帶有反饋控制的單種群系統的持久性與一致漸近穩定性

楊永燕，付宏睿

（安陽師范學院人文管理學院數學與信息工程系，河南安陽455000）

帶有反饋控制的單種群系統的持久性與一致漸近穩定性

楊永燕，付宏睿

（安陽師范學院人文管理學院數學與信息工程系，河南安陽455000）

研究帶有反饋控制的離散單種群系統的持久性，并通過構造一個李雅普諾夫函數來證明這個系統是一致漸近穩定的.

反饋控制；持久性；一致漸近穩定性

0 引言

最近許多學者把單種群系統應用到了經濟領域，［1—3］作者Belair和Mackey假設市場價格的相對變化是由方程＝f（P，P）來決定的.DS在這個模型中，PD和PS分別表示商品的需求和供給價格，它的一個特例為其中a，b，c，d，τ，m∈（0，∞），n∈［1，∞）.在［4］中，作者研究了這個系統的解的存在唯一性、有界性及振蕩性.

如果n＝0，方程（1.1）可轉換為

當ad＝bd＝K和bc—a＝A是常數時，方程（2）稱為食物有限的種群模型，在文章［5］、［6］中作者研究了這個模型的正解的振蕩性、全局吸引性.

但事實上，生態系統會由于外界的干擾使種群生存率產生變化，即模型中的參數會改變.所以，研究控制變量即干擾函數的模型是很有必要的.近年來，不少學者研究了差分方程在種群模型中的應用.［7—8］帶有反饋控制的單種群和多鐘群模型的動態學行為也是許多學者的研究方向.［9—10］

許多學者認為，由差分方程產生的離散時間模型比連續的模型更實際，而且也能為連續模型提供有效的計算模型.因此，離散系統的動態學成了許多學者的研究對象.［10—11］在文獻［12］的啟發下，得到了帶有反饋控制的離散系統如下：

（H1）c（n），α（n），β（n）是有界非負概周期序列，

根據對現實的考慮，只研究這個系統的正解.所以系統（3）的初始條件為

不難看出，對于所有的n∈?+，系統（3）的解是良定義的，且滿足x（n）＞0，u（n）＞0.

1 預備知識

定義1.1［13］一個序列x：?→?稱為概周期序列，如果x的ε移位數集有以下性質：

則τ稱為x（n）的ε概周期.

定義1.2［13］令f：×D→?，其中D是?上的開集，f（n，x）對于x∈D關于n是一致概周期的，如果對于任給的ε＞0和D中任意的緊集S，存在一個正整數l（ε，S），使得?的長度為l的任意區間l（ε，S）內總有τ使

引理1.1［13］x（n）是一個概周期序列當且僅當對于任意的?都存在一個子序列hk?使得當n∈且k→∞時，x（n+hk）一致收斂.且這個有限序列也是一個概周期序列.

定理1.1［14］假設存在一個定義在n∈上的李雅普諾夫函數V（n，x，y），‖x‖＜B，‖y‖＜B，滿足以下條件：

（c）ΔV（2.2）（n，x，y）≤—λV（n，x，y），其中0＜λ＜1是一個常數，ΔV（2.2）（n，x，y）＝V（n+1，f（n，x），f（n，y）—V（n，x，y）.

2 系統的持久性與一致漸近穩定性

引理2.1 假設條件（H1）成立且f（n，x）關于x是非增的，）是有界的.同時假設）是系統（3）的正平衡點，且

那么存在M1，M2＞0使得每個解x（n）和u（n）滿足

證明：由系統（3），可證得當x（n）存在時，下面的式子成立：

其中i∈?+，并且只要x（i）存在，則是被唯一定義且是正的.

由系統（3），可以得到f（sk，x（sk））—g（sk，x（sk—τ））—c（sk）u（sk）≥0，因此可以導出f（sk，x（sk））≥g（sk—τ，x（sk—τ））+c（sk）u（sk）.由方程（7）易知x（sk—τ）≤x（sk）.因為f是非增的，所以可得出

結合（5）可得x（sk—τ）≤，n＝0，1，…，進而由系統（3）可得

顯然，當k→∞時，上式的左側趨于無窮，根據f的非增性質，不等式的右側是有界的.所以產

生矛盾.因此，存在M1＞0使得M1.顯然，同樣可以證明對于任意的n∈，系統（3）的解x（n），n∈是存在的.接下來證明存在M2＞0使得

對于任意的ε＞0，存在一個足夠大的整數n0∈使得x（n）≤M1+ε，n≥n0.

因為0＜αl＜1，我們可以找到一個正數d使得1—αl＝e—d，應用Stolz’s定理可以得到

引理2.2 假設條件（H1）成立，并且滿足引理2.1的條件，那么存在m1，m2＞0使得成立.

