉動，轉動角度計算如下

(23)

其中，w為鏡面寬度。綜上所述，由式(22)可以得到不同輸入下4個驅動器的形變，再通過式(23)計算出微鏡的偏轉角度，從而確定鏡面的空間位置。

3 模型驗證與性能分析

驗證實驗在常溫下(20 ℃)進行，使用自對焦顯微鏡(型號：奧林巴斯STM6)測量微鏡的靜態響應數據，通過對比不同驅動方式下微鏡與模型數據的吻合度來驗證靜態模型的準確性。

單電壓驅動時，實驗與模型數據對比如圖6所示。當驅動器1輸入電壓由0 V變化到3 V，其余輸入穩定電壓時(驅動器2,3,4分別輸入電壓1,2,2 V)，實驗與模型數據的對比如圖6(a)所示。由圖可知4個驅動器的電壓—高度變化呈線性關系且模型數據略高于實驗數據，這是由于熱應力形變推導過程中，忽略了熱對流和熱輻射影響，驅動器的實際溫度略低于理論值。從數據對比中發現模型與實驗結果的最大誤差在10.99 %以內。圖6(b)表征相同驅動條件下，微鏡的兩軸運動情況。一軸偏轉，另一軸相對靜止，模型與實驗數據接近，最大偏差0.39°。

圖6 單驅動器驅動模型數據對比Fig 6 Datas comparison of drive model for single driver

輸入差分信號時，實驗與模型數據對比如圖7所示。驅動器1,3輸入差分漸變電壓，驅動器2,4輸入1.5 V穩定信號。由圖7(a)可知模型與實驗數據接近，誤差在12.07 %以內。因驅動器1,3輸入差分信號，所以,兩者的電壓—高度是相反的線性關系。圖7(b)表征此時鏡面繞X軸轉動，模型與實驗結果較吻合，最大偏差為0.22°，模型能夠較準確地預測不同輸入時，4個驅動器形變情況和微鏡的電壓與轉角關系。

圖7 差分電壓驅動模型數據對比Fig 7 Datas comparison of drive model for differential voltage

4 結 論

本文提出了一種針對雙S 形Bimorph結構微鏡系統的靜態模型解析方法。通過熱傳導和機械轉動分析，提出了熱導和彈簧剛體模型，解決了多驅動器間相互作用力和熱傳導對系統影響的問題。通過模型與實驗數據比較，證實此模型能夠預測微鏡的靜態響應特性，誤差在12.07 %以內，最大角度偏差為0.39°。該模型可以應用于多自由度Bimorph結構微鏡的靜態偏轉分析，解決了二維微鏡驅動器間耦合問題，對系統仿真和控制有一定價值。

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A model analytical method of multi-DOF electrothermal MEMS micro-mirror

ZHANG Hao1,2, XU Da-cheng1, CHEN Qiao2, XIE Hui-kai3

(1.College of Electronics and Information Science,Soochow University,Suzhou 215000,China;2.Wuxi WiO Technology Co Ltd,Wuxi 214000,China;3.Department of Electrical and Computer Engineering,University of Florida 32306,Gainesville,Florida,USA)

The deformation reason of actuator caused by heat conduction and interaction force is analyzed by introducing thermal conduction and spring rigid model combined with structure of micro-mirror actuator,and multi-DOF mathematical model for micro-mirror is established.Comparison of simulation,and experimental data show that the constructed model agrees well with experimental results,it can predict input responses characteristics of four actuators.

MEMS micro-mirror; mathematical modeling; actuator

10.13873/J.1000—9787(2014)10—0017—04

2014—03—04

文獻標識碼：A 文章編號：1000—9787(2014)10—0017—04

章 皓(1988-)，男，江蘇蘇州人，碩士研究生，主要研究方向為MEMS傳感器建模與控制。