基于螺旋理論的2-P(4R)RR并聯機構奇異性分析

張建軍，王曉慧，馬俊杰，李為民

（河北工業大學機械工程學院，天津 300130）

基于螺旋理論的2-P(4R)RR并聯機構奇異性分析

張建軍，王曉慧，馬俊杰，李為民

（河北工業大學機械工程學院，天津 300130）

并聯機構在高承載能力、高剛度和高精度等應用場合得到廣泛應用．但并聯機構工作空間較小、回轉能力相對不足，其應用受到限制．本文提出一種三自由度2-P(4R)RR平面并聯機構，其運動平臺能夠在360°范圍內連續回轉．基于螺旋理論，通過分析機構的運動螺旋和約束反螺旋確定機構自由度的類型，根據回轉空間內奇異形成的原因，得出機構動平臺在360°的回轉空間范圍內發生運動奇異和約束奇異的條件；通過分析機構在發生奇異位形時機構動平臺的運動類型，討論動平臺奇異姿態對連續回轉的影響以及能否跨越，研究機構各類奇異消除的必要性；分析增加冗余驅動后機構約束螺旋的變化，從而消除約束奇異，保證機構連續回轉的可控性．

螺旋理論；2-P(4R)RR；并聯機構；奇異性

并聯機構以其剛度高，承載能力強，精度高等特點而廣泛應用于工業領域．而少自由度并聯機構由于驅動少，工作空間大，控制容易，受到了國內外研究人員的關注．螺旋理論是分析并聯機構一個重要而有效的數學方法，并取得了豐碩的成果．Mohamed和Duffy[1]在1984年首次將螺旋理論應用于并聯機構的研究中；Huang與Li[2-4]等在前人的基礎上建立了系統的約束螺旋綜合理論體系，對少自由度尤其是3-5自由度的對稱并聯機構進行了比較全面的綜合，系統地綜合出此類機構共30種；方躍法等[5-6]采用螺旋理論以支鏈的形式進行了分析和綜合，并在此基礎上提出了關于少自由度并聯機器人支鏈可能采取的組成形式；Yu[7]在柔性機構的型綜合方面，將運動和約束螺旋采用可視化圖形螺旋空間描述，所提出方法更直觀有效．Leonard和Anthony[8]等創造性的把螺旋理論應用機械裝配約束配置分析當中，使用定量的指標來抵消運動．Jaime等[9]利用螺旋理論討論了一種4-DOF并聯機構的運動學和奇異性，位置分析采取了普通的閉環矢量的方法，而速度和加速度分析則利用螺旋理論得到了其Jacobian矩陣，并且利用螺旋理論分析了完全對稱支鏈的3-RPS并聯機構的運動正解[10]．

奇異性對并聯機構的運動學性能有著重要影響，其研究方法[11]基本上可分為最常用的Jacobian代數法，基于Grassmmn線幾何原理的線幾何法以及奇異的運動學法．在利用螺旋理論對并聯機構進行運動學分析的基礎上，文獻[9，12-14]對不同類型的并聯機構的奇異性進行了研究，主要利用螺旋理論推導出Jacobian矩陣或系數矩陣然后對奇異性進行分析．冗余驅動是指機構驅動器的個數大于末端執行器的自由度數，是一種減少或消除并聯機構奇異、提高機構整體性能的一種有效措施．白志富，韓先國等[15]以Park關于奇異的分類為基礎，指出了冗余驅動能夠消除機構驅動奇異的原因，給出了冗余驅動個數與奇異空間降維關系的比較嚴格的數學推導過程．

本文提出一種三自由度2-P4RRR平面并聯機構，從結構布局上看，末端動平臺的回轉自由度的回轉范圍不受約束，可以在范圍內連續地回轉．但是，動平臺在整個回轉空間的不同位姿會有奇異位形，在奇異位形處，機構的運動自由度和約束會有變化，這時，機構的動平臺在外部電機驅動下能否跨越奇異位形，動平臺能否按預定規劃的運動軌跡實現連續往復地回轉需進行研究．因此本文將基于螺旋理論，通過對一種動平臺可連續回轉的2-P4RRR平面并聯機構的運動螺旋和約束反螺旋分析，研究動平臺在回轉空間內形成奇異位形的原因及動平臺不同姿態下的奇異類型，得出機構動平臺在的回轉空間范圍內發生運動奇異和約束奇異的條件．為保證機構連續回轉的可控性，分別針對運動奇異和約束奇異研究奇異消除的可行性及消除方法，因此，本文研究對擴大并聯機構的回轉空間，提高并聯機構的應用領域具有一定意義．

