淺談洛朗定理與留數定理的關系

岳紅云++劉宏超

摘 要：本文通過對洛朗定理與留數定理的比較，發現它們雖然都能進行積分計算，但存在復雜與簡單、直接與間接的差異，通過分析得到了如下結論，洛朗定理是留數定理進行積分計算的本質和保證，留數定理是洛朗定理進行積分計算的方便應用。

關鍵詞：洛朗定理 留數定理 積分計算

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2014）02（b）-0091-01

洛朗定理：設在圓環域 內處處解析，那么，其中，.特別的，令，計算沿的積分可轉化為求被積函數的洛朗展式中的系數。

留數定理：設函數在區域內除有限個孤立奇點外處處解析，是內包圍諸奇點的一條正向簡單閉曲線，那么，其中，為在

內的洛朗展式中的系數。

1 問題

洛朗定理是級數理論的重要內容，留數定理是積分理論的的重要內容，兩個定理都可以計算復變函數的積分，它們之間有什么關系？初學者往往對此問題感到困惑，這影響了復變函數理論的掌握，以下作者對此問題給出解答，從而讓大家對復變函數的重點內容——積分的計算有清晰明了的認識，接下來就通過一個例題來說明這兩個定理是如何進行積分計算的。

2 例題

例：計算積分，其中為正向圓周。

解法1：因為被積函數的奇點有，，故其在內解析，且在此圓環域內，所以被積函數在此圓環域內洛朗展式的的系數乘以即為所求的積分值。

，

由此可見，故

。

解法2：因為被積函數的奇點有，，將圓環域換成，函數仍解析，在此圓環域內，同理可得，

，

，

由此可見，故

。

法3：因為被積函數的奇點有，，都在內，計算

，

，

故由留數定理，可得

由此可見，利用洛朗定理進行積分的計算時，關鍵是找到被積函數解析的圓環域，這可以通過討論被積函數的奇點就不難確定，但需要找到的圓環域包含閉曲線，這就不是一件容易的事，初學者往往很頭疼。當然，只要找到了這樣的圓環域，就可以把函數進行洛朗展開尋找其系數就行了；而利用留數定理進行積分的計算則需要兩步，第一步需要找到內所有有限奇點，第二步計算留數，當然留數的計算仍需要在奇點的去心鄰域內對函數進行洛朗展開。

看起來利用洛朗定理要直接簡單，利用留數定理要繞彎，但實質上，由于尋找函數的洛朗展開的解析區域并不容易，而且不確定是那個區域合適，需要具體分析，這使得洛朗定理直接計算積分并不常用；而留數定理雖分為兩步，也需要洛朗展開求留數，但都是在奇點的去心鄰域展開的，是確定的區域，而且還可以發展延伸出更方便、快捷的計算方法，由于其有規范明確的程序化步驟可循，使得留數定理在積分的計算中易于大家掌握，從而起到了主導的地位。

3 結論

由以上兩定理可得，，所以留數定理是將洛朗定理中的求法簡化，細化為內每一個孤立奇點處的留數之和，它們的實質是一致的，歸根到底，都是利用函數的洛朗展式進行積分的計算，所以洛朗定理是復變函數積分計算的基礎和出發點，洛朗定理是留數定理進行積分計算的本質和保證，而留數定理使洛朗定理進行積分計算的方便應用，沒有洛朗定理，就沒有留數定理，就沒有復變函數積分的計算，而沒有留數定理，就沒有復變函數積分的廣泛應用。

注：洛朗定理可以涵蓋柯西定理：因為函數在閉曲線內處處解析，故只能在解析點進行泰勒展開，無負冪項，即，故。

參考文獻

[1] 劉玉璉，傅沛仁.數學分析講義[M].北京：高等教育出版社，1993.

[2] 鐘玉泉.復變函數論[M].北京：高等教育出版社，1995.

