基于卡爾曼濾波滑模變結構轉子位置觀測器的PMSM無差拍控制

邱忠才， 郭冀嶺， 王斌， 肖建

(西南交通大學電氣工程學院，四川成都610031)

0 引言

永磁同步電機(permanent magnet synchronous machines，PMSM)是一個多變量、強耦合、非線性的高階系統。其無轉速傳感器控制研究對于解決轉速傳感器帶來的安裝問題、體積變大、干擾和可靠性降低的問題具有重要意義。關于永磁同步電機的轉子位置和轉速辨識，目前觀測器的估算方法主要有:自適應觀測器［1］、卡爾曼濾波器［2］、滑模變結構觀測器(sliding mode observer，SMO)［3－6］等。其中的滑模觀測器的觀測方法具有對電機參數變化不敏感，具有較強的魯棒性特點。但是滑模觀測器有系統抖振的問題存在，還要進行相位補償等不足。

無差拍控制算法［7－8］，根據電機和逆變器在同步軸系下的數學模型預測下一時刻逆變器的開關信號。這種算法為控制系統提供了低轉矩脈動和高電流頻率響應，是永磁同步電機電流預測的理想控制方式。相比于傳統的矢量控制可以得到更高的動態響應性能和更小的電流諧波分量。

本文所設計的新型滑模變結構觀測器，采用sigmoid函數減小抖振，用卡爾曼濾波器代替低通濾波器提取反電勢然后進行轉子位置角的計算，設計鎖相環進行轉速的提取。根據無差拍控制的思想，推導出了永磁同步電機電流預測方程，無差拍電流控制器根據電流給定和反饋值計算得到電壓矢量，通過空間矢量脈寬調制模塊將電壓矢量轉換為開關信號。通過實驗驗證了所設計的永磁同步電機無轉速無差拍控制系統的正確性。

1 永磁同步電機模型

滑模變結構轉子位置、轉速觀測器是在永磁同步電機兩相靜止坐標系下的數學模型進行分析設計，而無差拍控制策略是在同步旋轉坐標系下推導得出，其兩種坐標系下的數學模型分別如下。

1.1 兩相靜止坐標系下數學模型

PMSM在兩相靜止坐標系下的數學模型為

反電動勢方程為

式中:iα、iβ、uα、uβ、eα、eβ分別為定子電流、電壓、反電勢在α、β軸的分量;Rs為定子相電阻;Ls為定子電感;ψf為轉子永磁體磁鏈;ωr為轉子角速度;θ為轉子角位置。

1.2 兩相同步旋轉坐標系下數學模型

PMSM在兩相同步旋轉坐標系下的數學模型為

式中:id、iq、ud、uq分別為定子電流、電壓在 d、q 軸的分量;對于表貼式永磁同步電機d、q軸電感有Ld=Lq=Ls。

2 新型滑模觀測器設計

2.1 常規的滑模觀測器

根據數學模型和滑模變結構理論定義切換函數為

is=［iαiβ］T為電流實際反饋值，選取切換面為

通常電流觀測器

式(6)中的 zα、zβ的表達式為

k為滑模增益。由式(6)減去式(1)得電流誤差動態方程為

由等效控制理論得到

通過低通濾波器濾波之后獲得平滑的感應電動為

由式(2)得估算轉子位置角為

低通濾波器會帶來相位延遲，并且延遲的相位與截止頻率和輸入信號的角頻率有關，得補償相位為

考慮相位補償之后的轉子位置角為

轉速通過對轉子位置的微分獲得

圖1為傳統滑模觀測器結構。

圖1 傳統滑模觀測器結構Fig.1 Structure diagram of conventional sliding mode observer

構造正定的李亞普諾夫函數，即

對式(16)求導，并把式(9)帶入之后可得滑模觀測器的穩定條件為

2.2 改進的新型滑模觀測器

2.2.1 sigmoid函數減小抖振

根據滑模變結構理論，在實際系統中由于切換開關的不理想性以及系統存在的慣性等原因，抖振現象是必然存在的。高頻的抖振不僅增加了系統的能量損耗、影響了控制準確性，而且很容易觸發系統中沒有建模的高頻部分，從而嚴重影響系統性能甚至使系統失去穩定性。抖振只能被削弱而不能被徹底消除，為了減小抖振，采用sigmoid函數(18)取代常數切換的控制函數式(8)，新 zα、zβ的表達式為(19)。