1 機構描述及其運動螺旋

三自由度動平臺可連續回轉平面并聯機構如圖1所示，該機構有兩個相同的運動支鏈，都是由四個轉動副（R）組成的平行四邊形機構和兩個轉動副（R）組成的，平行四邊形機構可以看作是一個沿著某一弧線平動的移動副，用P4R表示．根據兩支鏈運動副的類型，該機構用代號2-P4RRR表示，連桿FF'就是機構的動平臺．機構具有確定運動需3個驅動，因此和一般并聯機構不同，2-P4RRR并聯機構其中一個支鏈有2個驅動，這里左側第1支鏈A處回轉副為主驅動關節，右側第2支鏈A'、E'處2個回轉副為主驅動關節．

左側第1支鏈的運動螺旋系可表示為

右側第2支鏈的運動螺旋系可表示為

圖1 2-P4RRR并聯機構Fig.1 2-P4RRR parallelmechanism

式(1)和式(2)中，S/1j和S/2jj=1,2,3分別表示2個支鏈各運動副的運動螺旋，其中S/11和S/21為各支鏈由平行四邊形機構組成的移動副P4R的運動螺旋；sAC和sA'C'為連桿AC和連桿A'C'所確定的向量，并且有

sA，sA'為A，A'處轉動副的軸線向量，sA=sA'=0 0 1；另外，siji=1,2;j=2,3表示第i個支鏈中第j個運動副軸線向量（注：每個支鏈中P4R為第一運動副），且有sij=0 0 1，riji=1,2;j=2,3為原點o到每個轉動副（第i個支鏈中第j個運動副）軸線上任意位置的向量，且rij=xrijyrijzrij．

式(1)運動螺旋系各量之間進行線性變換，則有

式(3)中，xEF=xr13xr12和yEF=yr13yr12分別代表連桿EF向量在x軸和y軸的分量．式(2)運動螺旋系各量之間進行線性變換，則有

其中，xE'F'=xr23xr22和yE'F'=yr23yr22分別代表連桿E'F'向量在x軸和y軸的分量．

根據螺旋理論互易原理寫出2個支鏈的約束反螺旋系

顯然2-P4RRR并聯機構的動平臺具有與式(5)相同的約束反螺旋，即動平臺受到z軸的約束力和繞x軸及y軸的約束力矩，這些約束力限制了動平臺的z向移動和繞x軸及y軸的轉動，而其他的運動即動平臺的x、y向移動和繞z軸的轉動沒有被限制．

當2-P4RRR并聯機構的各桿長參數滿足lFF'＜lEF,lFF'＜lE'F'，機構在運動過程中lFF'＜lEE'，且lFF'與三者(即lEF、lE'F'、lEE'）之中最大者之和小于其他二者之和時，F和F'處的轉動副成為周轉副，因此動平臺可以在360°范圍內連續回轉了，2-P4RRR并聯機構成為動平臺可以連續回轉的并聯機構．

2 機構的奇異性分析

2.1 運動學奇異

在某些位形下表示機構的運動副的諸螺旋之間發生線性相關，使機構輸出構件的自由度減少，稱為機構的運動奇異．

在式(3)或(4)中，如果運動螺旋線性線性相關，則對應該支鏈的約束反螺旋數目變大，機構該支鏈對動平臺提供的約束增加，動平臺的自由度會發生變化．若式(3)中各量滿足

此時2-P4RRR機構中的左側支鏈對應連桿平行，即AC//EF，如圖2所示．

顯然式(3)中S/'11和S/'13線性相關，則左側第一支鏈的運動螺旋為

根據螺旋理論互易原理寫出該支鏈的約束反螺旋系

圖2 一側支鏈連桿平行造成的奇異Fig.2 The singularity caused by the parallel links in one limb

根據螺旋理論互易原理可知，式(7)中a和b滿足

而右側第2支鏈的約束反螺旋不變，仍如式(5)所示，于是動平臺的約束反螺旋和左側第一支鏈的約束反螺旋相同，同樣根據互易原理寫出動平臺的運動螺旋系為

顯然由式(9)可知，在如圖2的情況，AC∥EF時，機構的動平臺失去了一個平動自由度，因此機構處于運動奇異．

由于左右支鏈相同，右側支鏈同樣存在對應連桿平行的情況（A'C'∥E'F'），也會發生運動奇異，與上述雷同，不再贅述．

但是，有可能左右支鏈都會發生連桿平行的情況，即AC∥EF且A'C'∥E'F'，如圖3所示．此時，左側第1支鏈的約束反螺旋系仍如式(7)所示．而式(4)中的某些量滿足