[3] 陸慶樂，王綿森.復變函數[M].北京：高等教育出版社，1996.endprint

摘 要：本文通過對洛朗定理與留數定理的比較，發現它們雖然都能進行積分計算，但存在復雜與簡單、直接與間接的差異，通過分析得到了如下結論，洛朗定理是留數定理進行積分計算的本質和保證，留數定理是洛朗定理進行積分計算的方便應用。

關鍵詞：洛朗定理 留數定理 積分計算

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2014）02（b）-0091-01

洛朗定理：設在圓環域 內處處解析，那么，其中，.特別的，令，計算沿的積分可轉化為求被積函數的洛朗展式中的系數。

留數定理：設函數在區域內除有限個孤立奇點外處處解析，是內包圍諸奇點的一條正向簡單閉曲線，那么，其中，為在

內的洛朗展式中的系數。

1 問題

洛朗定理是級數理論的重要內容，留數定理是積分理論的的重要內容，兩個定理都可以計算復變函數的積分，它們之間有什么關系？初學者往往對此問題感到困惑，這影響了復變函數理論的掌握，以下作者對此問題給出解答，從而讓大家對復變函數的重點內容——積分的計算有清晰明了的認識，接下來就通過一個例題來說明這兩個定理是如何進行積分計算的。

2 例題

例：計算積分，其中為正向圓周。

解法1：因為被積函數的奇點有，，故其在內解析，且在此圓環域內，所以被積函數在此圓環域內洛朗展式的的系數乘以即為所求的積分值。

，

由此可見，故

。

解法2：因為被積函數的奇點有，，將圓環域換成，函數仍解析，在此圓環域內，同理可得，

，

，

由此可見，故

。

法3：因為被積函數的奇點有，，都在內，計算

，

，

故由留數定理，可得

由此可見，利用洛朗定理進行積分的計算時，關鍵是找到被積函數解析的圓環域，這可以通過討論被積函數的奇點就不難確定，但需要找到的圓環域包含閉曲線，這就不是一件容易的事，初學者往往很頭疼。當然，只要找到了這樣的圓環域，就可以把函數進行洛朗展開尋找其系數就行了；而利用留數定理進行積分的計算則需要兩步，第一步需要找到內所有有限奇點，第二步計算留數，當然留數的計算仍需要在奇點的去心鄰域內對函數進行洛朗展開。

看起來利用洛朗定理要直接簡單，利用留數定理要繞彎，但實質上，由于尋找函數的洛朗展開的解析區域并不容易，而且不確定是那個區域合適，需要具體分析，這使得洛朗定理直接計算積分并不常用；而留數定理雖分為兩步，也需要洛朗展開求留數，但都是在奇點的去心鄰域展開的，是確定的區域，而且還可以發展延伸出更方便、快捷的計算方法，由于其有規范明確的程序化步驟可循，使得留數定理在積分的計算中易于大家掌握，從而起到了主導的地位。

3 結論

由以上兩定理可得，，所以留數定理是將洛朗定理中的求法簡化，細化為內每一個孤立奇點處的留數之和，它們的實質是一致的，歸根到底，都是利用函數的洛朗展式進行積分的計算，所以洛朗定理是復變函數積分計算的基礎和出發點，洛朗定理是留數定理進行積分計算的本質和保證，而留數定理使洛朗定理進行積分計算的方便應用，沒有洛朗定理，就沒有留數定理，就沒有復變函數積分的計算，而沒有留數定理，就沒有復變函數積分的廣泛應用。

注：洛朗定理可以涵蓋柯西定理：因為函數在閉曲線內處處解析，故只能在解析點進行泰勒展開，無負冪項，即，故。

參考文獻

[1] 劉玉璉，傅沛仁.數學分析講義[M].北京：高等教育出版社，1993.

[2] 鐘玉泉.復變函數論[M].北京：高等教育出版社，1995.