其中，k為滑模增益。

2.2.2 開關增益自適應律選取

采用sigmoid函數取代sign函數，同樣證明可得穩定條件是式(17)，由式(17)可以看出為了滿足穩定條件，滑模增益必須足夠大，但是k過大會造成抖振噪聲，導致不必要的估計誤差，因此對開關增益采用如下自適應律，即

顯然式(20)確定的自適應率自然滿足式(17)。

2.2.3 擴展卡爾曼濾波器提取反電勢

從前面常規的SMO分析可知，通過一階低通濾波器獲得反電勢來計算轉子位置角的時候會導致相位滯后，所以要進行相位補償，為了改善這個問題構造了一個具有擴展卡爾曼濾波器結構的模型式(22)進行反電勢的提取，根據式(26)進行轉子位置角的計算。用該擴展卡爾曼濾波器進行反電勢獲取，去除高次諧波，并進行轉子位置角計算可以不用相位補償就可以有較小的轉子位置角誤差。

構造反電勢觀測器，即

式中，k2是正的常數。

式(22)減去式(21)得

構造李亞普諾夫函數來證明式(23)的穩定性

對式(24)求導并把式(23)帶入后可得

因此設計的擴展卡爾曼反電勢觀測器是穩定的。通過觀測得到的反電勢通過式(12)就可以得到電機的轉子位置角為

可以省去相位補償環節。

2.2.4 鎖相環進行轉速估計

文獻［6］指出，擴展卡爾曼濾波器可以辨識出轉速，但是響應速度比較慢，轉速辨識的快慢不影響電勢的獲取，所以上節用來進行反電勢提取的卡爾曼濾波器可以有效的濾除高次諧波擾動。采用鎖相環獲得電機的轉速，可以解決由轉子位置角進行微分計算轉速的擾動問題。

由永磁同步電機數學公式(2)可得

由觀測得到反電勢和鎖相環估算的轉速積分后得來的轉子位置角來跟蹤實際轉子位置角。

定義偏差值為

經過PI環節得到估算轉子電角速度ω^r，然后經過積分來跟蹤實際轉子位置角變化。轉速檢測的鎖相環見圖2。其輸入是卡爾曼濾波器的輸出e^α、e^β，輸出是轉子電角速度觀測值。該新型滑模觀測器如圖3，采用sigmiod函數代替sign函數，經過卡爾曼濾波器濾波后，再采用鎖相環技術進行轉速估算，具有結構簡單、對電機參數不敏感、轉速辨識響應速度快、避免了通過轉子位置角微分計算導致的運算誤差等特點。

圖2 鎖相環結構圖Fig.2 Structure diagram of PLL

圖3 新滑模觀測器結構Fig.3 Structure diagram of novel sliding mode observer

3 無差拍控制

電機在dq坐標下的數學公式(3)可以寫為

對式(29)求解可得連續域通解為

對上式離散化處理，做如下假設，在采樣時間T足夠小的條件下，系統輸入變量u在一個T內基本不變，變量D代表反電動勢影響，相對電流來說變化緩慢，同樣認為在一個T內基本不變，得到離散通解為

在采樣T足夠小的條件下，再做如下近似，即

帶入式(31)后可得電流預測模型，即

式中:

由式(33)可得

由無差拍控制律可知，要求dq電流的下一周期預測值等于電流給定值，即

帶入式(34)可以得到dq坐標系下的定子電壓計算公式為

4 實驗分析

基于本文設計的新型滑模變結構永磁同步電機轉子位置觀測器和無差拍控制策略，進行了實驗研究，系統結構如圖4所示。實驗對象為表貼式永磁同步電機，電機參數是:額定功率2.2 kW，額定電壓380 V，額定電流5.1 A，額定轉矩14 N·m，額定轉速1 500 r/min，額定磁鏈0.55 T，轉動慣量0.015 4 kg·m2，75℃時候的相電阻 3.45 Ω，定子電感0.012 H，極對數2。