顯然式(4)中S/'21和S/'23線性相關，右側第二支鏈的運動螺旋為

根據螺旋理論互易原理寫出該支鏈的約束反螺旋系

圖3 左右支鏈連桿平行造成的奇異位形Fig.3 The singularity by the parallel links in leftand right limbs

同樣根據螺旋理論互易原理可知，式(11)中a'和b'滿足

結合式(7)和式(11)，寫出動平臺的約束反螺旋

對式(13)螺旋系進行線性變換，令S/r'5=S/r5S/r4，則有

這時動平臺的約束反螺旋系由式(13)中的S/r1∶S/r4和式(14)的S/r'5組成，同樣根據互易原理寫出動平臺的運動螺旋系為

其中m和n滿足

由式(15)可知，在如圖3的情況，AC∥EF且A'C'∥E'F'，機構處于動平臺失去了兩個平動自由度的運動奇異．

2.2 約束奇異

鎖住并聯機構所有的主動件，一般機構各構件不能運動．但在某位形時，鎖住并聯機構所有的主動件，作用在機構或機構輸出構件上的約束螺旋變成線性相關，獨立的約束數目減少，機構就保留了未被約束掉的部分自有度，即在鎖住所有輸入變量下，而平臺仍然可動，這時機構發生了約束奇異．為分析2-P4RRR機構的約束奇異，動平臺在某個位姿時，鎖住機構的3個主驅動回轉關節，如圖4所示．

此時左側第1支鏈的運動螺旋為

根據螺旋理論互易原理寫出該支鏈的約束反螺旋系，它包括4個螺旋，即

圖4 鎖住2-P4RRR機構三個主驅動回轉關節Fig.4 To lock the threeactuated jointsof the 2-P4RRR parallelmechanism

這里式中d和e滿足式

這說明d和e是過連桿EF直線方程dy ex+1=0的2個系數．

而右側第2支鏈的運動螺旋系為

根據螺旋理論互易原理寫出該支鏈的約束反螺旋（即力螺旋）系，它包括5個螺旋，即

當鎖住3個驅動時，機構應該能完全約束住，也就是說動平臺的所有自由度都被約束住了，整個機構都不能動了，即在當前位姿，式(23)的6個約束螺旋為線性無關且約束了動平臺的6個自由度．在式(23)中，各螺旋線性無關時，需滿足

但是當dyr23exr23+1=0時，造成S/r'4=0，式(23)的螺旋系的螺旋個數為5，說明在鎖住各驅動關節時動平臺仍能運動，根據螺旋理論互易原理寫出此時運動螺旋為

顯然，當dyr23exr23+1=0時，點F'坐標滿足EF的直線的方程dy ex+1=0，即連桿EF和FF'共線，此時對應的位形如圖5所示，機構處于約束奇異位形．

3 機構奇異位形的消除實現動平臺連續回轉

機構動平臺在回轉過程中存在運動奇異和約束奇異，這些奇異姿態點能否跨越影響機構動平臺連續回轉的可控性，現分別討論．

3.1 運動學奇異對動平臺回轉連續影響的分析

由式(9)可以看出，當2-P4RRR機構的一側支鏈對應連桿平行發生運動奇異時，動平臺原本具有的3個自由度中喪失了1個平動自由度，保留1個xoy面內的平動自由度，其方向由矢量yACxAC0的方向決定，還保留1個轉動自由度，轉軸為與z軸平行的某直線．在式(15)中發現，2-P4RRR的兩側支鏈連桿都平行發生運動奇異時，動平臺只保留了一個轉動自由度，轉軸為與z軸平行的某直線．動平臺的某些自由度丟失可以看做動平臺某些運動被剛化，這時的奇異位形即人們常說的邊界奇異．