[3] 陸慶樂，王綿森.復變函數[M].北京：高等教育出版社，1996.endprint

摘 要：本文通過對洛朗定理與留數定理的比較，發現它們雖然都能進行積分計算，但存在復雜與簡單、直接與間接的差異，通過分析得到了如下結論，洛朗定理是留數定理進行積分計算的本質和保證，留數定理是洛朗定理進行積分計算的方便應用。

關鍵詞：洛朗定理 留數定理 積分計算

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2014）02（b）-0091-01

洛朗定理：設在圓環域 內處處解析，那么，其中，.特別的，令，計算沿的積分可轉化為求被積函數的洛朗展式中的系數。

留數定理：設函數在區域內除有限個孤立奇點外處處解析，是內包圍諸奇點的一條正向簡單閉曲線，那么，其中，為在

內的洛朗展式中的系數。

1 問題

洛朗定理是級數理論的重要內容，留數定理是積分理論的的重要內容，兩個定理都可以計算復變函數的積分，它們之間有什么關系？初學者往往對此問題感到困惑，這影響了復變函數理論的掌握，以下作者對此問題給出解答，從而讓大家對復變函數的重點內容——積分的計算有清晰明了的認識，接下來就通過一個例題來說明這兩個定理是如何進行積分計算的。

2 例題

例：計算積分，其中為正向圓周。

解法1：因為被積函數的奇點有，，故其在內解析，且在此圓環域內，所以被積函數在此圓環域內洛朗展式的的系數乘以即為所求的積分值。

，

由此可見，故

。

解法2：因為被積函數的奇點有，，將圓環域換成，函數仍解析，在此圓環域內，同理可得，

，

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由此可見，故

。

法3：因為被積函數的奇點有，，都在內，計算

，

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故由留數定理，可得

由此可見，利用洛朗定理進行積分的計算時，關鍵是找到被積函數解析的圓環域，這可以通過討論被積函數的奇點就不難確定，但需要找到的圓環域包含閉曲線，這就不是一件容易的事，初學者往往很頭疼。當然，只要找到了這樣的圓環域，就可以把函數進行洛朗展開尋找其系數就行了；而利用留數定理進行積分的計算則需要兩步，第一步需要找到內所有有限奇點，第二步計算留數，當然留數的計算仍需要在奇點的去心鄰域內對函數進行洛朗展開。

看起來利用洛朗定理要直接簡單，利用留數定理要繞彎，但實質上，由于尋找函數的洛朗展開的解析區域并不容易，而且不確定是那個區域合適，需要具體分析，這使得洛朗定理直接計算積分并不常用；而留數定理雖分為兩步，也需要洛朗展開求留數，但都是在奇點的去心鄰域展開的，是確定的區域，而且還可以發展延伸出更方便、快捷的計算方法，由于其有規范明確的程序化步驟可循，使得留數定理在積分的計算中易于大家掌握，從而起到了主導的地位。

3 結論

由以上兩定理可得，，所以留數定理是將洛朗定理中的求法簡化，細化為內每一個孤立奇點處的留數之和，它們的實質是一致的，歸根到底，都是利用函數的洛朗展式進行積分的計算，所以洛朗定理是復變函數積分計算的基礎和出發點，洛朗定理是留數定理進行積分計算的本質和保證，而留數定理使洛朗定理進行積分計算的方便應用，沒有洛朗定理，就沒有留數定理，就沒有復變函數積分的計算，而沒有留數定理，就沒有復變函數積分的廣泛應用。

注：洛朗定理可以涵蓋柯西定理：因為函數在閉曲線內處處解析，故只能在解析點進行泰勒展開，無負冪項，即，故。

參考文獻

[1] 劉玉璉，傅沛仁.數學分析講義[M].北京：高等教育出版社，1993.

[2] 鐘玉泉.復變函數論[M].北京：高等教育出版社，1995.

[3] 陸慶樂，王綿森.復變函數[M].北京：高等教育出版社，1996.endprint