在解復數題中如何培養學生的求簡意識

宋林鋒

摘 要：復數運算是一種復雜運算，在復數的教學中，有意識地培養學生的求簡意識是一個重要課題。本文從整體處理方法、數形結合方法等六個方面舉例談了如何在活解復數題中培養學生的求簡意識。

關鍵詞：復數 整體處理方法 數形結合方法 求簡意識

中圖分類號：G712 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2014）02（b）-0125-02

復數是在實數的基礎上擴充而得到的。這一擴充過程體現了實際需求與數學內部的矛盾對數學發展的推動作用，同時也體現了人類思維的作用，從而使得數學更加光彩奪目，但復數的概念性強，性質獨特，且與三角函數、幾何、多項式等方面想聯系，因此，在復數的教學中，要有意識地培養學生的求簡意識。本文從以下五個方面談了如何在活解復數題中培養求簡意識。

（1）在活解復數題中運用整體處理的方法能使求解簡單，從而培養學生的求解意識。以下四個例子用了四種方法介紹了整體處理的手段。

例1.已知、是兩個復數，，，是正實數，求。

解：

又

則

此例從整體著眼，利用模與模及共軛復數的性質，直接從整體出發來計算，若從局部出發進行復數計算求模會造成很大的麻煩。

例2.已知，求

。

解：

而，

故

。

此例不是直接代入來計算，先整體化簡，最后再代入計算，這樣簡化效果十分明顯。

例3.已知復數滿足≤2，求的輻角主值的取值范圍。

解：設，則

因為≤2，則≤2

故在以為圓心，2為半徑的圓上及內部。

當過原點的直線與圓相切時，由得

即

這就是所求的的輻角主值的取值范圍。

此例更是整體處理的精彩應用，乍一看感到無從下手，但對所求作整體遷移，變換了視覺，使問題豁然開朗，從而使問題輕易獲解。

（2）數形結合方法在簡化復數計算中也有很大的優越性。

例4.已知復數滿足，且

，求、。

解：

、、在復平面上的同一圓上

顯然點在第一象限內（如圖1所示）。

又因為對應向量為復數，對應向量所構成平行四邊形的對角向量，所以只有

故得所求：

或

本例根據所給復數的具體條件，找出其幾何特征，從而使所求問題變得簡單明了。

（3）運用輻角的運算性質，使有關復數求解的問題變得更加直接。

例5.設復數的輻角主值是，的輻角主值是，求。

解：由輻角的性質，是的輻角，

又

所以

而

進而

故可得

（4）巧用復數共軛，易得結論。

例6.設是實系數一元二次方程的兩個根，且知是虛數，是實數。求的值。

解：由實系數方程虛根共軛成對性質知，

又因為是實數

所以

進而

又故

（5）設而不求為計算構筑橋梁，從而使計算簡單方便。

例7.設，，

求得值。

解：由，易得

設，

則有，

，

求得

故。

總之，在復數運算中，要多方面思考，做到不僅會算，更要少算，甚至會而不算，在整體思想、數形結合思想等的指導下，有意識地培養學生的求簡意識。

參考文獻

[1] 鐘玉泉.復變函數倫[M].3版.北京：高等教育出版社，2006.

[2] 邱金俤.復變函數教程[M].北京：中國鐵道出版社，2008.

[3] 王萼芳，高等代數[M].3版.北京：高等教育出版社，2003.endprint

摘 要：復數運算是一種復雜運算，在復數的教學中，有意識地培養學生的求簡意識是一個重要課題。本文從整體處理方法、數形結合方法等六個方面舉例談了如何在活解復數題中培養學生的求簡意識。

關鍵詞：復數 整體處理方法 數形結合方法 求簡意識

中圖分類號：G712 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2014）02（b）-0125-02

復數是在實數的基礎上擴充而得到的。這一擴充過程體現了實際需求與數學內部的矛盾對數學發展的推動作用，同時也體現了人類思維的作用，從而使得數學更加光彩奪目，但復數的概念性強，性質獨特，且與三角函數、幾何、多項式等方面想聯系，因此，在復數的教學中，要有意識地培養學生的求簡意識。本文從以下五個方面談了如何在活解復數題中培養求簡意識。