但是，機構在運動奇異時，動平臺喪失的只是1個或2個平動自由度，始終具有轉動自由度，即機構在3個外驅動的情況下，動平臺的回轉仍可控，足以保證在運動奇異時動平臺轉動的連續，因此這種奇異位形不會影響動平臺連續回轉的可控性．事實上這種邊界奇異不能避免也不能消除．

3.2 約束奇異對動平臺回轉連續影響的分析

機構處于約束奇異時，即如圖5所示的位形，3個主驅動關節鎖住，按上述分析，動平臺仍然可以運動，如式(24)，動平臺仍具有1個轉動自由度，其物理意義則可解釋為動平臺失穩，這時的奇異位形即人們常說的局部奇異．發生這種約束奇異時，動平臺的回轉是不受外驅動控制的，因此其轉動的方向是不確定的，對2-P4RRR機構而言，動平臺的約束奇異位形會成為連續回轉的障礙，機構在此時的可控性差．為保證動平臺連續回轉的平穩性，這種約束奇異必須消除．

從式(23)看出，dyr23exr23+1=0時，機構在鎖住外驅動后而出現的多余轉動自由度是由于動平臺的約束力螺旋系中喪失了1個力矩約束造成的，如果我們人為外加1個約束力矩到整個約束螺旋系，并保證6個力螺旋線性無關，就可以消除這個多余的自由度．

3.3 冗余驅動消除約束奇異性

按上面的分析，增加1個約束力矩到整個約束螺旋系的物理或工程手段可以增加1個外部驅動，即2-P4RRR機構由原來的三驅動變成四驅動，即機構成為冗余驅動機構．按照式(23)可以確定冗余驅動加在E處（見圖1）的轉動副．這時再分析含冗余驅動的機構約束奇異問題．

此時鎖住所有4個驅動后，左側第1個支鏈的運動螺旋系為

右側第2個支鏈的運動螺旋系為

根據螺旋理論互易原理寫出2個支鏈的約束反螺旋，第1個支鏈的運約束反旋系為

圖5 連桿EF EF'時的約束奇異Fig.5 The constraintsingularity when the links EF EF'

第2個支鏈的約束反旋系仍如式(21)．因此，動平臺的約束螺旋系包括如下力螺旋

只有當yFF'=0且xFF'=0時，螺旋系S/r1S/r5和S/r'6的秩為5．但是，連桿FF'是有長度的，所以不可能出現yFF'=0且xFF'=0的情況，螺旋系S/r1S/r5和S/r'6的秩為仍為6．因此，在增加了驅動使機構成為冗余驅動機構后，消除了先前EF∥FF'（或E'F'∥FF'）時的約束奇異位形，使其能夠在這個位形順利的連續運動，保證了動平臺的連續回轉，使機構的性能得到了質的提升．

事實上，機構在運動過程中，各運動構件具有慣性力矩起到冗余驅動的作用而消除約束奇異，但其可控性較差．

4 結論

1）提出一種平面三自由度2-P4RRR平面并聯機構，建立了機構的運動螺旋和約束反螺旋；當機構桿長參數滿足一定條件時，動平臺回轉空間可達到360°，可實現連續回轉．

2）基于螺旋理論研究2-P4RRR并聯機構不同奇異的形成原因，確定了機構在360°的回轉空間范圍內發生運動奇異和約束奇異的條件．

3）2-P4RRR并聯機構在360°的回轉空間在發生運動奇異時，動平臺只失去平動自由度，仍具有回轉自由度，保證回轉連續，此位形可跨越；機構發生約束奇異時，機構出現了不可控的多余回轉自由度，該姿態不易跨越，影響動平臺的連續回轉，有必要消除．

4）2-P4RRR并聯機構增加冗余驅動后機構約束螺旋發生變化，從而消除了約束奇異，保證了機構連續回轉的可控性．對給出的機構典型姿態進行分析表明該機構動平臺能夠實現連續回轉．

[1]M oham edM G，Duffy J．A directdetermination of the instantaneouskinematicsof fully parallelrobotmanipulators[J]．ASMEJournalofMechanisms，Transm issions，and Automation in Design，1986，107：226-229

[2]Huang Zhen，LiQinchuan．Generalmethodology for typesynthesisof lower-mobility symmetricalparallelmanipulatorsand severalnovelmanipulators [J]．International Journalof RoboticsResearch，2002，21：131-145．