證明類似于引理2.1的證明.

定理2.1 如果引理2.1與引理2.2成立，則系統（3）是持久的.

注：由定理2.1可以直接看出反饋控制對于商品模型或者生物模型的持久性是沒有危害的.

定義Ω為系統（3）包含所有解（x（n），u（n））的集合，即Ω＝｛（x（n），u（n））|m1≤x（n）≤M1，m2≤u（n）≤M2，n∈｝.從引理2.1、引理2.2及定理2.3可知，Ω是系統（3）的不變集.

定理2.2 假設引理2.1的條件成立，并且f和g關于n是概周期的，（x，u）是關于n的有界周期解，那么Ω≠.

證明：由f（n，x），g（n，x），c（n），α（n），β（n），p（n）的概周期性，存在一個整數序列τξ，τξ→∞，ξ→∞，使得

令ε是任意小的正數，由引理2.1和引理2.2可知，存在一個正整數N0，使得

當n≥N0—τξ，（ξ＝1，2，…）時，記xξ（n）＝x（n+τξ），uξ（n）＝u（n+τξ）.對于任意的正整數q，很容易知道，存在序列｛xξ（n）：ξ≥q｝和｛uξ（n）：ξ≥q｝使得在任意一個的有限區間上，當ξ→∞時，序列xξ（n）和uξ（n）存在子序列，xξ（n）和uξ（n）收斂.因此，有序列y（n）和v（n）使得任意的n，當p→∞時，xξ（n）→y（n），uξ（n）→v（n）.結合下式

可得

因此（y（n），v（n））是系統（3）的一個解，且m1—ε≤y（n）≤M1+ε，m2—ε≤v（n）≤M2+ ε，n∈.因為ε是任意小的正數，有m1≤y（n）≤M1，m2≤v（n）≤M2，n∈成立.故Ω≠.

定理2.3 假設條件（H1）成立，且f，g是L—利普希茲的，且利普希茲系數分別是L1，L2，對于任意的n∈?+，p（n）≤p0，且滿足

（H2）0＜Θ＜1，其中Θ＝min｛Θ1，Θ2｝，且

那么存在唯一一個一致漸近穩定的概周期解集X＝（x（n），u（n）），使得當n∈時，m1≤x（n）≤M1，m2≤u（n）≤M2.

證明：令y（n）＝lnx（n），由系統（3）可知

由定理2.2可知系統（10）存在一個有界解lnm1≤y（n）≤lnM1，m2≤u（n）≤M2，n∈?+.因此，，其中A＝

對于（y，u）∈?2，我們定義范數‖（y，u）‖假設X＝（y（n），u（n）），Y＝（z（n），v（n））是系統（10）定義在?+×Ω＊×Ω＊的任意兩個解，那么‖X‖≤C，‖Y‖≤C，其中C＝A+B，

考慮系統（10）的積系統

可以在?+×Ω＊×Ω＊上定義李雅普諾夫函數V（n，X，Y）＝（y（n）—z（n））2+（u（n）—v（n））2.容易驗證范數‖X—Y‖＝|y（n）—z（n）|+| u（n）—v（n）|與‖X—Y‖＊＝［（y（n）—z（n））2+（u（n）—v（n））2］是等價的，即存在兩個常數C1＞0，C2＞0使得C1‖X—Y‖≤‖X—Y‖＊≤C2‖X—Y‖，因此（C1‖X—Y‖）2≤V（n，X，Y）≤（C2‖X—Y‖）2.

令a，b∈C（?+，?+），a（x）＝x2，b（x）＝x2，所以定理1.1的條件（a）是成立的.此外，

ΔV（n，X，Y）＝V（n+1，X，Y）—V（n，X，Y）（u（n）—v（n））2］＝—ΘV（n，X，Y）.對于0＜Θ＜1，定理1.1中的條件（c）成立，即定理1.1中所有條件都成立，所以系統（10）存在唯一一個一致漸近穩定的概周期解，故系統（3）存在一個一致漸近穩定的概周期解X＝（x（n），u（n）），當n∈時滿足m1≤x（n）≤M1，m2≤u（n）≤M2.

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［責任編輯 范 藻］

Permanence and Uniformly Asymptotic Stability in a Discrete Single—Species System with Feedback Control

YANG Yong—yan，FU Hong—rui

（HumanisticManagement College of Anyang Normal University，Anyang Henan455000，China）

In this thesis，firstly consider the following discrete single—species system with delay and feedback control. We establish the sufficient conditions for the persistence and by constructing a Lyapunov function to prove the uniformly asymptotic stability of the above system.

feedback control；permanence；asymptotic stability

O175

A

1674—5248（2014）05—0010—05

2014—03—25

楊永燕（1985—），女，河南安陽人.助教，碩士，主要從事微分方程研究.