（1）在活解復數題中運用整體處理的方法能使求解簡單，從而培養學生的求解意識。以下四個例子用了四種方法介紹了整體處理的手段。

例1.已知、是兩個復數，，，是正實數，求。

解：

又

則

此例從整體著眼，利用模與模及共軛復數的性質，直接從整體出發來計算，若從局部出發進行復數計算求模會造成很大的麻煩。

例2.已知，求

。

解：

而，

故

。

此例不是直接代入來計算，先整體化簡，最后再代入計算，這樣簡化效果十分明顯。

例3.已知復數滿足≤2，求的輻角主值的取值范圍。

解：設，則

因為≤2，則≤2

故在以為圓心，2為半徑的圓上及內部。

當過原點的直線與圓相切時，由得

即

這就是所求的的輻角主值的取值范圍。

此例更是整體處理的精彩應用，乍一看感到無從下手，但對所求作整體遷移，變換了視覺，使問題豁然開朗，從而使問題輕易獲解。

（2）數形結合方法在簡化復數計算中也有很大的優越性。

例4.已知復數滿足，且

，求、。

解：

、、在復平面上的同一圓上

顯然點在第一象限內（如圖1所示）。

又因為對應向量為復數，對應向量所構成平行四邊形的對角向量，所以只有

故得所求：

或

本例根據所給復數的具體條件，找出其幾何特征，從而使所求問題變得簡單明了。

（3）運用輻角的運算性質，使有關復數求解的問題變得更加直接。

例5.設復數的輻角主值是，的輻角主值是，求。

解：由輻角的性質，是的輻角，

又

所以

而

進而

故可得

（4）巧用復數共軛，易得結論。

例6.設是實系數一元二次方程的兩個根，且知是虛數，是實數。求的值。

解：由實系數方程虛根共軛成對性質知，

又因為是實數

所以

進而

又故

（5）設而不求為計算構筑橋梁，從而使計算簡單方便。

例7.設，，

求得值。

解：由，易得

設，

則有，

，

求得

故。

總之，在復數運算中，要多方面思考，做到不僅會算，更要少算，甚至會而不算，在整體思想、數形結合思想等的指導下，有意識地培養學生的求簡意識。

參考文獻

[1] 鐘玉泉.復變函數倫[M].3版.北京：高等教育出版社，2006.

[2] 邱金俤.復變函數教程[M].北京：中國鐵道出版社，2008.

[3] 王萼芳，高等代數[M].3版.北京：高等教育出版社，2003.endprint

摘 要：復數運算是一種復雜運算，在復數的教學中，有意識地培養學生的求簡意識是一個重要課題。本文從整體處理方法、數形結合方法等六個方面舉例談了如何在活解復數題中培養學生的求簡意識。

關鍵詞：復數 整體處理方法 數形結合方法 求簡意識

中圖分類號：G712 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2014）02（b）-0125-02

復數是在實數的基礎上擴充而得到的。這一擴充過程體現了實際需求與數學內部的矛盾對數學發展的推動作用，同時也體現了人類思維的作用，從而使得數學更加光彩奪目，但復數的概念性強，性質獨特，且與三角函數、幾何、多項式等方面想聯系，因此，在復數的教學中，要有意識地培養學生的求簡意識。本文從以下五個方面談了如何在活解復數題中培養求簡意識。

（1）在活解復數題中運用整體處理的方法能使求解簡單，從而培養學生的求解意識。以下四個例子用了四種方法介紹了整體處理的手段。

例1.已知、是兩個復數，，，是正實數，求。

解：

又

則

此例從整體著眼，利用模與模及共軛復數的性質，直接從整體出發來計算，若從局部出發進行復數計算求模會造成很大的麻煩。

例2.已知，求

。

解：

而，

故

。

此例不是直接代入來計算，先整體化簡，最后再代入計算，這樣簡化效果十分明顯。

例3.已知復數滿足≤2，求的輻角主值的取值范圍。

解：設，則

因為≤2，則≤2

故在以為圓心，2為半徑的圓上及內部。

當過原點的直線與圓相切時，由得

即

這就是所求的的輻角主值的取值范圍。

此例更是整體處理的精彩應用，乍一看感到無從下手，但對所求作整體遷移，變換了視覺，使問題豁然開朗，從而使問題輕易獲解。

（2）數形結合方法在簡化復數計算中也有很大的優越性。

例4.已知復數滿足，且

，求、。

解：

、、在復平面上的同一圓上

顯然點在第一象限內（如圖1所示）。

又因為對應向量為復數，對應向量所構成平行四邊形的對角向量，所以只有

故得所求：

或

本例根據所給復數的具體條件，找出其幾何特征，從而使所求問題變得簡單明了。

（3）運用輻角的運算性質，使有關復數求解的問題變得更加直接。

例5.設復數的輻角主值是，的輻角主值是，求。

解：由輻角的性質，是的輻角，

又

所以

而

進而

故可得

（4）巧用復數共軛，易得結論。

例6.設是實系數一元二次方程的兩個根，且知是虛數，是實數。求的值。

解：由實系數方程虛根共軛成對性質知，

又因為是實數

所以

進而

又故

（5）設而不求為計算構筑橋梁，從而使計算簡單方便。

例7.設，，

求得值。

解：由，易得

設，

則有，

，

求得

故。

總之，在復數運算中，要多方面思考，做到不僅會算，更要少算，甚至會而不算，在整體思想、數形結合思想等的指導下，有意識地培養學生的求簡意識。

參考文獻

[1] 鐘玉泉.復變函數倫[M].3版.北京：高等教育出版社，2006.

[2] 邱金俤.復變函數教程[M].北京：中國鐵道出版社，2008.

[3] 王萼芳，高等代數[M].3版.北京：高等教育出版社，2003.endprint