[3]Huang Zhen，LiQinchuan．Type synthesisof symmetrical lower-mobility parallelmechanisms using constraint-synthesismethod[J]．International JournalofRoboticsResearch，2003，22：59-79．

[4]LiQinchuan，Huang Zhen．A fam ily ofsymmetrical lower-mobility parallelmechanism w ith sphericaland parallelsubchains[J]．Journalof Robotic Systems，2003，20（6）：297-305．

[5]Fang Yuefa，TSAILW．Analyticalidentification of limb structures for translationalparallelmanipulators[J]．JournalofRobotic Systems，2004，21（5）：209-218．

[6]Fang Yuefa，Tsai LW．Structuresynthesisofa classof3-DOF rotationalparallelmanipulators[J]．IEEE Transactionson Roboticsand Automation，2004，20（1）：117-121．[7]Yu Jingjun，LiShouzhong，Su Hai-jun，et al．Screw theory based methodology for the deterministic type synthesis of flexurem echanisms[J]．JournalofM echanismsand Robotics，2011，3（3）：031008-1-14．

[8]Leonard R，Anthony L，James S．Analysisof Constraint Configurations in Mechanical Assembly via Screw Theory[J]．Journal of Mechanical Design，2012，134：1-12．

[9]JaimeG，JoseM R，GurselA．K inem aticsand singularity analysesof a4-dof parallelmanipulatorusing screw theory[J]．M echanism and M achine Theory，2006，41：1048-1061．

[10]JaimeG，Horacio O，JoseM R．Kinematicsof3-RPSparallelmanipulatorsbymeansofscrew theory[J]．InternationalJournalof Advanced Manufacturing Technology，2008，36（5-6）：598-605．

[11]黃真，趙永生，趙鐵石．高等空間機構學[M]．北京：高等教育出版社，2006．

[12]Bonev IA，Zlatanov D，Gosselin CM．Singularity analysis of 3-DOF planar parallelmechanisms via screw theory[J]．JournalofMechanical Design，2003，125（3）：573-581．

[13]XieZ J，Wang ZZ，Song D P．Singularity research for6/6-PSSparallelmanipulatorbased on the screw theory[C]//IEEEInternationalConference on Roboticsand Biomimetics，ROBIO，2011：801-805．

[14]Zhao Jing-shan，Zhou Kai，Feng Zhi-jing，et al．The singularity study of spatial hybrid mechanisms based on screw theory[J]．International Journalof Advanced Manufacturing Technology，2005，25（9）：1053-1059

[15]白志富，韓先國，陳五一．冗余驅動消除并聯機構奇異研究[J]．航空學報，2006，27（4）：733-736．

[責任編輯 楊屹]

Singularity analysis fora 2-P(4R)RR parallelmechanism bymeansof screw theory

ZHANG Jian-jun，WANG Xiao-hui，MA Jun-jie，LIWei-min

(SchoolofMechanical Engineering,HebeiUniversity of Technology,Tianjin 300130,China)

Parallelmechanismsarewidely usedwhen largepayload capability,high stiffnessand fineprecisionareneeded. However the smallerworkspaceand the lower rotationalability restrict theirapplication.A 3-DOF planar2-P4RRR parallel mechanism isproposed and themobilep latform of themechanism can rotate to and fro in the rangeof360°continuously. Based on screw theory,theDOF type of the 2-P4RRR themechanism isconfirmed by analysisof the kinematic screw sand constraintscrews.In the rotational rangeof 360°,the conditions thatproduce kinematic singularity and constraintsingularity areobtained according to the reason to form singularities.Thediscussions thatthesingularities influenceon the continuous rotation andw hether the orientation of singularities can bestepped overwhen themotion typesof themobile platform are developed.So thenecessity to eliminate thesingularities isstudied.Adding a redundantactuation to the2-P4RRR themechanism,thenew constraintscrewsshow theelim ination of the constraintsingularitywhich improves the controllability for thecontinuous rotation.

screw theory;2-P4RRR;parallelmechanism;singularity

TH112

A

1007-2373(2014)01-0028-08

2013-12-15

國家自然科學基金（51175144）；河北省高等學校科學技術研究項目（Z2012034）

張建軍（1971-），男（漢族），教授，E-mail：zhjjun@hebut.edu.cn．