圖4 系統結構框圖Fig.4 Block diagram of system

交—直—交主電路結構中的交直環節由三相自耦調壓器和三相不控整流器實現，中間直流環節用電容器完成濾波，直流電壓大小通過自耦調壓器進行調節，逆變器由3只IGBT加緩沖電路構成。核心控制芯片選用 TMS320F2812，驅動電路選用2SC0108T芯片，實驗主電路和控制電路如圖5(a)所示。

電機采用永磁同步電機—直流電機同軸連接機組，直流電機功率2.2 kW，他勵方式，直流電機的電樞繞組與電阻箱相連。直流電機作發電機運行，為永磁同步電機的負載，如圖5(b)所示。電機配有歐姆龍增量式光電編碼器，用來測量轉速和轉子位置作為實際值與本設計的滑模變結構轉速、轉子位置觀測器的結果對比。

實驗中，先給定轉速450 r/min，用增量式光電編碼器檢測到的電機轉子位置角和轉速完成電機的矢量控制，當電機穩定運行后，用設計的滑模變結構轉子位置和轉速觀測器代替光電編碼器得到的轉子位置和轉速信號，進行電機控制。

圖5 實驗平臺Fig.5 Experimental platform

圖6 用擴展卡爾曼濾波器提取的反電勢Fig.6 Extended Kalman filter was used to extract the back EMF

圖6是用擴展卡爾曼濾波器提取的反電勢。圖7分別為500 r/min、750 r/min和975 r/min時候估算的轉子位置角和實際的轉子位置角波形，圖7(a)和圖7(b)為轉速為500 r/min時原傳統的和新型滑模觀測器得到的實際轉子位置角和估算角度，通過對比可以看出新型滑模觀測器獲得的轉子位置角靜態誤差小，從圖7(b)、(c)、(d)3種速度下新型滑模觀測器得到的轉子位置角的實際角度和估算角度可以看出，估算的轉子位置角基本和實際的轉子位置角一致，證明了新型滑模觀測器的正確性。圖8為轉速從500 r/min加速到750 r/min再加速到975 r/min然后開始減速到750 r/min再減速到500 r/min時實際轉速和估算轉速波形，由實驗結果可知設計的滑模變結構轉子位置和轉速觀測器能夠準確的實現轉子轉速的準確估算。圖9為采用無差拍控制dq軸系電流，圖9(a)和圖9(b)可以看出電流反饋能夠較好地跟蹤電流給定值，證明了采用的無差拍電流控制策略的可行性和正確性，圖9(b)無差拍控制電流iq給定和反饋和圖9(c)傳統PI控制電流iq給定和反饋進行對比，無差拍控制電流的相應時間是傳統PI控制響應時間的1/3左右，超調是傳統PI控制超調的2/3左右。

圖7 實際轉子位置角和估算轉子位置角Fig.7 Experimental results about real rotor position angle and estimated rotor position angle

圖8 實際轉速和估算轉速Fig.8 Experimental results about real rotor speed and estimated rotor speed

圖9 dq軸系電流Fig.9 dq axis current

5 結論

本文設計了一個新型永磁同步電機滑模變結構轉子位置角、轉速觀測器和無差拍電流控制器。新型的滑模觀測器與傳統滑模變結構觀測器相比，采用sigmiod函數可以在一定程度上減小抖振，用設計的擴展卡爾曼濾波器來提取反電勢，進而求解轉子位置角，可以省略傳統滑模觀測器的相位補償技術并且減小辨識誤差。設計的鎖相環進行轉速提取，可以解決由轉子位置角進行微分計算轉速的擾動問題。采用無差拍控制策略完成電流內環的預測電流控制，有較好的動態響應。

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